Nella Fig. 6.2 sono riportati i risultati delle prove triassiali ... - Padis

8.5 Soluzione iterativa dei problemi non–lineari 133
Rn+1(x) = f n+1 − Sn+1(xn+1) (8.57)
e si calcola attraverso iterazioni successive il valore delle incognite nodali xn+1 che
lo rendono nullo.
Si supponga di aver determinato una prima approssimazione, all’iterazione k,
del vettore incognito; una soluzione più accurata (x) k+1
n+1 , all’iterazione successiva,
può essere valutata tramite uno sviluppo in serie di Taylor come:
R (k+1)
n+1
≈ R(k)
n+1 +
(k)
∂R
dx
∂x n+1
(k+1)
n+1 = 0 (8.58)
in cui compare la derivata parziale R rispetto alla variabile x, che è la matrice jacobiana
J, detta operatore tangente consistente. Per l’approccio MSP tale operatore
è definito come:
J =
∂G d
∂∆ ¨ d
∂G a
∂∆ ¨ d
∂G d
∂∆ ˙a
∂G a
∂∆ ˙a
che sulla base delle eq. 8.46 e 8.47 può essere scritta come:
dove:
J (k)
n+1 =
M + Cβ2∆t + KT 1
2β2∆t2 (k)
−Cswθ∆t
Cwsβ1∆t Hθ∆t + P
n+1
(KT ) (k)
n+1 = Anel e=1
Be B uT
(k)
∂σn+1
∂dn+1
(8.59)
(8.60)
dv (8.61)
n+1
Il termine tra parentesi rappresenta la matrice di rigidezza tangente del materiale
(Simo & Taylor, 1986), espressa come:
D (k)
n+1 =
(k)
∂σn+1
∂dn+1
n+1
(8.62)
Tale quantità non coincide con il tensore di rigidezza tangente del materiale, D,
sebbene rappresenti la linearizzazione degli stress-point algorithms (algoritmi di
punto di Gauss) utilizzati per integrare la legge costitutiva del materiale e descritti
in dattaglio nel prossimo capitolo.
Il metodo di Newton–Raphson è caratterizzato da una convergenza di tipo
quadratico, quindi molto rapida, ma presenta lo svantaggio che l’operatore tangente
consistente è calcolato, secondo l’espressione 8.58, ad ogni iterazione.