Álgebra Linear e Geometria Analítica - Univates

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Capítulo 5 Matrizes 5.1 Introdução este capítulo, apresentamos os conceitos básicos sobre matrizes, os quais surgem de forma natural na resolução de problemas, porque “ordenam e simplificam” os mesmos, bem como fornecem novos métodos de resolução. Adotaremos a abordagem lógico-dedutiva, pois os alunos que, ao concluírem o Ensino Médio, pretendem se dedicar de forma especializada às Engenharias, à Química Industrial, à Matemática ou à Informática, ingressando nestas áreas na universidade, deparam-se com freqüência com raciocínios lógico-dedutivos e convêm terem visto algo neste sentido já desde o início do curso. 5.2 Conceito Exemplo 5.2.1 Uma indústria tem quatro fábricas A, B, C, D, cada uma das quais produz três produtos 1, 2, 3. A tabela mostra a produção da indústria durante uma semana. Fábrica A Fábrica B Fábrica C Fábrica D Produto 1 560 360 380 0 Produto 2 340 450 420 80 Produto 3 280 270 210 380 Tabela 5.1: Produção da indústria por fábrica Quantas unidades do produto 2 foram fabricadas pela fábrica C? 58
UNIVATES – Centro Universitário 59 Exemplo 5.2.2 Ao recolhermos os dados referentes a altura, peso e idade de um grupo de quatro pessoas, podemos dispô-los na tabela abaixo: Altura (m) Peso (kg) Idade (anos) Pessoa 1 1,70 70 23 Pessoa 2 1,75 60 45 Pessoa 3 1,60 52 25 Pessoa 4 1,81 72 30 Tabela 5.2: Altura, peso e idade por pessoa Ao abstrairmos os significados das linhas e das colunas, temos a matriz: ⎛ 1, 70 70 ⎞ 23 ⎜ 1, 75 ⎝ 1, 60 60 52 45 ⎟ 25 ⎠ 1, 81 72 30 Quando o número de variáveis e de observações é muito grande, esta disposição ordenada de dados é indispensável. Definição 5.2.3 Sejam 1 ≤ m, n ∈ N; chama-se matriz m × n (leia-se: m por n) a uma tabela constituída por mn elementos, dispostos em m linhas (horizontais) e n colunas (verticais). Notação: Seja Am×n e sejam i, j ∈ N tais que: 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n; indicaremos com aij o elemento de A que ocupa a linha i e a coluna j; A será indicada por: ⎡ ⎤ a11 a12 · · · a1n ⎢ ⎣ a21 a22 · · · a2n · · · · · · · · · · · · am1 am2 · · · amn ou de forma mais sintética: A = (aij), com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. Usaremos sempre letras maiúsculas para denotar matrizes. Também são utilizadas outras notações para matriz, além de colchetes, como parênteses ou duas barras. Por exemplo: 2 −1 2 −1 e 0 4 0 4 Observação 5.2.4 Os elementos de uma matriz podem ser números reais, números complexos, polinômios, funções, etc.; aqui, entretanto, trabalharemos apenas com matrizes constituídas por números reais. Definição 5.2.5 Sejam as matrizes A = (aij), com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n e B = (bij), com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. Dizemos que A ⎥ ⎦
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Capítulo 9 Espaços Vetoriais 9.1
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Apêndice B Autovalores e Vetores P
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