Álgebra Linear e Geometria Analítica - Univates

UNIVATES – Centro Universitário 94
• todas as equações apresentam as incógnitas numa mesma ordem;
• a matriz incompleta do sistema está na forma escalonada (conforme
definição 6.3.1).
6.4.1 Resolução de um Sistema Linear Escalonado
Exemplo 6.4.2 Número de equações igual ao número de ingógnitas:
⎧
⎨
⎩
x + 2
3y + z = 1
y − 2 1
5z = 5
z = 2
é um sistema linear escalonado com 3 equações e 3 incógnitas, cuja solução
é S = {(− 5
3 , 1, 2)}.
Exemplo 6.4.3 Número de equações menor que o número de
ingógnitas: x + 2y − 3z = 1
y + 5z = 3
é um sistema linear escalonado com 2 equações e 3 incógnitas.
Este tipo de sistema admite pelo menos uma variável denominada
variável livre ou variável arbitrária do sistema. É variável livre aquela
que não aparece no início de nenhuma equação do sistema escalonado.
No exemplo 6.4.3, temos z como variável livre.
A variável livre, como o nome já diz, pode assumir qualquer valor real.
Para cada valor assumido por ela, obtém-se uma nova solução para o sistema.
Assim, o conjunto solução do sistema 6.4.3 é:
S = {(13α − 5, 3 − 5α, α), α ∈ R}.
Observação 6.4.4 Chama-se grau de indeterminação ou grau de
liberdade de um sistema escalonado o número de variáveis livres do sistema.
No exemplo 6.4.3 o grau de liberdade é 1.
Observação 6.4.5 A escolha de variável livre como “toda aquela que
não inicia nenhuma equação do sistema” é puramente convencional. Na
verdade, no sistema do exemplo anterior poderíamos ter escolhido y como a
variável livre; ou ainda, x.
6.4.2 Escalonamento de um Sistema Linear
Vamos estudar uma técnica para transformar um sistema linear num
outro equivalente na forma escalonada.
Basta escrever a matriz incompleta A do sistema linear e acoplar a coluna
dos termos independentes b, formando uma matriz [A|b]. Pois bem,
agora utilize as operações elementares permitidas (isto é, o algoritmo para
transformar esta nova matriz na forma escalonada) até chegar à forma escalonada.
Então faça a análise da solução.