Álgebra Linear e Geometria Analítica - Univates

UNIVATES – Centro Universitário 88
Entretanto, existem sistemas que, embora lineares, podem se tornar
muito grandes, ou podemos ter menos equações do que incógnitas (o próprio
exemplo 6.1.1). Isto pode dar origem a muitas dúvidas, até mesmo sobre a
existência ou não de solução para o sistema.
Por outro lado, em sistemas com mais de uma solução, é preciso expressar
todas elas de uma forma clara. No exemplo 6.1.1, pode-se encontrar duas
soluções distintas (x, y, z) (faça isto!). Mas, o problema só estará resolvido
se conseguirmos expressar todas as soluções.
Exemplo 6.1.2 Um sitiante dividirá uma área de 28 hectares em duas
partes: numa plantará soja e na outra milho. Que área poderá destinar a
cada uma destas plantações?
Solução
Denotando por x a quantidade de hectares de soja, e por y a quantidade
de hectares de milho, temos a relação x + y = 28. Esta equação admite
infinitas soluções reais. No entanto, para o nosso sitiante interessam somente
aquelas em que 0 ≤ x, y ≤ 28. Note que atribuindo a x qualquer valor entre
0 e 28, podemos imediatamente determinar o valor correspondente para y,
através da relação y = 28 − x. Sendo assim, também neste caso teremos
infinitas possibilidades de resposta.
Por outro lado, se modificarmos um pouco o exemplo anterior, poderemos
ter a sua solução profundamente modificada:
Exemplo 6.1.3 Um sitiante dividirá uma área de 28 hectares em duas
partes: numa plantará soja e na outra milho. Ele espera vender a produção
de cada hectare de soja por $400, 00u.m. e, de milho, por $300, 00u.m.. Por
precaução, o sitiante deseja que os valores das vendas totais da soja e do
milho sejam iguais entre si. Que área deverá destinar a cada uma destas
plantações?
Solução
Mantendo as mesmas notações do exemplo 6.1.2, podemos representar a
situação do problema do seguinte modo:
x + y = 28
400x = 300y
Existem vários métodos para resolver estas equações, mas todas elas nos
darão como única solução os valores de x = 12 e y = 16 (resta observar que
estes valores de fato são possíveis, pois não podemos equecer da condição
extra 0 ≤ x, y ≤ 28).
Neste capítulo, veremos uma técnica de resolução para sistemas lineares
em geral. Sua maior aplicação é para sistemas “grandes”. O método consiste
em substituir convenientemente o sistema original por sistemas cada vez
mais simples, sempre “equivalentes” a ele.
6.2 Conceitos
Definição 6.2.1 Um sistema de equações lineares com m equações e n
incógnitas é um conjunto de equações do tipo: