Álgebra Linear e Geometria Analítica - Univates

UNIVATES - Centro Universitário
Centro III
Curso de Engenharia de Automação e Controle
Curso de Engenharia Sanitária e Ambiental
Curso de Engenharia da Computação
Curso de Engenharia de Produção
Álgebra Linear
e
Geometria Anal’itica
por
Prof.Dr. Claus Haetinger – e-mail: chaet@univates.br
URL http://ensino.univates.br/˜chaet
e
Prof a .Drnd a . M. Madalena Dullius – e-mail: madalena@univates.br
Lajeado, 24 de Julho de 2006

Sumário
1 Introdução 1
2 O Plano 5
3 O Espaço 19
4 Curvas Planas, Equações Paramétricas e Coordenadas Polares
27
5 Matrizes 58
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2 Conceito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.3 Tipos Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.4 Operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.4.1 Adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.4.2 Subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.4.3 Multiplicação por um Número Real . . . . . . . . . . . 66
5.4.4 Multiplicação de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.4.5 Transposição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.5 Exercícios de Fixação e Problemas de Aplicação . . . . . . . 75
5.6 Respostas dos Principais Exercícios do Capítulo . . . . . . . . 83
6 Sistemas Lineares 87
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.2 Conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.3 Forma Escalonada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.3.1 Operações Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.3.2 Procedimento para a Redução de uma Matriz à Forma
Escalonada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.4 Sistema Linear Escalonado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.4.1 Resolução de um Sistema Linear Escalonado . . . . . 94
6.4.2 Escalonamento de um Sistema Linear . . . . . . . . . 94
i

UNIVATES – Centro Universitário ii
6.4.3 Algoritmo que Reduz uma Matriz à Forma Escalonada
Reduzida por Linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.5 Soluções de um Sistema Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.5.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.6 Exercícios de Fixação e Problemas de Aplicação . . . . . . . 97
6.7 Respostas dos Principais Exercícios do Capítulo . . . . . . . . 101
7 Determinante e Matriz Inversa 104
7.1 Breve Relato Histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.2 Conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.3 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.3.1 Desenvolvimento de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.4 Matriz Adjunta – Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.5 Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.6 Método Prático para Encontrar A −1 . . . . . . . . . . . . . . 115
7.7 Exercícios de Fixação e Problemas de Aplicação . . . . . . . 116
7.8 Respostas dos Principais Exercícios do Capítulo . . . . . . . . 117
8 Introdução às Transformações Lineares 118
9 Espaços Vetoriais 131
9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.2 Vetores no Plano e no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.2.1 Vetores no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.2.2 Vetores no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.3 Espaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.3.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.4 Subespaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.4.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
9.4.2 Contra-Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
9.4.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.4.4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.4.5 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.5 Combinação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
9.5.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
9.6 Dependência e Independência Linear . . . . . . . . . . . . . . 143
9.6.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.7 Base de Um Espaço Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.7.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
9.7.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.8 Mudança de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.8.1 A Inversa da Matriz de Mudança de Base . . . . . . . 149
9.8.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
9.9 Exercícios de Fixação e Problemas de Aplicação . . . . . . . 151
9.10 Respostas dos Principais Exercícios do Capítulo . . . . . . . . 155

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10 Aprofundamento Sobre Transformações Lineares 156
10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
10.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
10.3 Transformações do Plano no Plano . . . . . . . . . . . . . . . 158
10.3.1 Expansão (ou Contração) Uniforme . . . . . . . . . .
10.3.2 Reflexão em Torno do Eixo
158
OX . . . . . . . . . . . . . 159
10.3.3 Reflexão pela Origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
10.3.4 Rotação de um ângulo θ . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
10.3.5 Cisalhamento Horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
10.3.6 Translação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
10.4 Conceitos e Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
10.5 Transformações Lineares e Matrizes . . . . . . . . . . . . . . .
10.6 Aplicações à Óptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
164
169
11 Desigualdades Lineares 174
12 Variedades Lineares, Conjuntos Convexos e Programação
Linear 180
12.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
12.2 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
12.3 Tópicos da Programação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
12.4 Metodologia de Resolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
12.5 Conjuntos Convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
12.5.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
12.5.2 Caracterização Geométrica dos Vértices . . . . . . . . 188
12.6 Introdução à Programação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . 189
12.6.1 Tópicos sobre Produto Interno . . . . . . . . . . . . . 189
12.6.2 Método Geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
12.6.3 Teorema Fundamental da PL . . . . . . . . . . . . . . 193
12.6.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
12.7 Exercícios de Fixação e Problemas de Aplicação . . . . . . . 194
12.8 Respostas dos Principais Exercícios do Capítulo . . . . . . . . 199
13 Curvas Cônicas 201
13.1 A Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
13.1.1 Equação Reduzida da Elipse com Centro na Origem e
Focos sobre os Eixos Coordenados . . . . . . . . . . . 202
13.1.2 Equação da Elipse Cujos Eixos são Paralelos aos Eixos
Coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
13.1.3 Posição Relativa entre Reta e Elipse . . . . . . . . . . 204
13.2 A Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
13.2.1 Equação Reduzida da Parábola com Vértice na Origem
e Foco sobre um dos Eixos Coordenados . . . . . 205
13.2.2 Equação Reduzida da Parábola Cujo Eixo de Simetria
é Paralelo a um dos Eixos Coordenados . . . . . . . . 207
13.2.3 Posição Relativa entre Reta e Parábola . . . . . . . . 207
13.3 A Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

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13.3.1 Equação Reduzida da Hipérbole com Centro na Origem
e Focos sobre os Eixos . . . . . . . . . . . . . . . 209
13.3.2 Equação Reduzida da Hipérbole Cujos Eixos são Paralelos
aos Eixos Coordenados . . . . . . . . . . . . . . 209
13.3.3 Posição Relativa entre Reta e Hipérbole . . . . . . . . 210
13.4 Equações de Cônicas com Eixo(s) Não Paralelo(s) aos Eixos
Coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
13.4.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
13.5 Aplicação das Translações e Rotações ao Estudo da Equação
Geral do Segundo Grau a Duas Variáveis . . . . . . . . . . . 212
13.5.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
13.6 A Equação Geral do Segundo Grau a Duas Variáveis e as
Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
13.6.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
13.7 Respostas dos Principais Exercícios do Capítulo . . . . . . . . 216
A Artigos para Aprofundamento 217
A.1 Comparação dos Procedimentos para Resolver Sistemas Lineares
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
A.2
Álgebra de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
A.3 Correlación de Pares de Imagenes para Medición de Sólidos
por Fenómenos Estereo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
A.4 Introdução à Pesquisa Operacional . . . . . . . . . . . . . . . 217
A.5 Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
A.6 Espaços Vetoriais – Introdução: Quadrados Mágicos . . . . . 217
A.7 Compressão de Imagem Digital . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
A.8 Investigação: Azulejos, Reticulados e a Restrição Cristalográfica
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
A.9 Investigação: A Fatoração LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
A.10 Códigos Corretores de Erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
A.11 Grafos e Dígrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
A.12 Investigação: Pivotamento Parcial e Contagem de Operações
- Uma Introdução à Análise de Algoritmos . . . . . . . . . . . 218
A.13 Análise de Redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
A.14 Simulador de Circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
A.15 Vetores de Código e Aritmética Modular . . . . . . . . . . . . 218
A.16 Diagonalização de Formas Quadráticas: Seções Cônicas . . . 218
A.17 A Rampa de Skate do Tempo Mínimo . . . . . . . . . . . . . 218
A.18 Por Que as Antenas São Parabólicas . . . . . . . . . . . . . . 219
A.19 A Hipérbole e os Telescópios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
A.20 A Sombra do Meu Abajur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
A.21 A Matemática do GPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
A.22 Montando uma Dieta Alimentar com Sistemas Lineares . . . 219
A.23 Resumo Sobre Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
A.24 Um Brinquedo Chamado Espirógrafo . . . . . . . . . . . . . . 219

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B Autovalores e Vetores Próprios, Diagonalização de Operadores
Lineares 220
B.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
B.2 Sistemas Lineares da Forma Ax = λx . . . . . . . . . . . . . . 221
B.3 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
B.4 Diagonalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
B.4.1 Um Procedimento para Diagonalizar uma Matriz . . . 227
B.4.2 Multiplicidades Geométrica e Algébrica . . . . . . . . 229
B.5 Diagonalização Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
B.5.1 Matrizes Ortogonais: Mudança de Bases . . . . . . . . 231
B.5.2 Diagonalização de Matrizes Simétricas . . . . . . . . . 233
C Produto Escalar 235
C.1 Ângulos Diretores e Cossenos Diretores de um Vetor . . . . . 237
C.2 Projeção de um Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
D Processos Aleatórios: Cadeias de Markov 239
D.1 Idéia Intuitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
D.2 Conceito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
D.3 Previsões a Longo Prazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
D.3.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
D.4 Previsões em Genética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
E Somatórios 251
E.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
E.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
E.3 Algumas Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
E.4 Respostas dos Principais Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . 254
F Tópicos sobre Retas e suas Equações 255
F.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
F.2 Coeficiente Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
F.3 Coeficiente Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
F.3.1 Um Caso à Parte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
F.4 As Retas que Passam por um Ponto Dado . . . . . . . . . . . 268
F.5 Paralelismo de duas retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
F.6 Intersecção de Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
F.7 Perpendicularismo de duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . 274
F.7.1 Projeção (Ortogonal) de um Ponto sobre uma Reta . . 275
F.8 Equação Geral e Equação Reduzida . . . . . . . . . . . . . . 277
F.8.1 Equação Geral da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
F.8.2 Equação Reduzida da Reta . . . . . . . . . . . . . . . 277
F.9 Distância entre Ponto e Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
F.10 Respostas dos Principais Exercícios do Capítulo . . . . . . . . 281
Bibliografia 303

Capítulo 1
Introdução
niciamos este polígrafo apresentando alguns exemplos de algumas
das inúmeras aplicações da Álgebra Linear. É claro que neste curso não
conseguiremos abordá-las todas. Contudo, o leitor interessando em mais
detalhes sobre os mesmos pode consultar [1].
Exemplo 1.0.1 (Jogos de estratégia)
No jogo de roleta o jogador dá seu lance com uma aposta e o cassino
responde com o giro da roleta; o lucro para o jogador ou para o cassino é
determinado a partir destes dois movimentos.
Estes são os ingredientes básicos de uma variedade de jogos que contêm
elementos tanto de estratégia quanto de acaso. Os métodos matriciais podem
ser usados para desenvolver estratégias otimizadas para os jogadores.
Exemplo 1.0.2 (Administração de florestas)
O administrador de uma plantação de árvores de Natal quer plantar e
cortar as árvores de uma maneira tal que a configuração da floresta permaneça
inalterada de um ano para outro. O administrador também procura
maximizar os rendimentos, que dependem do número e do tamanho das
árvores cortadas.
Técnicas matriciais podem quantificar este problema e auxiliar o administrador
a escolher uma programação sustentável de corte.
Exemplo 1.0.3 (Computação gráfica) Uma das aplicações mais
úteis da computação gráfica é a do simulador de vôo.
As matrizes fornecem uma maneira conveniente de lidar com a enorme
quantidade de dados necessários para construir e animar os objetos tridimensionais
usados por simuladores de vôo para representar um cenário em
movimento.
1

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Exemplo 1.0.4 (Redes elétricas)
Circuitos elétricos que contenham somente resistências e geradores de
energia podem ser analisados usando sistemas lineares derivados das leis
básicas da teoria de circuitos.
Exemplo 1.0.5 (Distribuição de temperatura de equilíbrio)
Uma tarefa básica da ciência e da engenharia, que pode ser reduzida
a resolver um sistema de equações lineares através de técnicas matriciais
iterativas, é determinar a distribuição de temperatura de objetos tais como
a do aço saindo da fornalha.
Exemplo 1.0.6 (Cadeias de Markov)
Os registros meteorológicos de uma localidade específica podem ser usados
para estimar a probabilidade de que vá chover em um certo dia a partir da
informação de que choveu ou não no dia anterior.
A teoria das cadeias de Markov pode utilizar tais dados para prever, com
muita antecedência, a probabilidade de um dia chuvoso na localidade.
Exemplo 1.0.7 (Genética)
Os mandatários do Egito antigo recorriam a casamentos entre irmãos
para manter a pureza da linhagem real. Este costume propagou e acentuou
certos traços genéticos através de muitas gerações.
A teoria das matrizes fornece um referencial matemático para examinar
o problema geral da propagação de traços genéticos.
Exemplo 1.0.8 (Crescimento populacional por faixa etária)
A configuração populacional futura pode ser projetada aplicando álgebra
matricial às taxas, especificadas por faixas etárias, de nascimento e mortalidade
da população. A evolução a longo prazo da população depende
das características matemáticas de uma matriz de projeção que contém os
parâmetros demográficos da população.
Exemplo 1.0.9 (Colheita de populações animais)
A colheita sustentada de uma criação de animais requer o conhecimento
da demografia da população animal. Para maximizar o lucro de uma colheita
periódica, podem ser comparadas diversas estratégias de colheita sustentada
utilizando técnicas matriciais que descrevem a dinâmica do crescimento populacional.
Exemplo 1.0.10 (Criptografia)
Durante a Segunda Guerra Mundial, os decodificadores norte-americanos
e britânicos tiveram êxito em quebrar o código militar inimigo usando
técnicas matemáticas e máquinas sofisticadas.
Hoje em dia, o principal impulso para o desenvolvimento de códigos
seguros é dado pelas comunicações confidenciais entre computadores e em
telecomunicações.

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Exemplo 1.0.11 (Construção de curvas e superfícies por pontos
especificados)
Em seu trabalho “Principia Mathematica” (Os Princípios Matemáticos
da Filosofia Natural), I. Newton abordou o problema da construção de uma
elipse por cinco pontos dados. Isto ilustraria como encontrar a órbita de um
cometa ou de um planeta através da análise de cinco observações.
Ao invés de utilizarmos o procedimento geométrico de Newton, podemos
utilizar os determinantes para resolver o problema analiticamente.
Exemplo 1.0.12 (Programação linear geométrica)
Um problema usual tratado na área de programação linear é o da determinação
de proporções dos ingredientes em uma mistura com o objetivo de
minimizar seu custo quando as proporções variam dentro de certos limites.
Um tempo enorme do uso de computadores na administração e na indústria
é dedicado a problemas de programação linear.
Exemplo 1.0.13 (O problema da alocação de tarefas)
Um problema importante na indústria é o do deslocamento de pessoal e
de recursos de uma maneira eficiente quanto ao custo.
Por exemplo, uma construtora pode querer escolher rotas para movimentar
equipamento pesado de seus depósitos para os locais de construção de
maneira a minimizar a distância total percorrida.
Exemplo 1.0.14 (Modelos econômicos de Leontief)
Num sistema econômico simplificado, uma mina de carvão, uma ferrovia
e uma usina de energia necessitam cada uma de uma parte da produção
das outras para sua manutenção e para suprir outros consumidores de seu
produto.
Os modelos de produção de Leontief podem ser usados para determinar
o nível de produção necessário às três indústrias para manter o sistema
econômico.
Exemplo 1.0.15 (Interpolação “spline” cúbica)
As fontes tipográficas PostScript TM e TrueType TM usadas em telas de
monitores e por impressorar são definidas por curvas polinomiais por partes
denominadas “splines”.
Os parâmetros que os determinam estão armazenados na memória do
computador, um conjunto de parâmetros para cada um dos caracteres de
uma particular fonte.
Exemplo 1.0.16 (Teoria de grafos)
A classificação social num grupo de animais é uma relação que pode ser
descrita e analisada com a teoria de grafos.
Esta teoria também tem aplicações a problemas tão distintos como a determinação
de rotas de companhias aéreas e a análise de padrões de votação.
Exemplo 1.0.17 (Tomografia computadorizada)
Um dos principais avanços no diagnóstico médico é o desenvolvimento
de métodos não invasivos para obter imagens de seções transversais do corpo
humano, como a tomografia computadorizada e a ressonância magnética.

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Os métodos da Álgebra Linear podem ser usados para reconstruir imagens
a partir do escaneamento por raios X da tomografia computadorizada.
Exemplo 1.0.18 (Conjuntos fractais)
Conjuntos que podem ser repartidos em versões congruentes proporcionalmente
reduzidas do conjunto original são denominadas fractais. Os fractais
são atualmente aplicados à compactação de dados computacionais.
Os métodos da Álgebra Linear podem ser usados para construir e classificar
fractais.
Exemplo 1.0.19 (Teoria do Caos)
Os “pixels” que constituem uma imagem matricial podem ser embaralhados
repetidamente de uma mesma maneira, na tentativa de torná-los
aleatórios. Contudo, padrões indesejados podem continuar aparecendo no
processo.
A aplicação matricial que descreve o processo de embaralhar ilustra tanto
a ordem quanto a desordem que caracterizam estes processos caóticos.
Exemplo 1.0.20 (Um modelo de mínimos quadrados para a
audição humana)
O ouvido interno contém uma estrutura com milhares de receptores sensoriais
ciliares. Estes receptores, movidos pelas vibrações do tímpano, respondem
a freqüências diferentes de acordo com sua localização e produzem
impulsos elétricos que viajam até o cérebro através do nervo auditivo. Desta
maneira, o ouvido interno age como um processador de sinais que decompõe
uma onda sonora complexa em um espectro de freqüências distintas.
Exemplo 1.0.21 (Deformações e morfismos)
Você já deve ter visto em programas de televisão ou clipes musicais imagens
mostrando rapidamente o envelhecimento de uma mulher ao longo do
tempo, ou a transformação de um rosto de mulher no de uma pantera, a
previsão de como seria hoje o rosto de uma criança desaparecida há 15 anos
atrás, etc.
Estes processos são feitos a partir de algumas poucas fotos. A idéia
de continuidade, de evolução do processo, é feito através do computador.
Este processo de deformação é chamado de morfismo, que se caracteriza por
misturas de fotografias reais com fotografias modificadas pelo computador.
Tais técnicas de manipulação de imagens têm encontrado aplicações na
indústria médica, científica e de entretenimento.
C H A E TING ER

Capítulo 2
O Plano
efere-se ao Capítulo 2 de [30], páginas 16 a 39.
C H A E TING ER
5

Capítulo 3
O Espaço
efere-se ao Capítulo 4 de [30], páginas 90 a 103.
C H A E TING ER
19

Capítulo 4
Curvas Planas, Equações
Paramétricas e Coordenadas
Polares
efere-se ao Capítulo 12 de Larson, R.E.; Hostetter, R.P. e Edwards,
B.H. ([12]), páginas 743 a 801.
C H A E TING ER
27

Capítulo 5
Matrizes
5.1 Introdução
este capítulo, apresentamos os conceitos básicos sobre matrizes, os
quais surgem de forma natural na resolução de problemas, porque “ordenam
e simplificam” os mesmos, bem como fornecem novos métodos de resolução.
Adotaremos a abordagem lógico-dedutiva, pois os alunos que, ao concluírem
o Ensino Médio, pretendem se dedicar de forma especializada às
Engenharias, à Química Industrial, à Matemática ou à Informática, ingressando
nestas áreas na universidade, deparam-se com freqüência com raciocínios
lógico-dedutivos e convêm terem visto algo neste sentido já desde
o início do curso.
5.2 Conceito
Exemplo 5.2.1 Uma indústria tem quatro fábricas A, B, C, D, cada
uma das quais produz três produtos 1, 2, 3. A tabela mostra a produção da
indústria durante uma semana.
Fábrica A Fábrica B Fábrica C Fábrica D
Produto 1 560 360 380 0
Produto 2 340 450 420 80
Produto 3 280 270 210 380
Tabela 5.1: Produção da indústria por fábrica
Quantas unidades do produto 2 foram fabricadas pela fábrica C?
58

UNIVATES – Centro Universitário 59
Exemplo 5.2.2 Ao recolhermos os dados referentes a altura, peso e
idade de um grupo de quatro pessoas, podemos dispô-los na tabela abaixo:
Altura (m) Peso (kg) Idade (anos)
Pessoa 1 1,70 70 23
Pessoa 2 1,75 60 45
Pessoa 3 1,60 52 25
Pessoa 4 1,81 72 30
Tabela 5.2: Altura, peso e idade por pessoa
Ao abstrairmos os significados das linhas e das colunas, temos a matriz:
⎛
1, 70 70
⎞
23
⎜ 1, 75
⎝ 1, 60
60
52
45 ⎟
25 ⎠
1, 81 72 30
Quando o número de variáveis e de observações é muito grande, esta disposição
ordenada de dados é indispensável.
Definição 5.2.3 Sejam 1 ≤ m, n ∈ N; chama-se matriz m × n (leia-se:
m por n) a uma tabela constituída por mn elementos, dispostos em m linhas
(horizontais) e n colunas (verticais).
Notação: Seja Am×n e sejam i, j ∈ N tais que: 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n;
indicaremos com aij o elemento de A que ocupa a linha i e a coluna j; A
será indicada por:
⎡
⎤
a11 a12 · · · a1n
⎢
⎣
a21 a22 · · · a2n
· · · ·
· · · ·
· · · ·
am1 am2 · · · amn
ou de forma mais sintética: A = (aij), com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.
Usaremos sempre letras maiúsculas para denotar matrizes.
Também são utilizadas outras notações para matriz, além de colchetes,
como parênteses ou duas barras. Por exemplo:
2 −1 2 −1
e
0 4 0 4
Observação 5.2.4 Os elementos de uma matriz podem ser números reais,
números complexos, polinômios, funções, etc.; aqui, entretanto, trabalharemos
apenas com matrizes constituídas por números reais.
Definição 5.2.5 Sejam as matrizes A = (aij), com 1 ≤ i ≤ m e
1 ≤ j ≤ n e B = (bij), com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. Dizemos que A
⎥
⎦

UNIVATES – Centro Universitário 60
é IGUAL a B, e indicamos com A = B, se aij = bij para 1 ≤ i ≤ m e
1 ≤ j ≤ n, ou seja, duas matrizes m × n são iguais se possuem os elementos
de mesma posição iguais; se isto não acontecer, elas se dizem DIFERENTES
e indicamos com A = B.
Exemplo 5.2.6
⎛
3
⎞
2
⎛
1. ⎝ 4 7 ⎠ = ⎝
5 3
2
2.
8
4
=
−1
3 2
4 7
5 3
2 4
8 1
⎞
⎠
3. 1 2 3 = 3 2 1
4.
3 2 1 log 1
2 2 2 5
=
9 sin 90 o 0
2 4 5
Podemos também construir matrizes que possuam uma relação entre seus
elementos, a partir de uma lei de formação:
Exemplo 5.2.7 Representar explicitamente a matriz A = (aij), com
1 ≤ i ≤ 3 e 1 ≤ j ≤ 2, tal que aij = 3i − 2j + 4.
Resolução
• i = 1 e j = 1 ⇒ a11 = 3 · 1 − 2 · 1 + 4 = 5;
• i = 1 e j = 2 ⇒ a12 = 3 · 1 − 2 · 2 + 4 = 3;
• i = 2 e j = 1 ⇒ a21 = 3 · 2 − 2 · 1 + 4 = 8;
• i = 2 e j = 2 ⇒ a22 = 3 · 2 − 2 · 2 + 4 = 6;
• i = 3 e j = 1 ⇒ a31 = 3 · 3 − 2 · 1 + 4 = 11;
• i = 3 e j = 2 ⇒ a32 = 3 · 3 − 2 · 2 + 4 = 9.
⎛
Logo: A = ⎝
5 3
8 6
11 9
⎞
⎠.
Exercício 5.2.8 Representar explicitamente a matriz quadrada de ordem
2, cujo elemento genérico é: aij = 2i − 3j + 5.
Exemplo 5.2.9 Representar
explicitamente a matriz A = (aij), com
aij = 1 para i = j
1 ≤ i ≤ 3 e 1 ≤ j ≤ 3, tal que
aij = 0, para i = j.
Resolução

UNIVATES – Centro Universitário 61
O enunciado permite escrever:
a12 = a13 = a21 = a23 = a31 = a32 = 1
a11 = a22 = a33 = 0
. Logo:
⎛
⎝
0 1 1
1 0 1
1 1 0
⎞
⎠.
Exercício 5.2.10 Representar
explicitamente a matriz A = (aij), com
aij = 0 para i = j
1 ≤ i ≤ 4 e 1 ≤ j ≤ 4, tal que
aij = 1, para i = j.
Exemplo 5.2.11
1. Matriz A = (aij)3×3, tal que aij = j 2 − i 2 ⇒ matriz quadrada;
2. Matriz B = (bij)1×3, tal que bij = j − 2i ⇒ matriz linha;
3. Matriz C = (cij)4×1, tal que cij = 2i 2 − 3j ⇒ matriz coluna;
4. Matriz D = (dij)1×2, tal que dij = 0 ⇒ matriz nula;
5. Matriz E = (eij)2×2, tal que
eij =
0, se i = j
i + j, se i = j
6. Matriz F = (fij)3×3, tal que
fij =
5.3 Tipos Especiais
1, se i = j
0, se i = j
⇒ matriz diagonal;
⇒ matriz identidade.
Consideraremos agora alguns casos particulares de matrizes m × n:
Definição 5.3.1 Matriz Quadrada é aquela cujo número de linhas é
igual ao número de colunas (m = n). Nestes casos, costuma-se dizer que a
matriz é de ordem n.
Definição 5.3.2 Matriz Nula é aquela em que aij = 0, para todo i e
j. É denotada por Om×n.
Definição 5.3.3 Matriz-Coluna é aquela que possui uma única coluna
(n = 1).
Definição 5.3.4 Matriz-Linha é aquela onde m = 1.
Definição 5.3.5 Seja An×n uma matriz quadrada de ordem n; os elementos
aij, para os quais i = j (a11, a22, . . . , ann), são ditos elementos da
diagonal principal da matriz. Por outro lado, os elementos para os quais
i + j = n + 1 (a1n, a2 n−1, . . . , an 1), formam a diagonal secundária da
matriz.

UNIVATES – Centro Universitário 62
Definição 5.3.6 Matriz Diagonal é uma matriz quadrada (m = n)
onde aij = 0, para i = j, isto é, os elementos que não estão na diagonal
principal são nulos.
Definição 5.3.7 Matriz Identidade ou Unidade é uma matriz quadrada
de ordem n em que aii = 1 e aij = 0, para i = j. É denotada por
In. Muitas vezes, ela aparece escrita da seguinte forma: In = (δij), com
1 ≤ i, j ≤ n, onde:
1,
δij =
0,
quando
quando
i = j
i = j.
Definição 5.3.8 Matriz Triangular Superior é uma matriz quadrada
onde todos os elementos abaixo da diagonal são nulos, isto é, m = n
e aij = 0, para i > j.
Definição 5.3.9 Matriz Triangular Inferior é aquela em que m = n
e aij = 0, para i < j.
Definição 5.3.10 Matriz Simétrica é aquela onde m = n e aij = aji.
Observe que isto equivale a dizer que a parte superior é uma reflexão axial
da parte inferior, em relação à diagonal.
5.3.1 Exemplos
Exemplo ⎛ 5.3.11 ⎞ São exemplos de matrizes diagonais:
1 0 0
A = ⎝ 0 2 0 ⎠,
1 0
B = , C =
0 1
0 0 3
3 ⎛
0 0 0
, D = ⎝ 0 0 0
0 0 0
Exemplo 5.3.12
superiores.
Exemplo 5.3.13
angulares inferiores.
Exemplo 5.3.14
simétricas.
⎛
⎝
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
2 −1 0
0 −1 4
0 0 3
⎞
⎠ e
2 0 0 0
1 −1 0 0
1 2 2 0
1 0 5 4
a b c d
b e f g
c f h i
d g i k
⎞
a b
0 c
⎟
⎠ e
⎞
⎟
⎠ e
⎛
⎝
⎛
⎝
⎞
⎠.
são matrizes triangulares
5 0 0
7 0 0
2 1 3
⎞
4 3 −1
3 2 0
−1 0 5
⎠ são matrizes tri-
⎞
⎠ são matrizes

UNIVATES – Centro Universitário 63
5.4 Operações
Exercício 5.4.1 Consideremos as tabelas de produção de calçados no
primeiro trimestre de 2001.
Janeiro Fábrica A Fábrica B
Modelo 1 9667 307
Modelo 2 11545 7848
Modelo 3 0 3577
Março Fábrica A Fábrica B
Modelo 1 8234 1149
Modelo 2 13705 2971
Modelo 3 0 1804
Fevereiro Fábrica A Fábrica B
Modelo 1 2387 1265
Modelo 2 20178 5382
Modelo 3 0 1341
Tabela 5.3: Produção de calçados no primeiro trimestre
1. Quantos calçados de cada modelo cada fábrica produziu nos meses de
janeiro e fevereiro juntos?
2. Quantos calçados de cada modelo cada fábrica produziu no trimestre?
3. Considerando que a previsão para a produção de abril será o dobro da
de fevereiro, determine a estimativa para abril.
4. De quantos pares a produção (de cada modelo para cada fábrica) aumentou
ou diminuiu no período de janeiro para fevereiro?
Exemplo 5.4.2 Consideremos as tabelas que descrevem a produção de
grãos em dois anos consecutivos.
Ano 1 soja feijão arroz milho
Região A 3000 200 400 600
Região B 700 350 700 100
Região C 1000 100 500 800
Ano 2 soja feijão arroz milho
Região A 5000 50 200 0
Região B 2000 100 300 300
Região C 2000 100 600 600
Tabela 5.4: Produção de grãos (em milhares de toneladas) durante dois anos
consecutivos
Se quisermos montar uma tabela que dê a produção por produto e por
região nos dois anos conjuntamente, teremos que somar os elementos correspondentes
das duas tabelas acima):
⎡
⎣
3000 200 400 600
700 350 700 100
1000 100 500 800
⎤
⎡
⎦ + ⎣
5000 50 200 0
2000 100 300 300
2000 100 600 600
⎤
⎦ =

UNIVATES – Centro Universitário 64
Ou seja:
⎡
⎣
8000 250 600 600
2700 450 1000 400
3000 200 1100 1400
⎤
⎦ .
soja feijão arroz milho
Região A 8000 250 600 600
Região B 2700 450 1000 400
Região C 3000 200 1100 1400
Tabela 5.5: Produção total de grãos (em milhares de toneladas) durante os
dois anos
5.4.1 Adição
Definição 5.4.3 Sejam A = (aij) e B = (bij) matrizes , com 1 ≤ i ≤ m
e 1 ≤ j ≤ n. Chamamos de SOMA da matriz A com a matriz B à matriz
C = (cij), com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n tal que cij = aij + bij, para 1 ≤ i ≤ m
e 1 ≤ j ≤ n, ou seja, soma de duas matrizes m × n é a matriz que se obtém
das matrizes dadas, somando-se os elementos de mesma posição. Para dizer
que C é soma de A com B, indicá-la-emos com A + B.
Exemplo 5.4.4
⎡
⎣
1 −1
4 0
2 5
⎤
⎡
⎦+ ⎣
0 4
−2 5
1 0
⎤
⎡
⎦= ⎣
1 3
2 5
3 5
Observação 5.4.5 Só definimos soma de matrizes quando elas têm entre
si o mesmo número de linhas e também o mesmo número de colunas.
Observação 5.4.6 Pela forma com que foi definida, a adição de matrizes
tem as mesmas propriedades que a adição de números reais.
Definição 5.4.7 Seja a matriz A = (aij), com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.
Chamamos de matriz OPOSTA de A à matriz B = (bij), com 1 ≤ i ≤ m e
1 ≤ j ≤ n tal que: bij = −aij, para 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, ou seja, matriz
oposta de A é a matriz que se obtém de A trocando-se o sinal de cada um
dos seus elementos. Para dizer que B é oposta de A, indicá-la-emos com
−A.
Exemplo 5.4.8 A =
Propriedades
1 2 −1
0 −2 3
⇒ −A =
⎤
⎦.
−1 −2 1
0 2 −3
.
Propriedade 5.4.9 Dadas as matrizes A, B e C, todas m × n, temos:
i. A + B = B + A (comutativa)

UNIVATES – Centro Universitário 65
ii. (A + B) + C = A + (B + C) (associativa)
iii. A + Om×n = Om×n + A = A (elemento neutro)
iv. A + (−A) = (−A) + A = Om×n (elemento oposto)
prova: exercício.
5.4.2 Subtração
Definição 5.4.10 Sejam A e B duas matrizes m × n; chama-se
DIFERENÇA entre A e B à soma de A com a oposta de B; a diferença
entre A e B será indicada por A − B. Então, pela definição dada, temos:
A − B = A + (−B).
⎛
⎝
C =
C =
C =
C =
C =
Exemplo 5.4.11
3
⎞
−1
⎛
4 3
4 2 ⎠−⎝
2 −2
1 0 0 −1
⎞
⎛
⎠ = ⎝
Exercício 5.4.12 Sendo A =
3 7
1 −2
3 −1
4 2
1 0
⎞
8 7
2
, obtenha A + (B + C).
3
Exercício 5.4.13 Sendo A =
5 2
1 3
⎛
⎠+ ⎝
−1 2
−1 0
, obtenha (A − B) − C.
1 2
2 −1
, obtenha A − (B − C).
Exercício 5.4.14 Sendo A =
−1 −1
−2 0
Exemplo 5.4.15 Sendo A =
−1 −1
−2 0
1 2
2 −1
, obtenha A − B + C.
Solução
A − B + C = (A − B) + C =
Exemplo 5.4.16 Sendo A =
0 3
1 −4
−4 −3
−2 2
0 1
⎞
⎛
⎠ = ⎝
0 −1
, B =
4 2
3 2
, B =
4 1
0 3
, B =
0 2
0 3
, B =
0 2
0 −2
0 −3
e
e
e
e
2
1
3
−1
, B =
0
2
0
e
−3
, obtenha a matriz X tal que A + X = B + C.
−1 −4
2 4
1 1
⎞
⎠

UNIVATES – Centro Universitário 66
Resolução
Vamos acrescentar pela esquerda, a ambos os membros da igualdade
dada, a oposta de A; temos: −A + (A + X) = −A + (B + C), isto é,
(−A +
A) + X =
−A
+ (B + C)
⇒
X = −A +
(B
+ C). Portanto,
−2 −3 −1 0 0 3 −3 0
X =
+
+
=
−1 0 2 −3 1 −4 2 −7
C =
Exercício 5.4.17 Sendo A =
0 3
5 7
12
3
−2
7
, B =
−5
1
2
e
8
, obtenha a matriz Y tal que (A + Y ) − C = A + B.
5.4.3 Multiplicação por um Número Real
.
Exemplo 5.4.18 (Baseado nos dados do exemplo 5.4.2) Existem muitos
incentivos para se incrementar a produção (condições climáticas favoráveis,
etc.), de tal forma que a previsão para a safra do terceiro ano
será o triplo da produção do primeiro. Assim, a matriz de estimativa de
produção ⎡ deste último será:
3000 200 400 600
3 · ⎣ 700 350 700 100
1000 100 500 800
⎤
⎡
⎦= ⎣
9000 600 1200 1800
2100 1050 2100 300
3000 300 1500 2400
⎤
⎦.
Definição 5.4.19 Sejam α ∈ R e A = (aij), com 1 ≤ i ≤ m e
1 ≤ j ≤ n. Chamaremos de produto do número real α pela matriz
A à matriz B = (bij), com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n tal que: bij = α · aij para
1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, ou seja, o produto do número real α pela matriz A é
a matriz que se obtém de A multiplicando cada um dos seus elementos por
α.
Notação αA
Exemplo 5.4.20
1
A =
3
2
−1
0
2
Propriedades
⇒ −1
A =
2
− 1
2
− 3
2
−1 0
1
2 −1
Propriedade 5.4.21 Sejam os números reais α e β e as matrizes A e
B, ambas m × n. Temos:
i. α(βA) = (αβ)A
ii. (α + β)A = αA + βA
iii. α(A + B) = αA + αB
iv. 1 · A = A
v. (−1)A = −A

UNIVATES – Centro Universitário 67
vi. 0 · A = Om×n
vii. α · Om×n = Om×n
Convidamos você a demonstrar estas propriedades (em momentos de
extremo tédio, é claro).
Exemplo 5.4.22 Sendo A =
3(X − 3A) = 5X − 13A.
2 6
5 −3
Resolução
5X − 13A = 3(X − 3A) = 3X − 9A ⇒
5X − 3X = −9A + 13A ⇒
2X = 4A ⇒
X = 2A
2
Portanto, X = 2
5
6 4
=
−3 10
12
−6
, obtenha a matriz X tal que
.
3 2 5
3 0 −1
Exercício 5.4.23 Sendo A =
e B =
1 0 3
2 4 2
2X + Y = 4A + B
tenha as matrizes X e Y tais que:
X − 2Y = −3A + 3B.
, ob-
Exercício 5.4.24 Refaça o exercício 5.4.1 usando a notação matricial.
5.4.4 Multiplicação de Matrizes
Exercício 5.4.25 Uma indústria fabrica certo aparelho em 2 modelos P
e Q. Na montagem do aparelho P , são utilizados 6 transistores, 9 capacitores
e 11 resistores; no modelo Q, são 4 transistores, 7 capacitores e 10 resistores.
Uma indústria recebeu a seguinte encomenda para os meses de janeiro e
fevereiro:
Janeiro: 8 aparelhos do modelo P e 12 aparelhos do modelo Q.
Fevereiro: 10 aparelhos do modelo P e 6 do modelo Q.
Calcular a quantidade de transistores, capacitores e resistores necessários
para atender às encomendas de cada mês.
Antes de definir a multiplicação entre matrizes, vejamos um exemplo do
que pode ocorrer na prática:
Exemplo 5.4.26 Suponhamos que a seguinte tabela forneça as quantidades
das vitaminas A, B e C obtidas em cada unidade dos alimentos I e
II.

UNIVATES – Centro Universitário 68
A B C
Alimento I 4 3 0
Alimento II 5 0 1
Tabela 5.6: Quantidades de vitaminas por alimento
Se ingerirmos 5 unidades do alimento I e 2 unidades do alimento II,
quanto consumiremos de cada tipo de vitamina?
Resolução
Podemos representar o consumo dos alimentos I e II (nesta ordem) pela
matriz “consumo”:
[5 2].
A operação que vai nos fornecer a quantidade ingerida de cada vitamina
é o “produto”:
4 3 0
[5 2] ·
=
5 0 1
= [ 5 · 4 + 2 · 5 5 · 3 + 2 · 0 5 · 0 + 2 · 1 ] =
= [30 15 2] (5.1)
Isto é, serão ingeridas 30 unidades de vitamina A, 15 de B e 2 de C.
Outro problema que poderemos considerar em relação aos dados do
exemplo 5.4.26 é o seguinte:
Exemplo 5.4.27 Se o custo dos alimentos depender somente do seu
conteúdo vitamínico e soubermos que os preços por unidade de vitamina
A, B e C são, respectivamente, $1, 50u.m., $3, 00u.m. e $5, 00u.m., quanto
pagaríamos pela porção de alimentos indicada no exemplo 5.4.26?
[30 15 2] ·
Resolução
⎡
⎣
1, 50
3, 00
5, 00
⎤
⎦ =
= [30(1, 50) + 15(3) + 2(5)] =
= [100]
(5.2)
Ou seja, pagaríamos $100, 00u.m..
Observamos que nos “produtos” de matrizes efetuados em 5.1 e 5.2,
cada um dos elementos da matriz-resultado é obtido a partir de uma linha
da primeira e uma coluna da segunda. Além disso, com relação às ordens
das matrizes envolvidas, temos:
Em 5.1: [ ]1×2 · [ ]2×3 = [ ]1×3
Em 5.2: [ ]1×3 · [ ]3×1 = [ ]1×1.
O exemplo acima esboça uma definição de multiplicação de matrizes A
e B, quando A é uma matriz-linha. Esta idéia pode ser generalizada:

UNIVATES – Centro Universitário 69
Definição 5.4.28 Sejam as matrizes A = (aik), 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ k ≤ p
e B = (bkj), 1 ≤ k ≤ p e 1 ≤ j ≤ n. Chamamos de PRODUTO da matriz
A pela matriz B à matriz C = (cij), 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n tal que:
onde 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.
cij = ai1b1j + ai2b2j + . . . + aipbpj =
p
k=1
aikbkj,
Para dizer que a matriz C é o produto de A por B, indicá-la-emos com
AB.
Observação 5.4.29 Só tem sentido definirmos o produto AB de duas
matrizes quando o n o de colunas de A for igual ao n o de linhas de B; além
disso, o produto AB possui o n o de linhas de A e o n o de colunas de B;
esquematicamente, temos:
Am×p · Bp×n
= Cm
× n
⎡ ⎤
1 2
Exemplo 5.4.30 Determinar o produto ⎣ 3 4 ⎦
7 1
.
2 4
0 5
B
A
Resolução
Como a matriz A é uma matriz 3 × 2 e B é 2 × 2, o n o de colunas de A
é igual ao n o de linhas de B e , então, o produto AB está definido e é uma
matriz 3 × 2.
O elemento c11, que pertence à 1 a linha e à 1 a coluna de AB, é calculado
multiplicando-se ordenadamente os elementos da 1 a linha de A pelos
elementos da 1 a coluna de B, e somando-se os produtos assim obtidos (procure
perceber que isto é verdade a partir da definição de cij, quando i = 1 e
j = 1); portanto:
⎡
⎣
1 2
3 4
0 5
⎤
⎦ ·
7 1
2 4
⎡
= ⎣
1 · 7 + 2 · 2 · · ·
· · · · · ·
· · · · · ·
O elemento c12, que pertence à 1 a linha e à 2 a coluna de AB, é calculado
multiplicando-se ordenadamente os elementos da 1 a linha de A pelos
elementos da 2 a coluna de B, e somando-se os produtos assim obtidos;
portanto: ⎡
⎣
1 2
3 4
0 5
⎤
⎦ ·
7 1
2 4
Da mesma forma teremos: c21
⎡
= ⎣
· · · 1 · 1 + 2 · 4
· · · · · ·
· · · · · ·
⎤
⎦
⎤
⎦

UNIVATES – Centro Universitário 70
⎡
⎣
1 2
3 4
0 5
⎡
. . .Logo, AB = ⎣
Exercícios
B =
⎤
⎦ ·
7 1
2 4
⎡
= ⎣
1 · 7 + 2 · 2 1 · 1 + 2 · 4
3 · 7 + 4 · 2 3 · 1 + 4 · 4
0 · 7 + 5 · 2 0 · 1 + 5 · 4
Exercício 5.4.31 Determine o produto ⎝
· · · · · ·
3 · 7 + 4 · 2 · · ·
· · · · · ·
⎛
⎤
⎡
⎦ = ⎣
⎤
⎦
11 9
29 19
10 20
2 0 1
0 −1 2
4 1 3
⎞
⎤
⎠ · ⎝
Exercício 5.4.32 Determine o produto 1 −2 4 · ⎝
Exercício 5.4.33 Obtenha o produto
Exercício 5.4.34 Obtenha o produto
Exercício 5.4.35 Obtenha o produto
Exercício 5.4.36 Obtenha o produto ⎝
Exercício 5.4.37 Obtenha o produto ⎝
1 −5 3
0 1 3
2 2
3 3
2 −3
3 −2
⎛
⎛
1 2 3
4 5 6
7 8 9
⎛
⎛
· ⎝
⎦ .
⎛
1 −1
2 1
3 0
3 −2
1 4
2 1
3 1
2 3
1 2
⎞
⎠.
1 2 3 −1
·
2 1 2 0
2 −3
·
3 −2
⎞
6 0 1
−3 1 4
2 2 1
⎛
⎠ · ⎝
⎞
⎠ · ⎝
Exemplo 5.4.38 Obter AB e BA, caso existam: A = ⎝
1 1 1
2 1 2
.
⎛
1
AB = ⎝ 3
1
1
BA =
2
Solução
⎞
⎛
2
4 ⎠
1 1 1
·
= ⎝
2 1 2
−2
⎛ ⎞
1 2
1 1
· ⎝ 3 4 ⎠
5
=
1 2
7
1 −2
4
4
5 3 5
11 7 11
−3 −1 −3
⎞
⎠.
.
1 0
0 1
−2 3
⎛
⎛
⎞
⎠.
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 2
3 4
1 −2
⎞
⎠.
⎞
.
⎞
⎠.
⎞
⎠.
⎠ e
.

UNIVATES – Centro Universitário 71
B =
B =
Exemplo 5.4.39 Obter AB e BA, caso existam: A =
−1 1
−1 0
.
1 −2
3 −1
Solução
1 −2 −1 1 1
AB =
·
=
3 −1 −1 0 −2
−1 1 1 −2 2
BA =
·
=
−1 0 3 −1 −1
1
.
3
1
.
2
Exemplo 5.4.40 Obter AB e BA, caso existam: A =
1 1 1
2 0 2
.
1 2
1 2
e
1
AB =
1
2 1
·
2 2
1
0
Solução
1 5
=
2 5
1
1
5
.
5
BA não existe, pois o n o de colunas de B é diferente do n o de linhas
de A.
⎛
1 5
⎞
7
Exemplo 5.4.41 Obter AB e BA, caso existam: A = ⎝ 2 3 1 ⎠ e
3
B =
1
2
.
8
0 5 2
Solução
AB não existe, pois o número de colunas de A é diferente do número de
linhas de B.
BA não existe, pois o número de colunas de B é diferente do número de
linhas de A.
B =
Exemplo 5.4.42 Obter AB e BA, caso existam: A =
5 3
4 8
.
2 3
4 5
e
Solução
2
AB =
4
5
BA =
4
3 5
·
5 4
3 2
·
8 4
3 22
=
8 40
3 22
=
5 40
30
.
52
30
.
52
e

UNIVATES – Centro Universitário 72
Exemplo 5.4.43 Obter AB e BA, caso existam: A =
B = 1 2 3 4 .
B =
⎛
⎜
⎝
−1
−2
−3
−4
⎞
⎟
⎠ e
⎛
−1 −2 −3 −4
Solução
⎞
⎜
AB = ⎜ −2
⎝ −3
−4
−6
−6
−9
−8 ⎟
−12 ⎠ , BA = (−30)
−4 −8 −12 −16
Exemplo 5.4.44 Obter AB e BA, caso existam: A =
3 −2
−15 10
AB =
0 0
0 0
.
Observação 5.4.45
= O2×2,
Solução
−5
BA =
25
−1
5
5 1
10 2
.
1. Num produto de matrizes A e B, a ordem em que aparecem os fatores
é importante: pode acontecer que
(a) ∃AB e ∃BA (ver 5.4.41)
(b) ∃AB e ∃BA (ver 5.4.40)
(c) ∃AB e ∃BA
(d) ∃AB, ∃BA, mas são matrizes de dimensões diferentes (ver
5.4.43)
(e) ∃AB, ∃BA, de mesmas dimensões, mas AB = BA (ver 5.4.44)
(f) ∃AB, ∃BA, e AB = BA (ver 5.4.42).
2. O produto de duas matrizes não-nulas pode resultar numa matriz nula
(ver 5.4.44).
Propriedades
Propriedade 5.4.46 Quaisquer que sejam as matrizes A(m × n), B e
C (convenientes) e qualquer que seja o número real α, tem-se:
i. (AB)C = A(BC) (associativa)
ii. C(A + B) = CA + CB (distributiva à esquerda)
iii. (A + B)C = AC + BC (distributiva à direita)
iv. AIn = ImA = A (elemento neutro)
e

UNIVATES – Centro Universitário 73
v. (αA)B = A(αB) = α(AB)
vi. A · On×p = Om×p e Op×m · A = Op×n.
prova: i. Sejam:
• A = (aij), 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n;
• B = (bjk), 1 ≤ j ≤ n e 1 ≤ k ≤ p;
• C = (ckl), 1 ≤ k ≤ p e 1 ≤ l ≤ q;
• AB = (dik), 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ k ≤ p;
• BC = (ejl), 1 ≤ j ≤ n e 1 ≤ l ≤ q;
• AB(C) = (fil), 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ l ≤ q;
• A(BC) = (gil), 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ l ≤ q.
Teremos:
fil = p
k=1 dik · ckl =
= p
k=1 ( n
j=1 aij · bjk · ckl) =
= p
k=1 ( n
j=1 aij · bjk · ckl) =
= n
j=1 ( p
k=1 aij · bjk · ckl) =
= n
j=1 aij · ( p
k=1 bjk · ckl) =
= n
j=1 aij · ejl =
= gil
As demais ficam para momentos de solidão!
Exercícios
e C =
B =
Exercício 5.4.47 Dadas as matrizes A =
2 −1
0 4
1 2
−3 4
1 5
, B =
2 3
, calcule: A(BC), (AB)C, (A + B)C, e AC + BC.
1
2
−1 3
, calcule: (A + B) 2 , e A2 + 2(AB) + B2 .
Exercício 5.4.48 Dadas as matrizes A =
1 −1
1 0
Dica: Use que (A + B) 2 = (A + B)(A + B).
Observação 5.4.49 Note que, no exemplo 5.4.48, temos que
(A + B) 2 = A 2 + 2(AB) + B 2 .
Exercício 5.4.50 (Desafio) Sejam A e B duas matrizes quadradas
de ordem n. Qual é a condição necessária e suficiente para que tenhamos a
igualdade (A + B) 2 = A 2 + 2(AB) + B 2 ?
e

UNIVATES – Centro Universitário 74
Exercício 5.4.51 É válida a igualdade (A + B)(A − B) = A2 − B2
2 3
1 2
quando A = e B =
?
5 4
−1 −2
Definição 5.4.52 Seja A uma matriz quadrada de ordem qualquer. Definimos
a n-ésima POTÊNCIA de A do seguinte modo:
A =
A 1 = A
A n = A · A n−1 , onde n é um inteiro ≥ 2.
Exercício 5.4.53 Assumindo a definição 5.4.52, determine A 3 , sendo
1 −1
1 0
.
5.4.5 Transposição
Definição 5.4.54 Considere uma matriz A, m × n; chama-se matriz
TRANSPOSTA de A, e se indica com A t , à matriz n × m que se obtém da
matriz A trocando, ordenadamente, as suas linhas pelas suas colunas.
Exemplo 5.4.55
2
1. A =
5
3
7
4
⇒ A
1
t ⎛
2
= ⎝ 3
4
⎞
5
7 ⎠
1
1
2. B =
5
3
⇒ B
2
t
1
=
3
5
2
⎛ ⎞
3
⎜
3. C = ⎜ 1 ⎟
⎝ 0 ⎠
5
⇒ Ct = 3 1 0 5
Observação 5.4.56
i. n o de linhas de A = n o de colunas de A t
ii. n o de colunas de A = n o de linhas de A t
iii. o elemento que, em A, ocupa a linha i e a coluna j, em A t ocupa a
linha j e a coluna i.
Propriedade 5.4.57 Quaisquer que sejam as matrizes A e B, ambas
m × n, a matriz C, n × p, e o número real α, temos:
i. (A t ) t = A
ii. (A + B) t = A t + B t
iii. (αA) t = αA t
iv. (AC) t = C t A t
CUIDADO!

UNIVATES – Centro Universitário 75
Observação 5.4.58 A = (aij), 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n ⇒ A t = (aji),
1 ≤ j ≤ n e 1 ≤ i ≤ m.
2 1
Exercício 5.4.59 Sendo A =
e B =
3 1
AB t , BA t , (AB) t , A t B t , B t A t , e BA.
Exercício 5.4.60 Sendo A =
−2 3 −1
1 0 2
2 5
2 −6
, obtenha A · A t .
, calcule:
Observação 5.4.61 Uma matriz é simétrica se, e somente se, ela é
igual à sua transposta, isto é, se, e somente se, A = A t (ver definição
5.3.10).
5.5 Exercícios de Fixação e Problemas de
Aplicação
Exercício 5.5.1 Escrever a matriz A = (aij) nos seguintes casos:
(a) i ∈ {1, 2, 3} e j ∈ {1, 2};
(b) A é do tipo 3 × 2, com aij = 5 para i = j e aij = 3 para i = j;
(c) A é de 3 a ordem, com aij = 1 para i = j e aij = 0 para i = j;
(d) A é uma matriz do tipo 2 × 3, com aij = 4 para i > j, aij = 5 para i < j
e aij = 8 para i = j.
Exercício 5.5.2 Determinar os valores de x, y, z e v para que as matrizes
sejam iguais.
2x 8
36 v − 4
10 y − 2
=
v z2
.
3
Exercício 5.5.3 Determinar os valores de x e y para que as matrizes
sejam iguais.
3x 2x + 3y
−20 1
y
14 + x 21
=
x2 − 9x 3
√
3, 5 8
Exercício 5.5.4 Dadas as seguintes matrizes A=
√
2, 4 2
B=
(a) A + B;
(b) A − B;
3
5 −2
, calcular:
.
4 −3
(c) Determinar o triplo da matriz A= 1 ;
2 1, 4
3 5
(d) Dadas as matrizes: A=
e b=
−2 4
−1 −3
6 7
1
4 −7
e
, determinar X,
tal que X = 2A − 4B.
Observação: A matriz X, assim obtida, é uma combinação linear de A e
B através dos coeficientes 2 e −4.

UNIVATES – Centro Universitário 76
Exercício 5.5.5 Pulverizam-se pesticidas sobre plantas para eliminar
insetos daninhos. No entanto, parte do pesticida é absorvida pela planta. Os
pesticidas são absorvidos por herbívoros quando eles comem as plantas que
foram pulverizadas. Suponha que temos três pesticidas e quatro plantas, e a
quantidade de pesticida (em miligramas) que foi absorvido por cada planta
está representado na tabela abaixo:
Planta 1 Planta 2 Planta 3 Planta 4
2 3 4 3
3 2 2 5
4 1 6 4
Tabela 5.7: Quantidade de pesticida absorvido por planta
Suponha agora que temos três herbívoros e o número de plantas que cada
herbívoro come por mês está representado na tabela seguinte:
Herbívoro 1 Herbívoro 2 Herbívoro 3
20 12 8
28 15 15
30 12 10
40 16 20
Tabela 5.8: Quantidade de plantas ingeridas por herbívoro
Determinar a quantidade de cada tipo de pesticida absorvido por cada
herbívoro.
Exercício 5.5.6 Durante a campanha eleitoral, o prefeito eleito prometeu
a construção de casas populares. (Prometeu, tem que cumprir!) O povo
sugeriu a construção de dois tipos de casas: média e grande. As casas do
tipo média têm 5 portas, 6 janelas e 6 caixas de luz. As casas do tipo grande
têm 8 portas, 9 janelas e 10 caixas de luz. Numa primeira etapa deverão
ser construídas 500 casas do tipo média e 200 do tipo grande; numa segunda
etapa, 600 do tipo média e 400 do tipo grande. Quanto de cada material
será necessário em cada etapa?
Exercício 5.5.7 Uma indústria automobilística produz X e Y nas
versões standard, luxo e superluxo. Peças A, B e C são utilizadas na montagem
desses carros. Para um certo plano de montagem, é dada a seguinte
informação:

UNIVATES – Centro Universitário 77
Carro X Carro Y
Peça A 4 3
Peça B 3 5
Peça C 6 2
Standard Luxo Superluxo
Carro X 2 4 3
Carro Y 3 2 5
Tabela 5.9: Plano de montagem de automóveis
Quantas peças de cada modelo, cada versão vai precisar?
Exercício 5.5.8 Imagine um laboratório que fabrica, dentre outros, os
remédios A, B, C. Para a produção de uma unidade do remédio A são
necessários 3g do ingrediente x, 7g do ingrediente y e 10g do ingrediente z.
Com relação ao remédio B são necessários 2g de x, 4g de y e 5g de z. E
para o remédio C precisamos de 5g de x, 1g de y e 6g de z. Admitamos que
o consumo dos três remédios, nos meses de agosto e setembro seja:
Agosto: 80 unidades de A, 100 de B e 150 de C;
Setembro: 50 unidades de A, 120 de B e 90 de C.
Determine a quantidade de cada ingrediente necessária em cada mês.
Exercício 5.5.9 Uma pequena loja de roupas organizou seu estoque de
camisetas em duas prateleiras de acordo com os modelos A e B. Em janeiro
o estoque foi distribuídos do seguinte modo:
Prateleira A: 13 camisetas P , 15 camisetas M e 27 camisetas G;
Prateleira B: 18 camisetas P , 19 camisetas M e 24 camisetas G.
O preço das camisetas era o mesmo para os dois modelos e está representado
na tabela abaixo:
Tamanho Preço (em R$)
P 13, 50
M 15, 50
G 16, 50
Tabela 5.10: Preço das camisetas por tamanho
Qual o valor total que a loja possuía em camisetas?
Exercício 5.5.10 Consideremos uma companhia que fabrica carros dos
tipos A, B e C em duas fábricas F1 e F2, e cuja produção mensal está
representada na tabela abaixo:
A B C
F1 40 10 36
F2 15 60 20
Tabela 5.11: Produção mensal de automóveis por modelo e por fábrica

UNIVATES – Centro Universitário 78
O carro tipo A usa 50 parafusos para a sua montagem, o carro tipo B
usa 80 parafusos e o carro tipo C usa 70 parafusos. Calcular o total de
parafusos que cada fábrica usa mensalmente.
Exercício 5.5.11 João, Paulo e Pedro vão construir, cada um, um
brinquedo composto por 3 tipos de peças. O brinquedo pode ser montado
com quantas peças quisermos. Os meninos fizeram as seguintes escolhas do
número de peças:
Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3
João 4 2 3
Paulo 3 4 2
Pedro 2 3 4
Tabela 5.12: Número de peças por brinquedo e por usuário
Duas lojas vendem as peças pelos seguintes preços (em reais):
Loja 1 Loja 2
Tipo 1 3, 00 2, 50
Tipo 2 6, 00 7, 00
Tipo 3 5, 00 4, 50
Tabela 5.13: Preços dos brinquedos por loja
Descubra o preço que cada um pagaria na Loja 1 e na Loja 2.
Exercício 5.5.12 Uma doceira produz dois tipos de doces, A e B. Para
a produção desses doces são utilizados os ingredientes X, Y , Z, conforme
indica a tabela:
A B
X 5 8
Y 3 2
Z 4 7
Tabela 5.14: Produção de doces
Suponha que sejam fabricados 50 doces do tipo A e 20 doces do tipo B,
por dia. Determine a quantidade de ingredientes X, Y , Z utilizados por dia.
Exercício 5.5.13 Um empresário oferece mensalmente alimentos a dois
orfanatos. Para o orfanato 1 são doados 25Kg de arroz, 20Kg de feijão,
30Kg de carne e 32 Kg de batata. Para o orfanato 2 são doados 28Kg de
arroz, 24Kg de feijão, 35Kg de carne e 38Kg de batata. O empresário faz
a cotação de preços em dois mercados. Veja a cotação atual, em reais:

UNIVATES – Centro Universitário 79
Produto (1Kg) Mercado 1 (R$) Mercado 2 (R$)
Arroz 1,00 1,00
Feijão 1,50 1,20
Carne 6,00 7,00
Batata 0,80 0,60
Tabela 5.15: Cotação de preços dos alimentos
Determine o gasto mensal desse empresário, por orfanato, supondo que
todos os produtos sejam adquiridos no mesmo estabelecimento e que este
represente a melhor opção de compra.
Exercício 5.5.14 Uma indústria produz dois tipos de produtos, P e Q,
em duas fábricas X e Y . Ao fazer estes produtos, são gerados os poluentes
dióxido de enxofre, óxido nítrico e partículas. As quantidades de poluentes
gerados são dadas (em quilos) pela tabela abaixo:
Dióxido de enxofre Óxido nítrico Partículas
Produto P 300 100 150
Produto Q 200 250 400
Tabela 5.16: Quantidade de poluentes em quilos
Leis e regulamentos federais e estaduais exigem que estes poluentes sejam
eliminados. O custo diário de remover cada quilo de poluente é dado pela
tabela seguinte:
Fábrica X Fábrica Y
Dióxido de enxofre 8 12
Óxido nítrico 7 9
Partículas 15 10
Tabela 5.17: Preço para remover cada quilo de poluente
Que informações os coeficientes do produto das matrizes acima fornecem
ao fabricante? Calcule-os.
Exercício 5.5.15 Um projeto de pesquisa sobre dietas consiste em adultos
e crianças de ambos os sexos. A composição dos participantes no projeto
é dada pela tabela a seguir:

UNIVATES – Centro Universitário 80
Adultos Crianças
Masculino 80 120
Feminino 100 200
Tabela 5.18: Participantes do projeto por faixa etária e sexo
O número de gramas diários de proteínas, gorduras e carboidratos consumidos
por cada criança e adulto é dado pela tabela abaixo:
Proteínas Gorduras Carboidratos
Adultos 20 20 20
Crianças 10 20 30
Tabela 5.19: Quantidade diária de nutrientes consumidos
1. Quantos gramas de proteínas são consumidos diariamente pelos homens
no projeto?
2. Quantos gramas de gordura são consumidos diariamente pelas mulheres
no projeto?
Exercício 5.5.16 Um fabricante de móveis produz cadeiras e mesas,
cada uma das quais deve passar por um processo de montagem e por um
processo de acabamento. Os tempos exigidos por estes processos são dados
(em horas) pela tabela abaixo:
Montagem Acabamento
Cadeira 2 2
Mesa 3 4
Tabela 5.20: Tempo de fabricação de móveis
O fabricante tem uma fábrica em São Paulo e outra em Santa Catarina.
Os preços por hora de cada um dos processos são dados pela tabela a seguir:

UNIVATES – Centro Universitário 81
São Paulo Santa Catarina
Montagem 9 10
Acabamento 10 12
Tabela 5.21: Preço por hora dos estágios de fabricação
O que os coeficientes do produto das matrizes acima representam para o
fabricante? Calcule-os.
Exercício 5.5.17 Uma indústria fabrica três modelos diferentes de televisores.
A tabela mostra o número de teclas e alto-falantes usados em cada
aparelho A, B e C.
Componentes Aparelho A Aparelho B Aparelho C
Teclas 10 12 15
Alto-falantes 2 2 4
Tabela 5.22: Quantidade teclas e alto-falantes por televisor
A tabela seguinte mostra a estimativa de produção da fábrica os próximos
dois meses.
Modelo Mês 1 Mês 2
A 800 2000
B 1000 1500
C 500 1000
Tabela 5.23: Estimativa de produção de televisores para dois meses
Quantas teclas e quantos alto-falantes serão necessários para a produção
dos dois meses?
Exercício 5.5.18 Uma indústria de calçados está pretendendo introduzir
três novos modelos de sapatos em sua produção. Para isso, vai utilizar
dois tipos de acessórios, conforme especificado na tabela abaixo:

UNIVATES – Centro Universitário 82
Acessório Modelo A Modelo B Modelo C
X 3 5 2
Y 8 10 5
Tabela 5.24: Quantidade de acessórios utilizados na fabricação de calçados
A produção dos três tipos de calçados deve seguir a tabela abaixo nos
meses de teste da aceitação dos novos modelos no mercado:
Modelo Mês 1 Mês 2 Mês3
A 1000 1200 2000
B 1200 1500 2000
C 2000 2000 2500
Tabela 5.25: Produção de calçados no período de aceitação de novos modelos
Quantos acessórios X e quantos Y serão utilizados nessa produção experimental?
Exercício 5.5.19 Um fast food de sanduíches naturais vende dois tipos
de sanduíches, A e B, utilizando os ingredientes (queijo, atum, rosbife,
salada) nas seguintes quantidades (em gramas) por sanduíche:
Sanduíche A Sanduíche B
queijo 18 10
salada 26 33
rosbife 23 12
atum 0 16
Tabela 5.26: Quantidade em gramas de cada ingrediente por sanduíche
Durante um almoço foram vendidos 6 sanduíches do tipo A e 10
sanduíches do tipo B. Qual foi a quantidade necessária de cada ingrediente
para a preparação desses 16 sanduíches? Represente na forma de produto
de matrizes.
Exercício 5.5.20 (Desafio) Uma rede de comunicação tem cinco locais
com transmissores de potências distintas. Estabelecemos que aij = 1,
na matriz abaixo, significa que a estação i pode transmitir diretamente para
a estação j, aij = 0 significa que a transmissão da estação i não alcança
a estação j. Observe que a diagonal principal é nula significando que uma
estação não transmite diretamente para si mesma.
⎡
⎢
A = ⎢
⎣
0 1 1 1 1
1 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0
⎤
⎥
⎦

UNIVATES – Centro Universitário 83
Qual seria o significado da matriz A 2 = A · A?
Seja A 2 = [cij]. Calculemos o elemento
c42 =
5
a4kak2 = 0 + 0 + 1 + 0 + 0 = 1.
k=1
Note que a única parcela não nula veio de a43 · a32 = 1 · 1. Isto significa que
a estação 4 transmite para a estação 2 através de uma retransmissão pela
estação 3, embora não exista uma transmissão direta de 4 para 2.
1. Calcule A 2
2. Qual o significado de c13 = 2?
3. Discuta o significado dos termos nulos, iguais a 1 e maiores que 1 de
modo a justificar a afirmação: “A matriz A 2 representa o número de
caminhos disponíveis para se ir de uma estação a outra com uma única
retransmissão”.
4. Qual o significado das matrizes A + A 2 , A 3 e A + A 2 + A 3 ?
5. Se A fosse simétrica, o que significaria?
5.6 Respostas
Capítulo
dos Principais Exercícios do
5.2.8
4
6
1
3
⎛
1 0 0
⎞
0
5.2.10
⎜ 0
⎝ 0
1
0
0
1
0 ⎟
0 ⎠ = I4
0 0 0 1
⎡
12054 1572
⎤ ⎡
5.4.1 1. ⎣ 31723 13230 ⎦ 2. ⎣
0
⎡
−7280
4918
958
⎤
4. ⎣ 8633 −2466 ⎦
0 −2236
5.4.12
11
7
13
3
5.4.13
−9
−6
−2
−4
5.4.14
0
0
−2
−3
5.4.17
7
Y = B + C =
6
5
15
20288 2721
45428 16201
0 6722
⎤
⎦ 3.
⎡
⎣
4774 2530
40356 10764
0 2682
⎤
⎦

UNIVATES – Centro Universitário 84
5.4.23 X = A + B =
5.4.25
6 2 4
3 4 5
3 4 11
, Y = 2A − B =
0 −4 4
Janeiro Fevereiro
Transistores 96 84
Capacitores 156 132
Resistores 208 170
⎛
5
⎞
−2
5.4.31 ⎝ 4 −1 ⎠
15 −3
5.4.32
9
−6
5.4.33
−4
5
−8
9
5.4.34
6
9
6
9
10
15
−2
−3
5.4.35
−5
0
0
= −5I2
−5
⎛
−5
⎞
11
5.4.36 ⎝ −8 23 ⎠
−11 35
⎛
6 0
⎞
1
5.4.37 ⎝ −3 1 4 ⎠
2 2 1
10 39
5.4.47 A(BC) = (AB)C =
,
10 −17
4 26
(A + B)C = AC + BC =
−2 29
5.4.51 Não, pois AB = BA
5.4.53
−1
0
0
= −I2
−1
5.4.59 ABt
9 −2
=
, BA
11 0
t
9 11
=
, (AB)
−2 0
t
6
=
4
A
8
9
tBt
19 −14
=
, B
7 −4
tAt = (AB) t
19 7
, BA =
−14 −4
5.4.60
14
−4
−4
5
,

UNIVATES – Centro Universitário 85
⎛
5.5.1 (a) A= ⎝
⎛
(c) I3 = ⎝
a11 a12
a21 a22
a31 a32
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎞
⎛
⎠; (b) A= ⎝
⎞
⎠; (d) A=
3 5
5 3
5 5
8 5 5
4 8 5
5.5.2 x = 5, y = 10, z = ±6, v1 = 4, v2 = −1
5.5.3 Impossível
√
5, 9 3 2
5.5.4 (a) A+B= 17
20 −9
1, 1
; (b) A-B=
−
√
2
7
20 −5
12 −9
10 22
(c) 3A= 3 ; (d) X=
2 4, 2
−28 −20
;
⎡
364 165
⎤
161
5.5.5 ⎣ 376 170 174 ⎦
448 199 187
⎡
4100
⎤
6200
5.5.6 ⎣ 4800 7200 ⎦
5000 7600
⎡
17 22
⎤
27
5.5.7 ⎣ 21 22 34 ⎦
18 28 28
⎡
1190 840
⎤
5.5.8 ⎣ 1110 920 ⎦
2200 1640
5.5.9 R$1787, 00
5320
5.5.10
6950
⎡ ⎤
39 37, 5
5.5.11 ⎣ 43 44, 5 ⎦
44 44
⎡ ⎤
410
5.5.12 ⎣ 190 ⎦
340
260, 60 278, 20
5.5.13
304, 40 324, 60
5350 6000
5.5.14
Os coeficientes fornecem o custo diário para remover
9350 8650
o total de poluentes de cada produto em cada fábrica.
5.5.15 (1). 2800 g; (2). 6000 g
⎞
⎠;

UNIVATES – Centro Universitário 86
38
5.5.16
67
44
Os coeficientes fornecem o custo de fabricação de uma
78
mesa e de uma cadeira numa mesma fábrica.
27500
5.5.17
5600
53000
11000
5.5.18
5.5.19
⎡
⎢
⎣
208
486
258
160
⎤
⎥
⎦
Mês 1 Mês 2 Mês 3
Acessório X 13000 15100 21000
Acessório Y 30000 34600 48500
C H A E TING ER

Capítulo 6
Sistemas Lineares
6.1 Introdução
a natureza, as coisas estão em constante transformação, e o Homem
precisa dominar estes processos de mudança para sobreviver e melhorar
sua existência. Uma das maneiras mais elementares de descrição destas
transformações é a de procurar nestas o que permanece constante durante
a mudança.
Exemplo 6.1.1 Sabemos que reagindo hidrogênio (H2) com oxigênio
(O2), produz-se água (H2O). Mas, quanto de H2 e de O2 precisamos?
Solução
Esta mudança pode ser descrita do seguinte modo esquemático:
xH2 + yO2 −→ zH2O.
O que permanece constante nesta mudança? Os átomos não são modificados,
portanto devemos ter o mesmo número de átomos de cada elemento
no início e no final da reação. Logo, as incógnitas x, y e z devem satisfazer:
2x − 2z = 0
2y − z = 0
Descobrindo quais os valores das incógnitas acima que satisfazem simultaneamente
as equações, teremos aprendido um pouco mais sobre o
comportamento da natureza (bonito isto. . . ).
Em muitos casos, como neste exemplo, o problema nos leva a um sistema
de equações lineares. Como você já possui alguma experiência na resolução
deste tipo de sistema, não tiraremos o seu prazer em resolvê-lo.
87

UNIVATES – Centro Universitário 88
Entretanto, existem sistemas que, embora lineares, podem se tornar
muito grandes, ou podemos ter menos equações do que incógnitas (o próprio
exemplo 6.1.1). Isto pode dar origem a muitas dúvidas, até mesmo sobre a
existência ou não de solução para o sistema.
Por outro lado, em sistemas com mais de uma solução, é preciso expressar
todas elas de uma forma clara. No exemplo 6.1.1, pode-se encontrar duas
soluções distintas (x, y, z) (faça isto!). Mas, o problema só estará resolvido
se conseguirmos expressar todas as soluções.
Exemplo 6.1.2 Um sitiante dividirá uma área de 28 hectares em duas
partes: numa plantará soja e na outra milho. Que área poderá destinar a
cada uma destas plantações?
Solução
Denotando por x a quantidade de hectares de soja, e por y a quantidade
de hectares de milho, temos a relação x + y = 28. Esta equação admite
infinitas soluções reais. No entanto, para o nosso sitiante interessam somente
aquelas em que 0 ≤ x, y ≤ 28. Note que atribuindo a x qualquer valor entre
0 e 28, podemos imediatamente determinar o valor correspondente para y,
através da relação y = 28 − x. Sendo assim, também neste caso teremos
infinitas possibilidades de resposta.
Por outro lado, se modificarmos um pouco o exemplo anterior, poderemos
ter a sua solução profundamente modificada:
Exemplo 6.1.3 Um sitiante dividirá uma área de 28 hectares em duas
partes: numa plantará soja e na outra milho. Ele espera vender a produção
de cada hectare de soja por $400, 00u.m. e, de milho, por $300, 00u.m.. Por
precaução, o sitiante deseja que os valores das vendas totais da soja e do
milho sejam iguais entre si. Que área deverá destinar a cada uma destas
plantações?
Solução
Mantendo as mesmas notações do exemplo 6.1.2, podemos representar a
situação do problema do seguinte modo:
x + y = 28
400x = 300y
Existem vários métodos para resolver estas equações, mas todas elas nos
darão como única solução os valores de x = 12 e y = 16 (resta observar que
estes valores de fato são possíveis, pois não podemos equecer da condição
extra 0 ≤ x, y ≤ 28).
Neste capítulo, veremos uma técnica de resolução para sistemas lineares
em geral. Sua maior aplicação é para sistemas “grandes”. O método consiste
em substituir convenientemente o sistema original por sistemas cada vez
mais simples, sempre “equivalentes” a ele.
6.2 Conceitos
Definição 6.2.1 Um sistema de equações lineares com m equações e n
incógnitas é um conjunto de equações do tipo:

UNIVATES – Centro Universitário 89
⎧
⎪⎨
⎪⎩
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
. +
. + · · · +
. = .
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm
com aij ∈ {R, C}, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
(6.1)
Definição 6.2.2 Uma solução do sistema 6.1 é uma n-upla de
números (x1, x2, . . . , xn) que satisfaz simultaneamente as m equações.
Definição 6.2.3 Dois sistemas de equações lineares são equivalentes
se, e somente se, toda solução de qualquer um dos sistemas também é solução
do outro.
Notação: Podemos escrever o sistema 6.1 na forma matricial:
⎛
⎞
a11 a12 · · · a1n
⎜ a21 a22 · · · a2n
⎟
⎜
⎟
⎝ . . . ⎠ ·
⎛ ⎞
x1
⎜ x2
⎟
⎜ ⎟
⎝ . ⎠ =
⎛ ⎞
b1
⎜ b2
⎟
⎜ ⎟
⎝ . ⎠
ou A · x = b onde
am1 am2 · · · amn
⎛
⎜
A = ⎜
⎝
xn
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
.
am1 am2 · · · amn
é a matriz dos coeficientes ou matriz incompleta do sistema,
⎛ ⎞
a matriz das incógnitas e
.
⎜
x = ⎜
⎝
⎛
⎜
b = ⎜
⎝
x1
x2
.
xn
b1
b2
.
bm
a matriz dos termos independentes.
Definição 6.2.4 Uma outra matriz que podemos associar ao sistema
6.1 é
⎛
⎜
A = ⎜
⎝
a11
a21
.
a12
a22
.
· · ·
· · ·
a1n
a2n
.
b1
b2
.
⎞
⎟
⎠
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
am1 am2 · · · amn bm
que chamamos matriz ampliada do sistema.
Observação 6.2.5 Cada linha da matriz de 6.2.4 é simplesmente uma
representação abreviada da equação correspondente no sistema.
.
⎞
⎟
⎠
bm

UNIVATES – Centro Universitário 90
6.3 Forma Escalonada
Definição 6.3.1 Uma matriz m × n está na forma escalonada (ou
escada), se:
(i). o 1 o elemento não nulo de toda linha não nula é 1;
(ii). cada coluna que contém o 1 o elemento não nulo de uma linha tem os
elementos abaixo deste iguais a zero (escalonada reduzida⇒ abaixo e
acima);
(iii). toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas (isto é,
daquelas que possuem pelo menos um elemento não nulo);
(iv). o 1 o elemento não nulo de uma linha aparece à direita do 1 o elemento
não nulo da linha anterior (isto é, se as linhas 1, . . . , r são as linhas não
nulas, e se o primeiro elemento não nulo da linha i ocorre na coluna
ki, então k1 < k2 < . . . < kr).
Observação 6.3.2 A última condição da definição 6.3.1 impõe forma
escada à matriz:
Figura 6.1: Matriz na forma escada
Isto é, o número de zeros precedendo o primeiro elemento não nulo de uma
linha aumenta a cada linha, até que sobrem somente linhas nulas, se as
houver.
Exemplo 6.3.3 A =
⎛
⎜
⎝
1 −1 0 −1 2
0 1 0 3 5
0 0 0 1 7
⎛
0 2
0
1
0
⎞
0 0 1
⎛
escalonada; B = ⎝ 1 0 −3 ⎠ não é; C = ⎝
0 0 0
⎛
0 1 −3 0
⎞
1
forma escalonada; D = ⎝ 0 0 0 0 0 ⎠ não está.
0 0 0 −1 2
⎞
⎟
⎠
é uma matriz na forma
1 0 0 0
0 1 −1 0
0 0 1 0
⎞
⎠ está na

UNIVATES – Centro Universitário 91
6.3.1 Operações Elementares
Definição 6.3.4 Duas matrizes de mesma ordem A e B são equivalentes
por linhas (A ∼ B) se B pode ser obtida de A pela aplicação de
uma seqüência finita de operações elementares sobre as linhas de A, que são:
• permutações de duas linhas: (li ↔ lj);
• multiplicação de uma linha por um escalar real não nulo: (li → kli);
• substituição de uma linha por ela somada com uma outra linha multiplicada
por um número real não nulo: (li → li + klj).
Exemplo 6.3.5 L2 ↔ L3:
⎛
1 0
⎞ ⎛
⎝ 4 −1 ⎠ ←→ ⎝
−3 4
Exemplo 6.3.6 L2 → −3L2:
⎛
1 0
⎞ ⎛
⎝ 4 −1 ⎠ −→ ⎝
−3 4
Exemplo 6.3.7 L3 → L3 + 2L1:
⎛
1 0
⎞ ⎛
⎝ 4 −1 ⎠ −→ ⎝
−3 4
Exemplo 6.3.8 A =
⎛
B = ⎝
2 4 8
1 −1 2
4 −1 7
⎞
⎠
⎛
⎝
1 2 4
2 1 3
1 −1 2
1 0
−3 4
4 −1
1 0
−12 3
−3 4
1 0
4 −1
−1 4
⎞
⎞
⎠
⎞
⎠
⎞
⎠
⎠ é equivalente por linhas a
(Faça l2 → l2 + 2l3, depois l2 ↔ l3 e, por fim, l1 → 2l1)
Teorema 6.3.9 Dois sistemas que possuem matrizes ampliadas equivalentes
são equivalentes.
prova: ver [4], pág. 85, teorema 3.8.5.
Teorema 6.3.10 Toda matriz não nula é equivalente por linhas a uma
única matriz na forma escalonada (ou escalonada reduzida), a menos de
forma equivalente.
prova: ver [4], pág. 60, demonstração 2.7.1; ou uma prova simples em
[38].

UNIVATES – Centro Universitário 92
Observação 6.3.11 Valem como desafios, computados à nota, as exposições
orais à turma das provas dos teoremas 6.3.9 e 6.3.10.
Definição 6.3.12 Dada uma matriz Am×n, seja Bm×n a matriz escalonada
equivalente a A. O posto de A, denotado por p, é o número de linhas
não nulas de B. A nulidade é a diferença entre colunas de A e o posto,
isto é, n − p.
Observação 6.3.13 Observe que para encontrar o posto de uma matriz
A qualquer, é preciso primeiro escrever a matriz na forma escalonada e,
depois, contar suas linhas não nulas.
6.3.2 Procedimento para a Redução de uma Matriz à Forma
Escalonada
1. Procure da esquerda para a direita a 1 a coluna não nula;
2. Procure de cima para baixo o 1 o elemento não nulo: pivô;
3. Se o pivô não estiver na 1 a linha, troque a 1 a linha pela linha do pivô;
4. Se o pivô for diferente de 1, divida a 1 a linha por ele;
5. Utilizando o pivô, elimine os elementos abaixo dele (e também acima
dele na forma escalonada reduzida), utilizando somente operações elementares;
.
.
.
E assim sucessivamente para as outras linhas fazendo o papel da 1 a
linha.
Observação 6.3.14 O procedimento que reduz a matriz a sua forma
escalonada é chamado de eliminação gaussiana; já o que deixa a matriz
na sua forma escalonada reduzida é dito eliminação de Gauss-Jordan.
⎛
Exemplo 6.3.15
⎞
Forma escalonada:
0 2 3 −4 1
⎜ 0
⎝ 2
0
2
2
−5
3
2
4 ⎟
4 ⎠
2 0 −6 9 7
l1
⎛
2 = 1 2 −5 2
⎞
4
⎜
↔ l3 ⎜
⎝
0
0
0
2
2
3
3
−4
4 ⎟
1 ⎠
l1 →
2 0 −6 9 7
1
2l1 ⎛
1
⎜
⎝
1 − 5
0
0
0
2
2
2
3
1
3
−4
⎞
2
4 ⎟
1 ⎠
2 0 −6 9 7
l4
⎛
1 1 −
⎜
→ l4 − 2l1 ⎜
⎝
5
2
0 0 2
0 2 3
1
3
−4
⎞
2
4 ⎟
1 ⎠
⎛
1
⎜
l2 ↔ l3 ⎜
⎝
1 −
0 −2 −1 7 3
5
0
0
2
0
2
3
2
1
−4
3
⎞
2
1 ⎟
4 ⎠
0 −2 −1 7 3
l2 → 1
2l2 ⎛
1
⎜
⎝
1 − 5
0 1
2
3
2
1 2
−2 0 0 2 3
1
2
4
⎞
⎟
⎠
0 −2 −1 7 3

UNIVATES – Centro Universitário 93
⎛
1 1 − 5
2 1 2
⎞
⎛
1 1 − 5
2 1 2
⎜
l4 → l4 + 2l2
⎜ 0
⎝
1 3
2 −2 0
0
0
0
2
2
3
3
1
2
4
4
⎟
⎠l3 → 1
2l3 ⎜ 0
⎝
1 3
2 −2 ⎛
1
⎜
l4 → l4 − 2l3 ⎜
⎝
1 −
0
0
0
0
1
2
3
2
3
1
2
2
4
⎟
⎠
5
0 1
2
3
2
1 2
−2 0
0
0
0
1
0
3
2
0
1
2
2
0
⎞
⎟
⎠
Portanto, posto de A = p = 3 e nulidade de A = n − p = 5 − 3 = 2.
⎛ Exemplo 6.3.16 ⎞ Forma escalonada ⎛ reduzida: ⎞
1 2 1 0
1 2 1 0
⎝ −1 0 3 5 ⎠l2 → l2 + l1 ⎝ 0 2 4 5 ⎠
1 −2 1 1
⎛
1 2 1
⎞
0
1 −2 1 1
l3 → l3 − l1 ⎝ 0 2
0 −4
4
0
5 ⎠l2 →
1
1
2l2 ⎛
1 2 1 0
⎞
⎛
1 2 1
⎝ 0 1
0 −4
⎞
⎛
0
1
2
0
0
5 ⎠
2
1
⎞
−3 −5
l3 → l3 + 4l2 ⎝ 0 1
0 0
5 2 ⎠l1 2 → l1 − 2l2 ⎝ 0 1 2
8 11
0 0 8
5 ⎠
2
11
l3 → 1
8l3 ⎛
1 0 −3
⎞
⎛
−5
1 0 −3 −5
⎝
5
0 1 2 ⎠l2 2 → l2 − 2l3 ⎝ 0 1 0 −
11
0 0 1 8
1
⎞
⎠
4
11
0 0 1
⎛
8
1 0 0 −
l1 → l1 + 3l3 ⎝
7
8
0 1 0 − 1
⎞
⎠
4
11
0 0 1 8
Portanto, posto de A = p = 3 e nulidade de A = n − p = 4 − 3 = 1.
Observação 6.3.17 Interpretando a matriz A acima como a matriz
ampliada ⎧ de um sistema:
⎨ x1 + 2x2 + x3 = 0
−x1 + 0x2 + 3x3
⎩
x1 − 2x2 + x3
=
=
5
1
, a matriz escada é equivalente por linhas à matriz
A. Assim, o sistema que ela representa:
⎧
⎨ 1x1 + 0x2 + 0x3
⎩
= − 7
0x1 + 1x2 + 0x3 =
8
− 1
0x1 + 0x2 + 1x3 =
4
11
8
é equivalente ao inicial, possuindo a mesma solução que este.
6.4 Sistema Linear Escalonado
Resolver um sistema linear significa obter o conjunto S, denominado
conjunto solução do sistema, cujos elementos são todas as soluções do
sistema. Estudaremos agora um método para a resolução de um sistema
linear: o método do escalonamento.
Definição 6.4.1 Um sistema linear é dito escalonado se, e somente se:
⎞

UNIVATES – Centro Universitário 94
• todas as equações apresentam as incógnitas numa mesma ordem;
• a matriz incompleta do sistema está na forma escalonada (conforme
definição 6.3.1).
6.4.1 Resolução de um Sistema Linear Escalonado
Exemplo 6.4.2 Número de equações igual ao número de ingógnitas:
⎧
⎨
⎩
x + 2
3y + z = 1
y − 2 1
5z = 5
z = 2
é um sistema linear escalonado com 3 equações e 3 incógnitas, cuja solução
é S = {(− 5
3 , 1, 2)}.
Exemplo 6.4.3 Número de equações menor que o número de
ingógnitas: x + 2y − 3z = 1
y + 5z = 3
é um sistema linear escalonado com 2 equações e 3 incógnitas.
Este tipo de sistema admite pelo menos uma variável denominada
variável livre ou variável arbitrária do sistema. É variável livre aquela
que não aparece no início de nenhuma equação do sistema escalonado.
No exemplo 6.4.3, temos z como variável livre.
A variável livre, como o nome já diz, pode assumir qualquer valor real.
Para cada valor assumido por ela, obtém-se uma nova solução para o sistema.
Assim, o conjunto solução do sistema 6.4.3 é:
S = {(13α − 5, 3 − 5α, α), α ∈ R}.
Observação 6.4.4 Chama-se grau de indeterminação ou grau de
liberdade de um sistema escalonado o número de variáveis livres do sistema.
No exemplo 6.4.3 o grau de liberdade é 1.
Observação 6.4.5 A escolha de variável livre como “toda aquela que
não inicia nenhuma equação do sistema” é puramente convencional. Na
verdade, no sistema do exemplo anterior poderíamos ter escolhido y como a
variável livre; ou ainda, x.
6.4.2 Escalonamento de um Sistema Linear
Vamos estudar uma técnica para transformar um sistema linear num
outro equivalente na forma escalonada.
Basta escrever a matriz incompleta A do sistema linear e acoplar a coluna
dos termos independentes b, formando uma matriz [A|b]. Pois bem,
agora utilize as operações elementares permitidas (isto é, o algoritmo para
transformar esta nova matriz na forma escalonada) até chegar à forma escalonada.
Então faça a análise da solução.

UNIVATES – Centro Universitário 95
6.4.3 Algoritmo que Reduz uma Matriz à Forma Escalonada
Reduzida por Linhas
(i). Se ai1 = 0, ∀1 ≤ i ≤ m, vá para (v).;
(ii). Tome ai1 = 0 com menor i e li ↔ l1;
(iii). l1 ↔ 1
a11 l1;
(iv). li ← li − ai1l1, ∀2 ≤ i ≤ m para qualquer ai1 = 0;
(v). Se ai2 = 0, ∀2 ≤ i ≤ m, vá para (ix).;
(vi). Tome ai2 = 0 com menor i e li ↔ l2;
(vii). l2 ← 1
a22 l2;
(viii). li ← li − ai2l2, ∀i = 2 para qualquer ai2 = 0;
6.5 Soluções de um Sistema Linear
O objetivo desta seção é estudar detalhadamente todas as situações que
podem ocorrer na resolução de um sistema linear.
Observação 6.5.1 Dado um sistema de uma equação e uma incógnita
ax = b, existirão três possibilidades:
(i) a = 0. Neste caso a equação tem uma única solução x = b
a
(ii) a = 0 e b = 0. Então temos 0x = 0 e qualquer número real será
solução da equação.
(iii) a = 0 e b = 0. Temos 0x = b. Não existe solução para esta equação.
Proposição 6.5.2 Consideremos um sistema de m equações lineares
com n incógnitas x1, . . . , xn.
⎧
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
⎪⎨ a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
(6.2)
⎪⎩
. + . + · · · + . = .
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm
cujos coeficientes aij e termos independentes bi são números reais ou complexos.
Este sistema poderá ter
⎧
(i) uma única solução:
(ii) infinitas soluções
(iii) nenhuma solução.
⎪⎨
⎪⎩
x1 = k1
x2 = k2
.
.
xn = kn

UNIVATES – Centro Universitário 96
prova: analise geometricamente o caso 2 × 2 e depois utilize indução
matemática.
Definição 6.5.3 Em relação à proposição 6.5.2, definimos:
• No caso (i), o sistema é possível (compatível) e determinado
(SPD).
• No caso (ii), o sistema é possível e indeterminado (SPI).
• No caso (iii), o sistema é impossível (incompatível) (SI).
Seja a matriz ampliada de 6.2 e tomemos a sua matriz reduzida à forma
escada associada:
⎛
⎞
⎛
⎜
⎝
a11 · · · a1n b1
.
am1 · · · amn bm
.
.
⎞
⎟
⎠
m×(n+1)
c1
⎜ 0
⎜
⎝ .
0
.
· · · 0
.
.
ck
ck+1
.
⎟
⎠
0 0 · · · 0 cm
m×(n+1)
(6.3)
Notação: Denotaremos por pa o posto da matriz ampliada de um sistema
linear m × n, e por pc o posto da matriz dos coeficientes. Quando
ambos forem iguais, denotaremos apenas por p.
Teorema 6.5.4
(i) Um sistema m × n admite solução ⇔ pa = pc.
(ii) Se p(= pa = pc) = n, a solução será única (SPD).
(iii) Se p(= pa = pc) < n, podemos esolher n − p incógnitas, e as outras p
incógnitas serão dadas em função destas. Isto é, o grau de liberdade
do sistema é n − p.
prova: Procure entender e demonstrar cada uma das afirmações acima.
Leia com atenção e volte aos exemplos trabalhados caso julgue conveniente.
Visualize o problema pela equação 6.3. Para uma prova formal, veja [4],
demonstração 2.7.2 da página 61. (Vale como desafio!)
Observação 6.5.5 Esquematicamente, o teorema 6.5.4, diz:
• pc < pa ⇒ SI
• pc = pa = n ⇒ SP D
• pc = pa < n ⇒ SP I com grau de liberdade n − p.

UNIVATES – Centro Universitário 97
6.5.1 Exemplos
⎛
1 0 0 3
⎞
Exemplo 6.5.6 Em ⎝ 0 1 0 −2 ⎠, temos pc = pa = 3. Então
0 0 1 2
m = 3, n = 3 e p = 3 ∴ SP D com solução x1 = 3, x2 = −2 e x3 = 2.
1
Exemplo 6.5.7 Em
0
0
1
7
5
−10
, temos pc = pa = 2.
−6
Então
m = 2, n = 3 e p = 2 ∴ SP I com grau de liberdade 1 e solução
x1 = −10 − 7x3, x2 = −6 − 5x3.
⎛
1 0 7
⎞
−10
Exemplo 6.5.8 Para ⎝ 0 1 5 −6 ⎠: pc = 2, pa = 3, m = 3 e
0 0 0 2
n = 3 ∴ SI.
⎛
1 0 −10 −2
⎞
−10
Exemplo 6.5.9 Em ⎝ 0 1 7 1 4 ⎠, temos p = 2, m = 3
0 0 0 0 0
e n = 4 ∴ SP I com grau de liberdade 2 e solução x1 = −10 + 10x3 + 2x4 e
x2 = 4 − 7x3 − x4.
Observação 6.5.10 Pelos exemplos, pode-se dizer que o posto de uma
matriz é o número de linhas “independentes” desta. Uma linha será “dependente”
de outras (i.e., será igual a zero no final do escalonamento) se ela
puder ser escrita como soma de produtos destas outras linhas por constantes.
Tecnicamente, diz-se que esta linha é combinação linear das outras.
Observação 6.5.11 Vimos, portanto, que o pa do sistema nos dá o
número de equações independentes e que a nulidade nos dá o grau de liberdade
do sistema.
Observação 6.5.12 Os recursos computacionais muitas vezes detectam
sistemas lineares impossíveis corretamente, mas podem, às vezes, ser enganados
e concluir que um sistema possıvel é impossível ou vice-versa. Isto
ocorre tipicamente quando alguns dos números que aparecem nas contas são
tão pequenos que os erros de arredondamento tornam difícil para o software
determinar se eles são zero ou não.
Na disciplina de Métodos Numéricos abordaremos questões como esta e
como resolvê-las.
6.6 Exercícios
Aplicação
de Fixação e Problemas de
⎧
⎨ x +
Exercício 6.6.1 Classificar e resolver:
⎩
1 1 1
2y − 4z = 4
y + 3z = 8
z = 1.

UNIVATES – Centro Universitário 98
Exercício 6.6.2 Classificar e resolver o sistema linear
a + 2b − c + d = 1
b + c − d = 2.
Exercício 6.6.3 Determinar as soluções (α, β, γ) do sistema
x + y + 2z = 1
tais que βγ = 14.
y − z = 5
Exercício 6.6.4 Torne a resolver o exemplo 6.1.1.
Exercício ⎧ 6.6.5 Escalonar, classificar e dar o conjunto solução do sis-
⎨ x + y + 2z = 4
tema 4x − 2y + z
⎩
5x − y + 2z
=
=
8
10.
Exercício ⎧ 6.6.6 Escalonar, classificar e dar o conjunto solução do sis-
⎨ 2x + 3y + z = 2
tema x + y + 2z
⎩
4x + 5y + 5z
=
=
1
6.
Exercício ⎧ 6.6.7 Escalonar, classificar e dar o conjunto solução do sis-
⎨ 3x + 4y + 5z = 1
tema 2x + 3y + 3z
⎩
5x + 7y + 8z
=
=
0
1.
Exercício ⎧ 6.6.8 Escalonar, classificar e dar o conjunto solução do sis-
⎨ x + 2y = 1
tema 3x + 7y
⎩
2x + y
=
=
5
−4.
Exercício 6.6.9 Um laticínio vai misturar dois tipos de leite: um que
tem 1% de gordura e outro que tem 6%. Quantos litros de cada tipo deverão
ser misturados para que se obtenham 1.000 litros de leite com 3% de gordura?
Exercício 6.6.10 Um comerciante possui duas lojas de calçados. Numa
sexta-feira as duas lojas venderam um total de 500 pares. No sábado, uma
das lojas vendeu 10% a mais do que vendera na sexta-feira; a outra loja
vendeu 20% a mais do que havia vendido na sexta-feira. Se no sábado as
duas lojas venderam um total de 570 pares, quantos pares cada loja vendeu
na sexta-feira? E no sábado?
Exercício 6.6.11 Um combustível para automóveis tem 10% de álcool
e o restante de gasolina. Outro combustível tem 4% de álcool e o restante de
gasolina. Quanto devemos juntar de cada um desses combustíveis para obter
90 litros de combustível que tenha 6% de álcool e o restante de gasolina?
Exercício 6.6.12 Um revendedor tem em sua loja cem automóveis de
três tipos: simples de luxo e executivo. A soma do número de carros de luxo
com o dobro do número de carros executivos é 40; o triplo do número de
carros executivos dá 30. Quantos carros há de cada tipo?

UNIVATES – Centro Universitário 99
Exercício 6.6.13 As moedas de um determinado país são de três tipos:
de 3g, que vale $10 u.m; de 5g, que vale $20, 00 u.m.; e de 9g, que vale
$50, 00 u.m.. Uma pessoa tem cem moedas, num total de 600g, somando
$2800, 00 u.m.. Quantas moedas ela tem de cada tipo?
Exercício 6.6.14 Certa quantidade de sacos precisa ser transportada
e para isso dispõe-se de jumentos. Se colocarmos dois sacos em cada jumento,
sobram 13 sacos; se colocarmos 3 sacos em cada jumento, sobram 3
jumentos. Quantos são os sacos? Quantos são os jumentos?
Exercício 6.6.15 Maria resolve organizar uma festa de aniversário
para seu filho e encomenda: 107 refrigerantes, 95 sanduíches e 151 doces.
Servirá a cada homem 3 refrigerantes, 3 sanduíches e 3 doces; a cada mulher
2 refrigerantes, 2 sanduíches e 4 doces e a cada criança 2 refrigerantes, 1
sanduíches e 4 doces. Qual o número de pessoas convidadas, sabendo que
não sobrou nem faltou nada?
Exercício 6.6.16 Um litro de álcool custa R$1, 20 e um litro de gasolina
custa R$1, 60. Se o litro de uma mistura de álcool e gasolina custa R$1, 50,
quanto de álcool e de gasolina contém um litro dessa mistura?
Exercício 6.6.17 Suponha que você vá fazer um lanche, constando de
iogurte, pastel e chocolate e que disponha de R$1, 80. Segundo os nutricionistas,
um lanche deve conter 1350 calorias e 66 gramas de proteínas. Para
cada 100g dos alimentos acima temos:
100 g calorias proteínas (g) custo (R$)
Iogurte 50 4 0,20
Chocolate 600 24 0,60
Pastel 200 28 0,80
Tabela 6.1: Nutrientes em 100 g de lanche
Quais as quantidades de cada alimento satisfazem exatamente as
condições acima?
Exercício 6.6.18 Uma loja vende certo componente eletrônico, que é
fabricado por três marcas diferentes: A, B e C. Um levantamento sobre as
vendas desse componente, realizado durante três dias consecutivos, revelou
que: no primeiro dia, foram vendidos dois componentes da marca A, um
da marca B e um da marca C, resultando num total de vendas igual a
R$150, 00; no segundo dia, foram vendidos quatro componentes da marca
A, três da marca B e nenhum da marca C, num total de R$240, 00; no
último dia, não houve vendas da marca A, mas foram vendidos cinco da
marca B e três da marca C, totalizando R$350, 00.
Qual é o preço do componente fabricado por A? E por B? E por C?
Exercício 6.6.19 Seu Mathias, acompanhado do filho Bolão, estacionou
o carro numa parada obrigatória de um posto de fiscalização. Além

UNIVATES – Centro Universitário 100
deles, estavam no carro o cachorro Dogão e o gato Teco. Bem em frente
ao local onde seria feita a vistoria havia uma balança. Bolão desceu. O
cachorro e o gato o seguiram. O menino queria saber quantos quilos tinha
seu gato, seu cachorro e ele próprio. O guarda sorriu com a pretensão do
garoto, tendo em vista que a sensibilidade daquela balança só era confiável
para cargas com mais de 50Kg, e nem Bolão pesava isto, muito menos o
gato e o cachorro. Então o guarda resolveu dar uma ajuda e, sob sua orientação,
o menino fez o seguinte: subiu na balança com o cachorro, sem o
gato - ela registrou 95Kg; subiu, em seguida, com o gato, sem o cachorro
- a balança acusou 54Kg; por último, ele colocou o cachorro e o gato na
balança - ela marcou 51Kg.
Exercício 6.6.20 Os alunos do Ensino Médio de uma escola do interior
organizaram uma festa junina no pátio da escola. Havia várias opções
de divertimento: quadrilhas, bingo, gincanas, etc. Três barracas, A, B e
C, distribuídas no pátio, ofereciam exatamente as mesmas opções de alimentação:
churrasco, quentão e pastel: cada uma das três opções tinha o
mesmo preço nas três barracas. Ao final da noite, encerrada a festa, fezse
um balanço sobre o consumo nas barracas e verificou-se que: na barraca
A foram consumidos 28 churrascos, 42 quentões e 48 pastéis, arrecadando
um total de R$102, 00; na barraca B foram consumidos 23 churrascos, 50
quentões e 45 pastéis, arrecadando um total de R$95, 00; na barraca C foram
consumidos 30 churrascos, 45 quentões e 60 pastéis, arrecadando um total
de R$117, 00.
Qual é o preço de um churrasco? E de um quentão? E de um pastel?
Exercício 6.6.21 Na feira, uma das barracas de frutas estava vendendo
embalagens com 10 pêras, 5 maçãs e 4 mangas por 11 reais; outra barraca
vendia um pacote contendo 8 pêras, 6 maçãs e 4 mangas por 10 reais e
uma terceira vendia 6 peras e 12 maçãs por 9 reais. Na verdade, só havia
mudança na quantidade de cada pacote porque o preço de cada espécie de
fruta era o mesmo nas três barracas. Qual o preço a se pagar por 3 pêras,
2 maçâs e 2 mangas em qualquer dessas barracas?
Exercício 6.6.22 Um agricultor dispõe de 12 hectares para o plantio
de arroz, milho e batata. O investimento para o arroz é de R$200, 00 por
hectare; para o milho R$100, 00 por hectare e para a batata R$300, 00 por
hectare. O rendimento para o arroz é de R$300, 00 por hectare; para o milho
R$200, 00 por hectare e para a batata R$400, 00 por hectare. O agricultor
quer investir R$2000, 00 e obter um rendimento de R$3200, 00 por hectare.
Quantos hectares deverá plantar de milho, de arroz e de batata?
Exercício 6.6.23 Observe a tabela
Um avicultor que preparar ração com os alimentos A, B e C de tal
forma que o preço da unidade de ração seja R$14, 00; que a quantidade de
proteínas da unidade de ração seja 4, 1 kg e que a quantidade de vitaminas
seja 20 kg. Calcular a quantidade de alimentos A, B e C que o avicultor
deve preparar.

UNIVATES – Centro Universitário 101
Alimento Preço/Kg Proteína/Kg Unid. Vitamina/Kg
A 2 0,5 1
B 3 0,6 2
C 1 0,4 3
Tabela 6.2: Composição de ração para aves
Exercício 6.6.24 Numa lanchonete, Márcio come três pastéis e toma
um refrigerante, e sua amiga Marta come dois pastéis e toma dois refrigerantes.
Cada um paga a sua despesa. Ele paga R$3, 60, e ela R$4, 00. Na
mesa ao lado, um grupo de estudantes come 15 pastéis e toma 8 refrigerantes.
Qual o valor desta despesa?
Exercício 6.6.25 Durante uma semana o Shopping Ubirama reservou
uma área para as crianças brincarem sobre rodas e colocou à disposição
bicicletas (2 rodas), triciclos (3 rodas) e carrinhos (4 rodas). Ao final da
promoção, devido ao desgaste, tiveram que trocar todos os pneus. Entre
bicicletas e triciclos foram trocados 90 pneus; entre bicicletas e carrinhos,
130; e entre triciclos e carrinhos, 160. Quantas eram as bicicletas que
estiveram à disposição das crianças?
Exercício 6.6.26 Uma fábrica de refrigerante possui 270 litros de um
xarope x e 180 litros de um xarope y. Cada unidade de um refrigerante A
contém 500 ml de x e 200 ml de y e cada unidade de um refrigerante B
contém 300 ml de x e 300 ml de y. Quantas unidades de A e B podem ser
produzidas se for usado todo o estoque dos xaropes x e y?
Exercício 6.6.27 Dona Elza deu R$13, 50 para sua filha comprar tantos
sabonetes e tantas pastas dentais. Nem precisou falar de que marca, pois isso
a menina já sabia. Só recomendou que ela não se esquecesse de pegar o troco.
No supermercado, a menina pegou 4 sabonetes e 6 pastas. Quando a moça
do caixa avisou que faltavam R$0, 30, ela pensou: “Se o dinheiro não deu
para comprar 4 sabonetes e 6 pastas, então minha mãe deve ter pedido 6
sabonetes e 4 pastas”. E fez a troca. Voltando ao caixa, recebeu R$0, 30 de
troco.
Qual era o preço de cada sabonete comprado?
Exercício 6.6.28 Examinando os anúncios abaixo, conclua o preço de
cada faca, garfo e colher, onde 1 faca + 2 colheres + 3 garfos custam
R$23, 50; 2 facas + 5 colheres + 6 garfos custam R$50, 00; 2 facas + 3
colheres + 4 garfos custam R$36, 00.
6.7 Respostas dos Principais Exercícios do
Capítulo
6.6.1 SPD e S = {(−2, 5, 1)}
6.6.2 SPI e S = {(3c − 3d − 3, 2 − c + d, c, d), c, d ∈ R}

UNIVATES – Centro Universitário 102
6.6.3 S = {(−10, 7, 2)} e S = {(17, −2, −7)}
6.6.5 S = {(1, −1, 2)}
6.6.6 S = ∅
6.6.7 S = {(3 − 3z, z − 2, z), z ∈ R}
6.6.8 S = {(−3, 2)}
6.6.9
x + y
0, 01x + 0, 06y
=
=
1000
, donde resultam 600 ml de um
0, 03 · 1000
tipo de leite e 400 ml do outro tipo
6.6.10 Sexta-feira uma loja vendeu 300 pares e a outra 200 pares; no sábado
uma vendeu 330 pares e a outra 240 pares
6.6.11 30 litros de combustível e 60 litros de outro: x = Tipo 1, y = Tipo
0, 1x + 0, 004y = 0, 06 · 90
2, então
x + y = 90
6.6.12 Simples= 70; Luxo= 20; Executivo= 10
6.6.13 10 moedas de $10, 00 u.m.; 60 moedas de $20, 00 u.m.; 30 moedas de
$50, 00 u.m.
6.6.14
2j + 13
57 sacos e 22 jumentos:
3(j − 3)
=
=
s
s
6.6.15 21 homens, 10 mulheres e 12 crianças, num total de 43 convidados
6.6.16 1
4
6.6.17
⎧
⎨
⎩
l de álcool e 3
4
l de gasolina
50x + 600y + 200z = 1350
4x + 24y + 28z = 66
0, 20x + 0, 60y + 0, 80z = 1, 80
gurte, 200 g de chocolate e 50 g de pastel
6.6.18 A = 30, B = 40, C = 50
6.6.19 Menino=49Kg; Cachorro=46Kg; Gato=5Kg.
, donde resultam 100 g de io-
6.6.20 Churrasco custa R$1, 50; Quentão custa R$0, 40; Pastel custa R$0, 90
6.6.21 O preço será de R$3, 90.
6.6.22 Indeterminado: S = {(8 − 2α, 4 + α, α) | α ∈ R}, mas como precisamos
também que 0 < 8 − 2α < 12, 0 < 4 + α < 12 e 0 < α < 12,
resulta que 0 < α < 4
6.6.23 A = 3; B = 1; C = 5
6.6.24 O valor da despesa será R$21, 60
6.6.25 15 bicicletas

UNIVATES – Centro Universitário 103
6.6.26
5A + 3B
2A + 3B
=
=
2700
, donde resultam: Refrigerante A = 300 uni-
1800
dades; Refrigerante B = 400 unidades
6.6.27 O preço de cada sabonete era R$1, 20
6.6.28 Faca=R$5, 50; Colher=R$3, 00; Garfo=R$4, 00
C H A E TING ER

Capítulo 7
Determinante e Matriz
Inversa
7.1 Breve Relato Histórico
á em 250 a.C. havia exemplos da utilização de matrizes na resolução
de sistemas lineares (ver livro Nove Capítulos sobre a Arte Matemática, de
autor desconhecido). Na China antiga, já eram conhecidas algumas noções
ligadas a determinantes.
No ocidente, o assunto determinantes só começou a ser tratado, de forma
esporádica, a partir do século XVII, com os trabalhos de G.W. Leibniz
(1646-1716), de G. Cramer (1704-1752), de C. Maclaurin (1698-1746) e de
J.L. Lagrange (1736-1813).
Só no século XIX passou-se a estudar determinantes com maior ênfase,
iniciando com um longo tratado de A.L. Cauchy (1789-1857) em 1812, com
seqüência nos trabalhos de C.G. Jacobi (1804-1851).
A partir de então, o uso de determinantes difundiu-se muito e este conceito
de um número associado a uma matriz quadrada tornou-se muito útil
para caracterizar situações como a de saber se uma matriz é invertível, ou
se um sistema admite ou não solução.
7.2 Conceitos
Consideremos o sistema ax = b, com a = 0. A solução deste sistema é
x = b
a . Note que o denominador está associado à matriz dos coeficientes do
sistema, ou seja, [a].
a11x1 + a12x2 = b1
Num sistema 2×2:
, em que é possível resolver
a21x1 + a22x2 = b2
104

UNIVATES – Centro Universitário 105
as operações elementares (i.e., a11a22 − a12a21 = 0), encontramos
a11 a12
x1 = b1a22 − b2a12
a11a22 − a12a21
e x2 = b2a11 − b1a21
.
a11a22 − a12a21
Os denominadores são iguais e estão associados à matriz dos coeficientes
a21 a22
.
⎧
⎨ a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
Num sistema 3×3: a21x1 + a22x2 + a23x3
⎩
= b2 , em que é possível
a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3
resolver as operações elementares, ao procurarmos os valores de x1, x2 e x3,
vemos que eles têm o mesmo denominador
a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31,
que ⎛ também está ⎞ associado à matriz dos coeficientes do sistema
⎝
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
⎠.
Os números que aparecem nos denominadores associados às matrizes
(quadradas) são casos particulares do que chamamos de determinante de
uma matriz quadrada.
7.3 Determinante
Quando nos referirmos ao determinante, isto é, ao número associado a
uma matriz quadrada A = [aij], usaremos a seguinte
Notação: det A ou |A| ou det[aij].
Exemplo 7.3.1
1. det[a] = a
2. det
a11 a12
⎛
3. det ⎝
a21 a22
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11 a12
a21 a22
⎞
⎠ =
= a11a22 − a12a21
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33+
=
+a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31
Definição 7.3.2 Dados n objetos distintos a1, . . . , an, uma permutação
destes n objetos consiste em dispô-los em uma determinada ordem.
Exemplo 7.3.3 Algumas permutações dos números 1, 2 e 3 são:
(1 2 3) e (2 1 3).

UNIVATES – Centro Universitário 106
Notação: A quantidade de permutações de n objetos é dada por
n! = n(n − 1)(n − 2) · . . . · 2 · 1, se n > 0.
Definição 7.3.4 O símbolo acima é lido n fatorial ou fatorial de n.
Define-se ainda 0! = 1.
Definição 7.3.5 Dada uma permutação dos inteiros 1, 2,. . . , n, existe
uma inversão quando um inteiro precede outro menor do que ele.
Exemplo 7.3.6 Sejam as permutações dos inteiros 1, 2,. . . , n. Vejamos
em cada uma delas o números de inversões.
Permutação Número de Inversões
(1 2 3) 0
(1 3 2) 1
(2 1 3) 1
(2 3 1) 2
(3 1 2) 2
(3 2 1) 3
Tabela 7.1: Número de inversões por permutação
Exercício 7.3.7 Determine as inversões das permutações dos números
1, 2, 3 e 4.
Observação 7.3.8 Observe que no exemplo 7.3.1, item 3, aparecem todos
os produtos a1j1 a2j2 a3j3 , onde (j1 j2 j3) são as permutações de 1, 2 e
3. Ademais, o sinal do termo é negativo, se a permutação tiver um número
ímpar de inversões (ver tabela 7.3).
Definição 7.3.9 Dada uma matriz A = [aij]n×n, definimos o determinante
de A como
det[aij] =
a2j2 · · · anjn
σ
(−1) J a1j1
onde J = J(j1, . . . , jn) é o número de inversões da permutação (j1 j2 . . . jn)
e σ indica que a soma é estendida a todas as n! permutações de (1 2 . . . n).
Observação 7.3.10 Em relação à definição 7.3.9, pode-se dizer que:
Se a permutação (j1 j2 . . . jn) tem um número par de inversões, o
coeficiente (−1) J
terá sinal positivo; caso contrário, negativo
Em cada parcela do somatório, existe um e somente um elemento de
cada linha, e um e somente um elemento de cada coluna da matriz

UNIVATES – Centro Universitário 107
Reordenando convenientemente os termos, é possível mostrar que podemos
definir determinante por det[aij] =
(−1) Jaj11aj22 · · · ajnn, va-
riando os primeiros índices e deixando fixos os segundos.
Propriedade 7.3.11
1. Se todos os elementos de uma linha (coluna) de uma matriz A são
nulos, então det A = 0
2. det A = det A t
3. Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante, o determinante
fica multiplicado por esta constante
4. Uma vez trocada a posição de duas linhas, o determinante troca de
sinal
5. O determinante de uma matriz que tem duas linhas (colunas) iguais é
zero
6. O determinante não se altera se somarmos a uma linha outra linha
multiplicada por uma constante
7. det(A · B) = det A · det B
8. det(A + B) = det A + det B, isto é, o determinante de uma soma
de duas matrizes não é igual à soma dos determinantes das matrizes.
No entanto, se efetuarmos a soma numa linha apenas, vale a
propriedade seguinte:
a11 . . . a1n
.
. .. .
bi1 + ci1 . . . bin + cin
.
. .. .
an1 . . . ann
=
σ
a11 . . . a1n
.
. .. .
bi1 . . . bin
.
. .. .
an1 . . . ann
+
a11 . . . a1n
.
. .. .
ci1 . . . cin
.
. .. .
an1 . . . ann
prova: ver [9], ou [4]. Tente demonstrá-las você mesmo usando a observação
7.3.10 ou, pelo menos, imaginar a demonstração.
Exemplo 7.3.12
3 −2 1
2 5 0
2 4 −2
=
3 −2 1
2 5 0
8 0 0
. Somamos à terceira li-
nha, a primeira linha multiplicada por 2.

UNIVATES – Centro Universitário 108
7.3.1 Desenvolvimento de Laplace
Sabemos que
|A| =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
=
= a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33+
+a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 =
= a11(a22a33 − a23a32) − a12(a21a33 − a23a31) + a13(a21a32 − a22a31) =
= a11
a22 a23
a32 a33
− a12
a21 a23
a31 a33
+ a13
a21 a22
a31 a32
Note que o determinante da matriz inicial 3 × 3 pode ser expresso em
função dos determinantes das submatrizes 2 × 2, i.e.,
det A = a11|A11| − a12|A12| + a13|A13|,
onde Aij é a submatriz da inicial, retirando-se a i-ésima linha e a j-ésima
coluna. Ademais, denotando por ∆ij = (−1) i+j |Aij|, obtemos a expressão
det A = a11∆11 + a12∆12 + a13∆13.
Proposição 7.3.13 Seja An×n matriz. Então podemos expressar o seu
determinante por
det A = ai1∆i1 + . . . + ain∆in = n
aij(−1) i+j det Aij =
= n
prova: ver [18].
aij∆ij.
J=1
Definição 7.3.14 O número ∆ij (que é o determinante afetado pelo
sinal (−1) i+j da submatriz Aij, obtida de A retirando-se a i-ésima linha e
a j-ésima coluna) é chamado cofator do elemento aij ou complemento
algébrico de aij.
Observação 7.3.15 A fórmula da proposição 7.3.13 foi desenvolvida
pela i-ésima linha da matriz A. Pode-se fazer o mesmo através de uma
coluna qualquer.
Definição 7.3.16 O processo utilizado na proposição 7.3.13 é chamado
de desenvolvimento de Laplace. Trata-se de uma fórmula de recorrência
que permite calcular o determinante de uma matriz de ordem n, a partir dos
determinantes das submatrizes de ordem n − 1. Isto muitas vezes permite
reduzir bastante os cálculos, principalmente se combinarmos ainda as propriedades
de determinantes desenvolvidas em 7.3.11.
j=1
.

UNIVATES – Centro Universitário 109
Exemplos
onde
Exemplo 7.3.17 |A| =
Exemplo 7.3.18
1 −2 3
2 1 −1
−2 −1 2
1 −2 3
2 1 −1
−2 −1 2
∆12 = (−1) 1+2 2 −1
−2 2
∆22 = (−1) 2+2 1 3
−2 2
∆32 = (−1) 3+2 1 3
2 −1
= (−2)∆12 + 1∆22 + (−1)∆32
= −2
= 8
= 7
∴ |A| = (−2)(−2) + 1 · 8 + (−1)7 = 5.
Exercício 7.3.19 Calcule
= (fazendo l3 → l2 + l3) =
= 1 · (−1) 3+3 1 −2
2 1
−1 2 3 4
4 2 0 0
−1 2 −3 0
2 5 3 1
7.4 Matriz Adjunta – Matriz Inversa
1 −2 3
2 1 −1
0 0 1
=
= 1 · (1 + 4) = 5.
, utilizando 7.3.11.
Dada uma matriz A, já vimos que a cada elemento aij está associado
um cofator ∆ij.
Definição 7.4.1 Chama-se matriz dos cofatores de A, e denota-se
por A, a matriz
A = [∆ij].
Exemplo 7.4.2 Seja A =
⎛
⎝
2 1 0
−3 1 4
1 6 5
∆11 = (−1) 1+1 1 4
6 5
∆12 = (−1) 1+2 −3 4
1 5
.
∴ A =
⎛
⎝
⎞
= −19
−19 19 −19
−5 10 −11
4 −8 5
⎠ . Então temos que
= 19
⎞
⎠ .

UNIVATES – Centro Universitário 110
Definição 7.4.3 Dada uma matriz quadrada A, chama-se matriz adjunta
de A à transposta da matriz dos cofatores de A.
Notação: adj A = A t
Exemplo 7.4.4 Em relação ao exemplo 7.4.2, temos que:
adj A = A t ⎛
−19
= ⎝ 19
−5
10
⎞
4
−8 ⎠ .
−19 −11 5
Proposição 7.4.5 Seja An×n uma matriz. Então
A · A t = A · (adj A) = (det A) · In.
prova: exercício. (Sugestão: procure demonstrar o caso 3 × 3, utilizando
a propriedade segundo a qual o determinante de uma matriz que tem
duas linhas (colunas) iguais é igual a zero, e o desenvolvimento de Laplace.
A demonstração para o caso n × n é análoga.)
Definição 7.4.6 Uma matriz An×n é invertível (ou não singular) se
existe uma matriz Bn×n tal que AB = BA = In. B é chamada de uma
inversa de A.
Notação: B = A −1
Definição 7.4.7 Se ∃A−1 vertível).
dizemos que A é singular (ou não in-
2 3
Exemplo 7.4.8 Seja A = . Então A
1 4
−1
=
A · A
4
5
−1
5
−3
5
2
5
, pois
−1 = I2 e A−1 · A = I2. (Verifique!)
6
Exemplo 7.4.9 Seja A =
11
2
. Procure sua inversa.
4
Resolução
a
Queremos encontrar uma matriz B =
c
b
tal que A · B = I2 e
d
B · A = I2.
6 2 a b
·
11 4 c d
=
1 0
0 1
A
B
6a + 2c
11a + 4c
6b + 2d
11b + 4d
=
1
0
0
1
Portanto,
6a + 2c
11a + 4c
=
=
1
0
e
6b + 2d
11b + 4d
=
=
0
1
a = 2, b = −1, c = −11
2 e d = 3. Logo, A −1 =
I2
. Resolvendo os sistemas, temos
2 −1
.
−11
2
3

UNIVATES – Centro Universitário 111
Teorema 7.4.10 A inversa de uma matriz A, se existir, é única.
prova: exercício.
Observação 7.4.11
Se AB = In, então BA = In, ou seja, B = A−1
.
Se BA = In, então AB = In, ou seja, A = B−1 .
Proposição 7.4.12 Sejam A e B matrizes quadradas invertíveis e de
mesma ordem. Então (AB) −1 = B −1 · A −1 .
prova: exercício.
Teorema 7.4.13 Uma matriz quadrada A é invertível ⇔ det A = 0.
Neste caso:
A −1 = 1
(adj
det A
A).
prova: (⇐) Suponhamos que A seja invertível. Então existe A −1 tal que
A·A −1 = In. Usando determinantes, temos: det A·det A −1 = det(A·A −1 ) =
det In = 1. Desse produto, conclui-se que det A = 0 e que det A −1 = 1
det A .
(⇒) Já vimos que A · (adj A) = (det A) · In (ver proposição 7.4.5). Se
det A = 0, então A · 1
7.4.10), A −1 = 1
det A
det A · (adj A) = In e, como a inversa é única (teorema
(adj A).
Observação 7.4.14 O teorema 7.4.13 nos dá um novo método de calcular
a inversa.
6 2
Exemplo 7.4.15 Voltemos ao exemplo 7.4.9: seja A =
.
11 4
4 −11
Temos que det A = 2 = 0 e, portanto, A é invertível: A =
e
−2 6
4 −2
adj A =
. Então A
−11 6
−1 = 1
1 4 −2
det A (adj A) = 2
=
−11 6
2 −1
.
−11/2 3
7.5 Regra de Cramer
O processo para o cálculo da inversa de uma matriz desenvolvido na
secção anterior, permite um outro método de resolução de sistemas lineares.
Convém chamar a atenção que este só se aplica para sistemas lineares em
que o número de equações é igual ao número de incógnitas.
Consideremos a forma matricial de um sistema linear n × n:
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜
⎝
a11 . . . a1n
.
. ..
⎟ ⎜
. ⎠ · ⎝
an1 . . . ann
x1
.
xn
⎟ ⎜
⎠ = ⎝
b1
.
bn
⎟
⎠ ou A · x = b. (7.1)

UNIVATES – Centro Universitário 112
⎛
⎜
⎝
Suponhamos que det A = 0. Portanto, existe A −1 .
Então: A·x = b ⇒ A −1 (Ax) = A −1 b ⇒ (A −1 A)x = A −1 b ∴ Inx = A −1 b.
Matricialmente,
x1
.
xn
⎞ ⎛
⎞
a11 . . . a1n
⎟ ⎜
⎠ = ⎝
.
. ..
⎟
. ⎠
an1 . . . ann
Então x1 = b1∆11+...+bn∆n1
−1
⎛
⎜
· ⎝
b1
.
bn
⎞
⎟
⎠ = 1
⎛
⎞
∆11 . . . ∆1n
⎜
⎝
.
det A
. ..
⎟
. ⎠ .
∆n1 . . . ∆nn
det A
.
Note que o numerador desta fração é igual ao determinante da matriz
que obtemos de A, substituindo a primeira coluna pela matriz dos termos
independentes. De fato, usando o desenvolvimento de Laplace, obtemos:
Ou seja,
b1 a12 . . . a1n
.
. . .. .
bn an2 . . . ann
x1 =
= b1∆11 + . . . + bn∆n1
b1 a12 . . . a1n
.
. . .. .
bn an2 . . . ann
a11 a12 . . . a1n
.
. . .. .
an1 an2 . . . ann
Fazendo deduções análogas, obtemos:
xi =
a11 . . . b1 . . . a1n
.
. .. .
. .. .
an1 . . . bn . . . ann
a11 . . . a1n
.
. .. .
an1 . . . ann
para i = 1, 2, . . . , n. (7.2)
Observação 7.5.1 Em relação à equação 7.2:
No denominador temos o determinante da matriz dos coeficientes
(det A);
No numerador aparece o determinante da matriz obtida de A, substi-
tuindo a i-ésima coluna pela coluna dos termos independentes;
Este método só pode ser aplicado quando o determinante da matriz dos
coeficientes for não nulo.
Definição 7.5.2 O método desenvolvido acima, para resolução de sistemas
lineares n × n, é chamado Regra de Cramer.

UNIVATES – Centro Universitário 113
⎧
⎨
Exemplo 7.5.3 Resolver o sistema
⎩
Regra de Cramer.
⎛
Temos det ⎝
2 −3 7
1 0 3
0 2 −1
Regra de Cramer. Então: x =
e z =
⎞
Resolução
2x − 3y + 7z = 1
x + 3z = 5
2y − z = 0
, usando a
⎠ = −1 = 0. Portanto, podemos utilizar a
1 −3 7
5 0 3
0 2 −1
−1 = −49, y =
2 1 7
1 5 3
0 0 −1
−1
= 9,
2 −3 1
1 0 5
0 2 0
−1 = 18.
Observação 7.5.4 Embora muito difundida nos livros, a Regra de Cramer
não é muito útil na prática. Acontece que ela consome muitas operações
para efetuar os cálculos de sistemas grandes, isto é, seu custo computacional
é muito grande.
No cálculo do determinante de uma matriz de ordem n, temos que calcular
n! produtos de n fatores, e depois somá-los. Efetuaremos então
n!(n − 1) + (n! − 1) = n!n − 1 operações 1 . Desconsiderando as somas
(seu custo para o computador é irrisório em termos de tempo), isto é
aproximadamente igual a n!(e − 1) multiplicações, onde e = 2, 71828
(número de Euler).
Ora, para resolver um sistema n×n pela Regra de Cramer, precisamos
calcular n + 1 determinantes de ordem n. Assim, o n o de operações se
elevaria a (n + 1)(n!n − 1) cálculos 2 , que é maior que n 2 n!. Ou, em
termos de multiplicações, aproximadamente (n + 1)!(n − 1) + n.
Muitos problemas de Engenharia, Economia, Biologia, etc., costumam envolver
sistemas de ordem 100 ou 1000, por exemplo. Então nos meios
computacionais prefere-se utilizar métodos numéricos iterativos, como o de
Gauss-Seidel (ver [36]), que é estudado em disciplinas de Cálculo Numérico.
Exemplo 7.5.5 Para exemplificar a observação 7.5.4, imaginemos um
computador capaz de efetuar um milhão de multiplicações ou divisões por
segundo (1 megaflop).
por escalonamento, um sistema 10 × 10 levaria 0, 8 milésimos de segundo
para ser resolvido; já, por Cramer, 1 minuto e 8 segundos.
1
De fato, são n! termos vezes n − 1 multiplicações; além disso, por serem n! termos,
temos n! − 1 somas a serem feitas.
2
Precisamos calcular n+1 determinantes, cada um consumindo n!n−1 operação (como
vimos acima); temos ainda n divisões.

UNIVATES – Centro Universitário 114
por escalonamento, um sistema 15 × 15 levaria 2, 5 milésimos de se-
gundo para ser resolvido; já, por Cramer, 1 ano, 1 mês e 16 dias.
por escalonamento, um sistema 20×20 levaria 6 milésimos de segundo
para ser resolvido; já, por Cramer, 2 milhões, 754 mil e 140 anos.
Para um sistema mil por mil, o escalonamento levaria 11 minutos para
resolvê-lo.Imagine o tempo necessário para resolver este sistema pela
Regra de Cramer.
Para maiores detalhes sobre custo computacional, consultar [14], [17],
[29] ou [36].
Observação 7.5.6 Em aplicações da Álgebra Linear não é incomum
encontrar sistemas lineares que precisam ser resolvidos por computador. A
maioria dos algoritmos computacionais para resolver estes sistemas são baseados
na eliminação gaussiana ou na eliminação de Gauss-Jordan, mas os
procedimentos básicos são muitas vezes modificados para comportar problemas
tais como
• Redução de erros de arredondamento
• Minimização do uso de espaço de memória do computador
• Resolução do sistema com rapidez máxima
Fazendo os cálculos à mão, as frações constituem um aborrecimento que
muitas vezes não pode ser evitado. Contudo, em alguns casos é possível
evitar as frações variando as operações elementares sobre linhas de maneira
correta.
Como a eliminação de Gauss-Jordan evita o uso de substituição inversa,
poderia parecer que este método é o mais eficiente dos dois métodos que
nós consideramos. Pode ser argumentado que esta afirmação é verdadeira
quando resolvemos manualmente sistemas pequenos, pois a eliminação de
Gauss-Jordan na verdade envolve escrever menos. Entretanto, foi mostrado
que para sistemas grandes de equações, o método de eliminação de Gauss-
Jordan requer cerca de 50% mais operações que a eliminação gaussiana.
Esta é uma consideração importante quando trabalhamos com computadores.
Na disciplina de Métodos Numéricos estudaremos questões como esta,
bem como outros métodos de resolução de sistemas lineares.
Observação 7.5.7 Na prova da Regra de Cramer, denotando por D
o determinante a matriz A dos coeficientes e por Ns o determinante da
matriz que se obtém de A trocando a coluna s de A pela coluna dos termos
independentes, chega-se a Dxs = Ns, ∀1 ≤ s ≤ n, i.e.,
⎧
Dx1 = N1
⎪⎨ Dx2 = N2
⎪⎩
.
Dxn = Nn.

UNIVATES – Centro Universitário 115
A Regra de Cramer só se aplica quando a matriz A dos coeficientes dos
sistema tem determinante diferente de zero (D = 0).
Tentar utilizá-la fora desse caso pode conduzir a erros.
Um desses erros é o seguinte: quando D = 0 e Ns = 0, ∀1 ≤ s ≤ n,
poderíamos pensar que ela forneceria x1 = 0
0 , x2 = 0
0 , . . ., xn = 0
0 e concluir
que o sistema é indeterminado, isto é, possui infinitas soluções. Mas, não
é bem assim.
Suponhamos, por exemplo, que n = 3 e que os três vetores-coluna a, b,
c sejam múltiplos um do outro, mas que o vetor d (dos termos independentes)
não seja múltiplo deles. Então os quatro determinantes são nulos. No
entanto, não existem números x, y, z tais que ax + by + cz = d. Ou seja, o
sistema não tem solução.
O próximo exemplo caracteriza a situação acima descrita.
⎧
⎨ x + y + z = 1
Exemplo 7.5.8 Consideremos o sistema 2x + 2y + 2z = 2 .
⎩
3x + 3y + 3z = 4
É claro que este sistema não tem solução, pois se x + y + z = 1 então
x + 3y + 3z deve ser igual a 3 e não a 4. Apesar disso, a Regra de Cramer
(usada incorretamente) nos levaria às “expressões indeterminadas” x = 0
0 ,
y = 0 0
0 , z = 0 e à falsa conclusão de que o sistema é indeterminado.
Observação 7.5.9 Resulta da fórmula det[d, b, c] = x · det[a, b, c] e suas
análogas para y e z que, se det[a, b, c] = 0 e algum dos determinantes
det[d, b, c], det[a, d, c] ou det[a, b, d] for diferente de 0, então o sistema é
impossível.
Podemos apenas concluir que
detA = 0 ⇔ SPD
SPI ⇒ detA = 0 e
detA1 = detA2 = . . . = detAn = 0
detA = 0 e detAs = 0, ⇒ SI
para algum 1 ≤ s ≤ n
Tabela 7.2: Calssificação de um sistema linear via determinantes
7.6 Método Prático para Encontrar A −1
1. Forme a matriz n × 2n [A|In] obtida colocando a matriz In ao lado da
matriz A;
2. Leve a matriz A à forma escalonada reduzida via operações elementares.
Todas as operações feitas sobre uma linha de A devem ser feitas
sobre a linha correspondente de In;
3. Supondo que na etapa anterior obtivemos a matriz [C|D], temos:

UNIVATES – Centro Universitário 116
(a) Se C = In, então D = A −1 ;
(b) Se C = In, então C tem uma linha de zeros e A é singular, isto
é, ∃A −1 .
Antes de iniciarmos os exercícios, gostaríamos de indicar o leitura do
livro de H. Anton ([1]), pgs. 321-326, disponível no setor de reprografia.
7.7 Exercícios de Fixação e Problemas de
Aplicação
Exercício ⎛ 7.7.1 ⎞ Calcule, se existir, a inversa da matriz
1 1 1
A = ⎝ 0 2 3 ⎠.
5 5 1
Exercício ⎛ 7.7.2⎞Calcule, se existir, a inversa da matriz
1 2 −3
A = ⎝ 1 −2 1 ⎠.
5 −2 −3
Exercício 7.7.3 Uma maneira de enviar uma mensagem em código (codificar)
consiste em utilizar a multiplicação de matrizes da seguinte maneira:
à cada letra do alfabeto associa-se um número:
A B C D E F G H I J L M
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
N O P Q R S T U V X Z
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Tabela 7.3: Tabela de correspondência numérica para criptografia
Suponhamos que queiramos enviar, ⎛em
código, a⎞ mensagem BOA
B O A
SORTE. Para isto formarmos a matriz ⎝ − S 0 ⎠, que utilizando a
R
⎛
2
T E
14 1
⎞
correspondência numérica torna-se M = ⎝ 0 18 14 ⎠. Multiplica-se
17 19 5
a matriz mensagem M por uma matriz-chave ⎛ C, ⎞que
apenas os usuários
2 1 −1
do código conhecem. Supondo C = ⎝ 0 2 1 ⎠, multiplica-se M por
⎛
9
5
32
2 −3
⎞
9
C obtendo-se a matriz MC = ⎝ 70 64 −24 ⎠ (mensagem codificada).
59 65 −13

UNIVATES – Centro Universitário 117
Transmite-se esta nova matriz (na prática envia-se a seqüência de números
(9, 32, 9, 70, 64, −24, 59, 65, −13)).
A pessoa que recebe a mensagem (receptor) decodifica-a (traduz) através
da multiplicação da matriz MC pela inversa da matriz C, obtendo a matriz
mensagem M: (MC)C −1 = M. Após, o receptor troca os números pelas
letras correspondentes obtendo a mensagem, que no caso é BOA SORTE).
Você recebeu a mensagem: (91, 65, −40, 27, 25, −9, 24, 12, −12). Utilizando
a matriz-chave C acima, traduza (decodifique) a mensagem.
7.8 Respostas dos Principais Exercícios do
Capítulo
7.3.19 −252
7.7.1 [In|A−1 ⎛
1
] = ⎝
0 0| 13
8 − 1
0 1 0| −
2
1 − 8
15
0 0 1|
8
5
4
1
2
0
3
8
− 1
4
⎞
⎠
7.7.2
⎛
1
⎝ 0
0
0
1
0
−1|
−1|
0|
1
2
1
4
−2
1
2
1 − 4
−3
⎞
0
0 ⎠, logo ∃A
1
−1 .
⎛
3 14
⎞
17
7.7.3 ⎝ 1 7 5 ⎠, donde a mensagem é CORAGEM.
12 0 0
C H A E TING ER

Capítulo 8
Introdução às
Transformações Lineares
tilizaremos o livro de H. Anton ([1]), páginas 137 a 148; 295 a 299;
e 302 a 305.
Para os estudantes de Matemática e para todos aqueles que se interessam
pela Matemática, inseriremos dois capítulos na seqüência: um referente a
espaços vetoriais, e outro referente a transformações lineares.
C H A E TING ER
118

Capítulo 9
Espaços Vetoriais
9.1 Introdução
m várias partes da Matemática, defrontamo-nos com um conjunto tal
que é, ao mesmo tempo, significativo e interessante lidar com “combinações
lineares” dos objetos daquele conjunto.
Exemplo 9.1.1
equações lineares ←→ linhas de uma matriz
equações diferenciais ←→ funções
espaço 3-dimensional ←→ vetores
A grosso modo, a Álgebra Linear é o ramo da Matemática que trata
das propriedades comuns a sistemas algébricos constituídos por um
conjunto mais uma noção razoável de uma “combinação linear” de elementos
do conjunto.
9.2 Vetores no Plano e no Espaço
Neste capítulo, desenvolveremos o conceito de vetor de uma forma mais
ampla, de modo que, por exemplo, soluções de sistemas de equações lineares
ou de equações diferenciais também possam ser representadas por vetores.
Inicialmente, vamos recordar alguns tópicos sobre vetores no plano e no
espaço.
131

UNIVATES – Centro Universitário 132
9.2.1 Vetores no Plano
Consideremos o plano cartesiano que consiste de um sistema de coordenadas
dado por um par de retas orientadas ortogonais. Fixada uma
unidade de comprimento, um ponto P do plano pode ser identificado com o
par (a, b) de números reais, que são suas coordenadas.
b
✻
a
P
✲
Figura 9.1: Plano cartesiano
Dados dois pontos P e Q do plano, podemos considerar o segmento
orientado P Q, com ponto inicial P e ponto final Q.
Observação 9.2.1 Embora como conjunto de pontos os segmentos P Q
e QP sejam iguais, como segmentos orientados eles são distintos. Diremos
que eles são opostos.
Definição 9.2.2 Diremos que dois segmentos orientados são equivalentes,
se tiverem o mesmo comprimento, direção e sentido.
P
✻
✒
K
Q
✒
L
R
❘
✒
✠
Figura 9.2: Segmentos orientados
T
S
W
✲
Z

UNIVATES – Centro Universitário 133
Exemplo 9.2.3 Em relação à figura 9.2.1, P Q, KL e RS têm a mesma
direção e sentido; RT e KL têm o mesmo comprimento; P Q, RS e ZW têm
o mesmo comprimento e direção, mas os únicos segmentos com orientações
equivalentes são P Q e RS.
Observação 9.2.4 Para qualquer segmento orientado no plano existe
outro equivalente a este cujo ponto inicial é a origem.
Definição 9.2.5 Passaremos agora a considerar apenas os segmentos
orientados com ponto inicial na origem. Estes serão chamados de vetores
no plano.
Observação 9.2.6 A cada ponto do plano P (a, b), está associado um
único vetor v = OP , e vice-versa. Assim podemos imaginar o plano R2 como
um conjunto de pontos ou um conjunto de vetores. Isto é, a correspondência
entre pontos do plano e vetores é biunívoca.
Notação: Usando a correspondência definida em 9.2.6, representaremos
um vetor v = OP pelas coordenadas
do seu ponto final P (a, b). Usamos a
a
notação da matriz-coluna v = , ou mesmo a identificação v = (a, b).
b
Definição 9.2.7 Pela notação acima, à origem ficará associado um vetor
que tem os pontos final e inicial coincidentes. Denominaremos tal vetor
(que é só um ponto) de vetor nulo, e o representaremos por (0, 0).
Definição 9.2.8 O oposto de um vetor v = OP é o vetor w = OQ,
que tem o mesmo comprimento e direção, e sentido oposto. Em termos de
coordenadas, se v = (a, b), então w = (−a, −b). Por esta razão, o denotamos
por w = −v.
Operações
Multiplicação de um vetor por um escalar: multiplicar um vetor v por
um escalar k > 0 é considerar um novo vetor w = kv, que possui a mesma
direção de v e tem como comprimento k vezes o comprimento de v, e cujo
sentido depende do sinal de k.
Se k < 0, o vetor w = kv será igual ao oposto do vetor |k| · v.
Se k = 0, w = kv será o vetor nulo.
Observação 9.2.9 Esta operação corresponde à multiplicação da
matriz-linha (ou coluna) por esse número. Se v = (a, b) e w = kv, então
w = (ka, kb).

UNIVATES – Centro Universitário 134
✠
u = − 1
2 v
✻
✒
v
✒
w = 1, 5v
Figura 9.3: Multiplicação de um vetor por um escalar
Adição de dois vetores: a idéia de soma de vetores origina-se na soma
de forças em Física. Dados dois vetores F1 e F2, chamamos a força resultante
de soma de F1 com F2 e denotamos R = F1 + F2.
F2
✍
F1
✿
✯
R
✲
Figura 9.4: Resultante de dois vetores
Em termos de coordenadas, se F1 = (a, b) e F2 = (c, d), quais são as
coordenadas de R?
Usando congruência de triângulos, é fácil concluir que as coordenadas de
R são (a + c, b + d).
Definição 9.2.10 Sejam v = (a, b) e w = (c, d) dois vetores no plano.
Definimos o vetor soma de v e w como o vetor v + w = (a + c, b + d).
Observação 9.2.11 Somar dois vetores corresponde a somar as matrizes
que os representam. As operações de vetores herdam, portanto, todas as
propriedades das operações correspondentes para matrizes.
Observação 9.2.12 A soma de um vetor v = (a, b) com o seu oposto
w = −v = (−a, −b) é o vetor nulo, isto é,
v + w = v + (−v) = (a − a, b − b) = (0, 0).
Diferença entre dois vetores: dados dois vetores v e w, entendemos
a soma do primeiro com o oposto do segundo como o vetor diferença entre
v e w, isto é,
v − w = v + (−w).

UNIVATES – Centro Universitário 135
−w
☛
✻
✕
w
③
✿
v − w
9.2.2 Vetores no Espaço
v
✲
Figura 9.5: Subtração de vetores
Podemos agir da mesma forma que em relação ao plano. Temos agora
um sistema de coordenadas dado por três retas orientadas, perpendiculares
duas a duas e, uma vez fixada uma unidade de comprimento, cada ponto P
do espaço estará identificado com uma terna de números reais (x, y, z), que
dá suas coordenadas.
✌
x
z
X
✻ Z
P (x, y, z)
y
✲
Figura 9.6: Espaço tri-dimensional
No espaço, os vetores também são dados por segmentos orientados, com
ponto inicial na origem, e existe uma correspondência biunívoca entre os
vetores e pontos do espaço que a cada vetor OP associa seu ponto final
P (a, b, c).
Y

UNIVATES – Centro Universitário 136
Notação: O vetor v = OP é denotado pelas coordenadas de P .
⎛ ⎞
a
v = ⎝ b
c
⎠ ou v = (a, b, c).
Observação 9.2.13 Se chamarmos V o conjunto de vetores no espaço,
podemos identificar
Operações
V = {(x1, x2, x3); xi ∈ R} = R × R × R = R 3 .
São inteiramente análogas às operações de vetores no plano, apenas
trabalhando-se com as três componentes dos vetores.
Definição 9.2.14 Sejam u = (x1, x2, x3) e v = (y1, y2, y3) dois vetores
no espaço e k um escalar. Definimos:
u + v = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) e ku = (kx1, kx2, kx3).
Propriedade 9.2.15 Sejam u, v, w ∈ V e a, b ∈ R. Valem as seguintes
propriedades:
1. (u + v) + w = u + (v + w);
2. u + v = v + u;
3. ∃ 0 ∈ V tal que u + 0 = u (0 é chamado vetor nulo);
4. ∃ − u ∈ V tal que u + (−u) = 0;
5. a(u + v) = au + av;
6. (a + b)v = av + bv;
7. 1u = u.
Para maiores detalhes, ver [14] e [15].
Estas propriedades serão úteis na caracterização dos espaços vetoriais
que veremos a seguir.
9.3 Espaços Vetoriais
Definição 9.3.1 Um espaço vetorial (ou linear) consiste do seguinte:
1. um corpo F de escalares;
2. um corpo V de objetos, denominados vetores;
3. uma regra (operação), dita adição de vetores, tal que, ∀α, β, γ ∈ V:
(a) α + β = β + α (comutativa);

UNIVATES – Centro Universitário 137
(b) α + (β + γ) = (α + β) + γ (associativa);
(c) ∃! 0 ∈ V tal que α + 0 = α (existência de zero);
(d) ∀α ∈ V, ∃! − α ∈ V tal que α + (−α) = 0 (simétrico);
4. uma regra multiplicação por escalar tal que ∀c, c1, c2 ∈ F, ∀α,
β ∈ V:
(a) 1 · α = α;
(b) (c1c2)α = c1(c2α);
(c) c(α + β) = cα + cβ;
(d) (c1 + c2)α = c1α + c2α.
9.3.1 Exemplos
Exemplo 9.3.2 O conjunto dos vetores do espaço
V = R 3 = {(x1, x2, x3) : xi ∈ R} (espaço vetorial real).
Exemplo 9.3.3 n-uplas de números reais
V = R n = {(x1, x2, . . . , xn) : xi ∈ R}.
Exemplo 9.3.4 V = M(m, n), o conjunto das matrizes reais m × n
com a soma e o produto por escalar usuais. Note que V = M(1, n) = R n .
Exemplo 9.3.5 V = Pn, o conjunto dos polinômios com coeficientes
reais, de grau menor ou igual a n (incluindo o zero).
Exemplo 9.3.6 V = M(2, 2) (espaço vetorial complexo)
Observação 9.3.7
Os espaços vetoriais complexos aparecem, por exemplo, no estudo de
sistemas de equações diferenciais.
Salvo menção em contrário, trabalharemos com espaços vetoriais (e.v.)
REAIS.
9.4 Subespaços Vetoriais
Às vezes, é necessário detectar, dentro de um espaço vetorial V, subconjuntos
W que sejam eles próprios espaços vetoriais “menores”.
Definição 9.4.1 Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, nãovazio,
será um subespaço vetorial de V se:
1. para quaisquer u, v ∈ W tivermos u + v ∈ W;
2. para quaisquer a ∈ R, u ∈ W tivermos au ∈ W.

UNIVATES – Centro Universitário 138
Observação 9.4.2
W é um espaço vetorial;
Qualquer subespaço W ⊂ V contém o vetor nulo;
Todo espaço vetorial admite pelo menos 2 subespaços (triviais): 0 e o
espaço todo.
9.4.1 Exemplos
Exemplo 9.4.3 V = R 3 e W ⊂ V, um plano pela origem.
Observação 9.4.4
Note que, no exemplo 9.4.3, se W não passasse pela origem, não seria
um subespaço.
Observe que os únicos subespaços de R 3 são a origem, as retas e
planos pela origem, e o próprio R 3 .
Exemplo 9.4.5 V = R 5 e W = {(0, x2, x3, x4, x5) : xi ∈ R}.
Exemplo 9.4.6 V = M(n, n) e W é o subconjunto das matrizes triangulares
superiores.
Exemplo 9.4.7 Dado o sistema linear homogêneo:
⎧
⎨ 2x + 4y + z
x + y + 2z
⎩
x + 3y − z
=
=
=
0
0
0
⎛
2
⎝ 1
1
4
1
3
⎞ ⎛ ⎞ ⎛
1 x
2 ⎠ · ⎝ y ⎠ = ⎝
−1 z
queremos saber se o conjunto dos vetores-solução é um subespaço de
M(3, 1).
Exemplo 9.4.8 O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo de
n incógnitas é um subespaço de M(n, 1).
9.4.2 Contra-Exemplos
Contra-Exemplo 9.4.9 V = R 2 , W é uma reta deste plano que não
passa pela origem.
Note que, se 0 ∈ W, então W não é subespaço vetorial.
0
0
0
⎞
⎠ ,

UNIVATES – Centro Universitário 139
✻
✗
u
✯
v
W
Figura 9.7: Reta que não passa pela origem
Contra-Exemplo 9.4.10 Podemos ter 0 ∈ W e W não ser subespaço
vetorial. De fato, considere V = R 2 , W = {(x, x 2 ) : x ∈ R}.
Temos que (0, 0) ∈ W, u = (1, 1) ∈ W, v = (2, 4) ∈ W. Mas, por outro
lado, u + v = (1, 1) + (2, 4) = (3, 5) ∈ W.
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
x**2
-10 -5 0 5 10
Figura 9.8: Gráfico de y = x 2
Contra-Exemplo 9.4.11 V = M(n, n) e W é o subconjunto de todas
as matrizes em que a11 ≤ 0.
Contra-Exemplo 9.4.12 Se um sistema linear não for homogêneo, o
que acontece com o seu conjunto-solução?
Agora veremos as principais propriedades dos subespaços.
✲

UNIVATES – Centro Universitário 140
9.4.3 Propriedades
Teorema 9.4.13 (Intersecção de Subespaços)
Se W1 e W2 são subespaços de um espaço vetorial V, então W1 ∩ W2
ainda é um subespaço de V.
Note que W1 ∩ W2 = ∅.
prova: exercício.
9.4.4 Exemplos
Exemplo 9.4.14 Seja V = R 3 , então W1 ∩ W2 é a intersecção dos
planos W1 e W2.
W1 ∩ W2
✻
W1
W2
Figura 9.9: Intersecção de subespaços vetoriais
Exemplo 9.4.15 Seja V = M(n, n), onde
W1 = {matrizes triangulares superiores} e W2 = {matrizes triangulares inferiores}.
Então W1 ∩ W2 = {matrizes diagonais}.
Observação 9.4.16 Se W1 e W2 são subespaços de um espaço vetorial
V, não podemos afirmar que W1 ∪ W2 seja um subespaço.
Contra-Exemplo 9.4.17 Sejam V = R 3 , e W1 e W2 vetores sobre os
eixos coordenados.
Assim, W1 ∪ W2 não é subespaço de V. Entretanto, podemos construir
um conjunto W, que contém W1 e W2 e é subespaço de V.
✶

UNIVATES – Centro Universitário 141
v
✻W2
✻
✼
✯
u
u + v
✯
❥
W1
Figura 9.10: União de subespaços vetoriais
Teorema 9.4.18 (Soma de Subespaços)
Sejam W1 e W2 subespaços de um e.v. V. Então o conjunto
W1 + W2 = {v ∈ V; v = w1 + w2, w1 ∈ W1, w2 ∈ W2}
é um subespaço de V.
prova: exercício.
9.4.5 Exemplos
Exemplo 9.4.19 No exemplo 9.4.17, W = W1 + W2 é o plano que
contém as duas retas.
Exemplo 9.4.20 Se W1 ⊂ R 3 é um plano e W2 é uma reta contida
neste plano, ambos passando pela origem, então W1 + W2 = W1.
Exemplo 9.4.21 W1 =
b, c, d ∈ R. Então
W1 + W2 =
a b
0 0
a b
c d
e W2 =
0 0
c d
= M(2, 2).
, onde a,
Definição 9.4.22 Quando W1 ∩ W2 = {0}, então W1 + W2 é chamado
soma direta de W1 com W2, denotado por
W1 ⊕ W2.

UNIVATES – Centro Universitário 142
9.5 Combinação Linear
Uma das características mais importantes de um espaço vetorial é a
obtenção de novos vetores a partir de vetores dados.
Definição 9.5.1 Sejam V um espaço vetorial, v1,. . . , vn ∈ V e a1,. . . ,
an ∈ F. Então o vetor
n
v = a1v1 + . . . + anvn =
i=1
aivi
é um elemento de V chamado combinação linear de v1,. . . , vn.
Observação 9.5.2 Fixados v1,. . . , vn ∈ V, o conjunto W de todos os
vetores de V que são combinação linear destes, é um subespaço vetorial
(s.v.). W é chamado subespaço gerado por v1,. . . , vn.
Notação: W = [v1, . . . , vn]
Note que W é o menor subespaço de V que contém {v1, . . . , vn}.
9.5.1 Exemplos
Exemplo 9.5.3 V = R 3 , v ∈ V, v = 0. Então [v] = {av : a ∈ R}, isto
é, é a reta que contém o vetor v.
Exemplo 9.5.4 Se v1, v2 ∈ R 3 são tais que αv1 = v2, ∀α ∈ R, então
[v1, v2] será o plano que passa pela origem e contém v1 e v2.
☛
✻
✒
v1
❥
v2
Figura 9.11: Subespaço gerado por dois vetores
Exemplo 9.5.5 V = R2 , v1 = (1, 0), v2 = (0, 1). Logo V = [v1, v2], pois
∀ v = (x, y) ∈ V, temos (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1), ou seja, v = xv1 + yv2.
1
Exemplo 9.5.6 Sejam v1 =
0
0
0
, v2 =
0
0
1
. Então
0
a
[v1, v2] =
0
b
:
0
a, b ∈ R .
✲

UNIVATES – Centro Universitário 143
9.6 Dependência e Independência Linear
Dados os vetores v1, . . . , vn, queremos saber se não existem vetores
“supérfluos”, isto é, se algum deles não é uma combinação linear dos outros.
Definição 9.6.1 Sejam V um e.v. e v1, . . . , vn ∈ V. Dizemos que
o conjunto {v1, . . . , vn} é linearmente independente (l.i.), ou que os
vetores v1, . . . , vn são l.i., se a equação
a1v1 + . . . + anvn = 0
implica que a1 = a2 = . . . = an = 0. No caso em que exista algum ai = 0
dizemos que {v1, . . . , vn} é linearmente dependente (l.d.), ou que os
vetores v1,. . . , vn são l.d..
Teorema 9.6.2 {v1, . . . , vn} é l.d. se, e somente se, um destes vetores
for uma combinação linear dos outros.
prova: exercício.
9.6.1 Exercícios
Exemplo 9.6.3 V = R 3 . Sejam v1, v2 ∈ V.
{v1, v2} é l.d. ⇔ v1 e v2 estiverem na mesma reta, que passa pela origem
(v1 = λv2).
Exemplo 9.6.4 V = R 3 . Sejam v1, v2, v3 ∈ V.
{v1, v2, v3} é l.d. se os três vetores estiverem no mesmo plano, que passa
pela origem.
Exemplo 9.6.5 V = R 2 , e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1). Então e1 e e2 são
l.i., pois
a1e1 + a2e2 = 0 ⇒ a1 = 0 e a2 = 0.
Exemplo 9.6.6 V = R 2 . {(1, −1), (1, 0), (1, 1)} é l.d., pois
1
1
(1, −1) − 1(1, 0) + (1, 1) = (0, 0).
2 2
9.7 Base de Um Espaço Vetorial
Queremos determinar um conjunto de vetores que gere V e tal que todos
os elementos sejam realmente necessários.
Definição 9.7.1 Um conjunto {v1, . . . , vn} de vetores de V será uma
base de V se:
1. {v1, . . . , vn} é l.i.;
2. [v1, . . . , vn] = V.

UNIVATES – Centro Universitário 144
9.7.1 Exemplos
Exemplo 9.7.2 V = R 2 , e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) (base canônica).
Também é base do plano: {(1, 1), (0, 1)}, pois se (0, 0) = a(1, 1) + b(0, 1),
então a = b = 0 (l.i.). Ademais, dado v = (x, y) ∈ V, temos que
(x, y) = x(1, 1)+(y−x)(0, 1). Logo, todo vetor do plano é combinação linear
de e1 e e2.
Exemplo 9.7.3 V = R 3 , {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} é base.
Exemplo 9.7.4 V = M(2, 2),
1 0
0 0
0 1
,
0 0
0 0
,
1 0
0 0
,
0 1
.
Contra-Exemplo 9.7.5 {(0, 1), (0, 2)} não é base de R 2 , pois l.d.:
(0, 0) = a(0, 1) + b(0, 2) ⇒ a = −2b.
Contra-Exemplo 9.7.6 {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} não é base de R3 . É l.i.,
mas não gera todo R3 , isto é, [(1, 0, 0), (0, 1, 0)] = R3 .
Observação 9.7.7
Nem sempre é possível encontrar uma base finita para um espaço vetorial.
Nestes casos, precisaremos de combinações lineares finitas de
um conjunto infinito de geradores. É o que acontece com espaços de
funções.
Somente trabalharemos com e.v. que tenham base finita.
Vejamos algumas propriedades das bases de um espaço vetorial
Teorema 9.7.8 Sejam v1, . . . , vn vetores não-nulos que gerem um
espaço vetorial V. Então, dentre eles podemos extrair uma base de V.
prova: Se v1, . . . , vn l.i., ok!
Se não, v1, . . . , vn são l.d. e ∃ combinação linear x1v1 + . . . + xnvn = 0 com
algum xi = 0. Sem perda de generalidade, suponhamos que xn = 0. Então
vn = −x1
xn
v1 + −x2
xn
v2 + . . . + −xn−1
vn−1 e,
xn
portanto, v1, . . . , vn−1 ainda geram V. Se l.i., ok! Se não, continuo o
processo um número finito de vezes.
Teorema 9.7.9 Seja V um espaço vetorial gerado por um número finito
de vetores v1, . . . , vn. Então, qualquer conjunto com mais de n vetores é
necessariamente l.d. (e, portanto, qualquer conjunto l.i. tem no máximo n
vetores).
prova: ver [4], [9] ou [13].

UNIVATES – Centro Universitário 145
Corolário 9.7.10 Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o
mesmo número de elementos.
Este número é chamado dimensão de V, e denotado por dim V.
prova: Sejam {v1, . . . , vn} e {w1, . . . , wm} bases de V. Como v1, . . . , vn
geram V e w1, . . . , wm são l.i., segue que m ≤ n.
Por outro lado, como w1, . . . , wm geram V e v1, . . . , vn são l.i., segue
que n ≤ m ∴ m = n.
9.7.2 Exemplos
Exemplo 9.7.11 V = R 2 , {(1, 0), (0, 1)} e {(1, 1), (0, 1)} são bases de
V. Então dim V = 2.
Exemplo 9.7.12 dimR 3 = 3.
Exemplo 9.7.13 E espaço vetorial V = M(2, 2) tem base com 4 elementos.
Então dimV = 4.
Definição 9.7.14 Quando um e.v. V admite uma base finita, dizemos
que V é de dimensão finita.
Teorema 9.7.15 Qualquer conjunto de vetores l.i. de um e.v. V de
dimensão finita pode ser completado de modo a formar uma base de V.
prova: exercício.
Corolário 9.7.16 Se dimV = n, qualquer conjunto de n vetores l.i.
formará uma base de V.
prova: exercício.
Teorema 9.7.17 Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V de
dimensão finita, então dimU ≤ dimV e dimW ≤ dimV. Ademais,
prova: ver [4].
dim(U + W) = dimU + dimV − dim(U ∩ W).
Teorema 9.7.18 Dada uma base β = {v1, . . . , vn} de V, cada vetor de
V é escrito de maneira única como combinação linear de v1, . . . , vn.
prova: exercício.
Definição 9.7.19 Sejam β = {v1, . . . , vn} base de V e v ∈ V onde
v = a1v1 + . . . + anvn. Chamamos os números a1, . . . , an de coordenadas
de v em relação à base β e denotaremos por
⎛ ⎞
[v]β =
⎜
⎝
a1
.
an
⎟
⎠ .

UNIVATES – Centro Universitário 146
Exemplo 9.7.20 V = R 2 , β = {(1, 0), (0, 1)}.
(4, 3) = 4(1, 0) + 3(0, 1) ⇒ [(4, 3)]β =
4
3
Se β ′ = {(1, 1), (0, 1)}, então (4, 3) = x(1, 1) + y(0, 1) ⇒ x = 4, y = −1.
Então, [(4, 3)]β ′ =
4
−1
.
Observação 9.7.21 A ordem dos elementos de uma base influi na
matriz das coordenadas.
Ao considerarmos uma base β = {v1, . . . , vn}, estaremos subentendendo
a base ordenada na ordem em que aparecem.
Exemplo 9.7.22 Sejam
☛
.
V = {(x, y, z); x + y − z = 0} e W = {(x, y, z); x = y}.
✻
W
V + W =?
Resolução
V
Figura 9.12: Base de um subespaço vetorial
Temos V = [(1, 0, 1), (0, 1, 1)], W = [(1, 1, 0), (0, 0, 1)].
Então V+W = [(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 1)]. Como (x, y, z) ∈ R 3 pode
ser escrito como
(x, y, z) = α(1, 0, 1) + β(0, 1, 1) + γ(1, 1, 0) + δ(0, 0, 1),
com α = x, β = y, γ = 0, δ = z − x − y, temos V + W = R 3 .
Assim, dimR 3 = dimV + dimW − dim(V ∩ W) ⇒ dim(V ∩ W) = 1, onde
V ∩ W = {(x, y, z); x + y − z = 0 e x = y} =
= {(x, y, z); x = y = z
1
2 } = [(1, 1, 2 )].
✲

UNIVATES – Centro Universitário 147
9.8 Mudança de Base
Você já deve ter visto situações em que a resolução de um problema de
Física 1 torna-se muito mais simples se escolhermos um referencial conveniente
para descrever o movimento. Vejamos um exemplo:
Exemplo 9.8.1 Um Fiat Palio Weekend se move no plano XY com
trajetória elíptica de equação x2 + xy + y2 − 3 = 0 (ver figura abaixo). A
descrição do movimento torna-se muito mais simplificada se ao invés de
trabalharmos com os eixos OX e OY (isto é, o referencial determinado pela
base canônica), utilizarmos um referencial que se apóia nos eixos principais
da elipse.
✛
✚
✘
✙
✒
⑦
X
Incline o pescoço ±40 o para a direita!
Y
✛
✚
Figura 9.13: Trajetória elíptica
✻
X2
✘
✙
Neste novo referencial, a equação da trajetória será mais simples 2 :
3x 2 1 + 2y 2 1 = 6.
Observação 9.8.2 Numa situação como esta do exemplo 9.8.1, temos
duas questões a saber:
Como escolher o novo referencial?
Uma vez escolhido, qual a relação entre as coordenadas de um ponto
no antigo referencial e suas coordenadas no novo?
A primeira questão é mais delicada e não será contemplada neste curso (o
aluno interessado pode consultar [4], capítulo 11, não sem antes realizar
um bom curso de Geometria Analítica segundo [11] ou [34]). A segunda,
passaremos a estudar agora, mas logo num contexto mais amplo.
1 Cinemática ou Estática, por exemplo.
2 Para maiores detalhes, ver [11], ou [34].
✲
X1

UNIVATES – Centro Universitário 148
Sejam β = {u1, . . . , un} e β ′ = {w1, . . . , wn} duas bases de um mesmo
e.v. V. Dado v ∈ V, temos:
v = x1u1 + . . . + xnun e
v = y1w1 + . . . + ynwn, donde
[v] t β = [x1 . . . xn], [v] t β ′ = [y1 . . . yn].
Como {u1, . . . , un} é base de V, podemos escrever
w1 = a11u1 + a21u2 + . . . + an1un
w2 = a12u1 + a22u2 + . . . + an2un
. = .
wn = a1nu1 + a2nu2 + . . . + annun
Substituindo em 9.1 e reordenando, temos:
v = y1w1 + . . . + ynwn =
.
= (a11y1 + ... + a1nyn)u1 + . . . + (an1y1 + ... + annyn)un
Mas, v = x1u1 + . . . + xnun. Pela unicidade das coordenadas:
⎛
x1
⎜
⎝ .
⎞ ⎛
a11
⎟ ⎜
⎠ = ⎝ .
. . .
. ..
a1n
.
⎞ ⎛
y1
⎟ ⎜
⎠ · ⎝ .
⎞
⎟
⎠ .
Denotando,
xn
an1 . . . ann
an1 . . . ann
yn
[I] β′
β =
⎛
⎞
a11 . . . a1n
⎜
⎝
.
. ..
⎟
. ⎠ , temos
[v]β = [I] β′
β
· [v]β ′.
(9.1)
(9.2)
Definição 9.8.3 A matriz [I] β′
β acima é a matriz de mudança da
base β ′ para a base β.
Exemplo 9.8.4 β = {(2, −1), (3, 4)}, β ′ = {(1, 0), (0, 1)} bases de R 2 .
[I] β′
β =?
Resolução
w1 = (1, 0) = a11(2, −1) + a21(3, 4) ⇒ a11 = 4/11, a21 = 1/11
w2 = (0, 1) = a12(2, −1) + a22(3, 4) ⇒ a12 = −3/11, a22 = 2/11.
Portanto,
[I] β′
β =
4/11 −3/11
1/11 2/11

UNIVATES – Centro Universitário 149
Para v = (5, −8), na base β temos:
[(5, −8)]β = [I] β′
β · [(5, −8)]β ′ =
4/11 −3/11 5
=
· =
1/11
2/11 −8
4
= ,
−1
isto é, (5, −8) = 4(2, −1) − 1(3, 4).
Observação 9.8.5
Note que, no exemplo 9.8.4, se quiséssemos apenas encontrar as coordenadas
de (5, −8) em relação à base β, poderíamos simplesmente
resolver o sistema
(5, −8) = a(2, −1) + b(3, 4).
O cálculo feito através da matriz de mudança de base é operacionalmente
vantajoso quando trabalhamos com mais vetores, pois neste caso
não teremos que resolver um sistema de equações para cada vetor.
Para maiores detalhes, ver [9], [13], [36] ou [34].
9.8.1 A Inversa da Matriz de Mudança de Base
Se em 9.2 tivéssemos escrito os ui em função dos wj, teríamos:
[v]β ′ = [I]β β ′ · [v]β.
Como as matrizes [I] β
β ′ e [I] β′
β são inversíveis (verifique!), basta observar
que
[I] β′
−1 β = [I] β
β ′. (9.3)
9.8.2 Exemplos
Então,
Exemplo 9.8.6 No exemplo 9.8.4, obter [I] β′
β
Ora, β ′ é a base canônica, logo
[I] β′
β =
2 3
−1 4
x2
[I] β
β ′ =
Resolução
−1
2 3
−1 4
=
.
4/11 −3/11
1/11 2/11
a partir de [I]β
β ′.
.
Exemplo 9.8.7 V = R2 , β = {e1, e2} e β ′ = {f1, f2} obtida da base
canônica β pela rotação de um ângulo θ. Dado um vetor v ∈ R2
de coorde-
x1
y1
nadas [v]β = , quais são as coordenadas [v]β ′ = ?
y2

UNIVATES – Centro Universitário 150
Resolução
Temos então v = x1e1 + x2e2 = y1f1 + y2f2.
Procuramos [v]β ′ = [I]β β ′ · [v]β.
f2
e2
■
✻
✻
✍
v
✼
f1
θ
✲ ✲
e1
Figura 9.14: Mudança de base
Precisamos escrever e1 e e2 em função de f1 e f2 (ver figura no final da
resolução):
Portanto, [I] β
β ′
cos θ sin θ
=
− sin θ cos θ
ou seja,
y1
y2
e1 = cos θf1 − sin θf2
e2 = sin θf1 + cos θf2
=
, donde
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
y1 = x1 cos θ + x2 sin θ
y2 = −x1 sin θ + x2 cos θ
.
x1
·
x2
.
,

UNIVATES – Centro Universitário 151
cos θ
f2
cos θ
■
f2
■
− sin θ
✿
✻
✻
✻
✍
e2
✌
e2
✻
✾
✒
✲
✒
e1
f1
f1
Figura 9.15: Rotação de vetores
✲
✲
sin θ
9.9 Exercícios de Fixação e Problemas de
Aplicação
Exercício 9.9.1 Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de
M(2, 2). Em caso afirmativo, exiba geradores:
a b
1. V =
com a, b, c, d ∈ R e b = c
c d
a b
2. W =
com a, b, c, d ∈ R e b = c + 1 .
c d
Exercício 9.9.2 Considere dois vetores (a, b) e (c, d) no plano. Se
ad − bc = 0, mostre que eles são linearmente dependentes. Se ad − bc = 0,
mostre que eles são linearmente independentes.

UNIVATES – Centro Universitário 152
Exercício 9.9.3 Verifique se os conjuntos abaixo são espaços vetoriais
reais, com operações usuais. No caso afirmativo, exiba uma base e dê a
dimensão:
1. Matrizes diagonais n × n
2. Matrizes escalares n × n
a
3.
a
a + b
:
b
a, b ∈ R
4. V = {(a, a, . . . , a) ∈ R n ; a ∈ R}
5. {(1, a, b) : a, b ∈ R}
6. A reta {(x, x + 3) : x ∈ R}
7. {(a, 2a, 3a) : a ∈ R}.
Exercício 9.9.4 Considere o subespaço de R 4
S = [(1, 1, −2, 4), (1, 1, −1, 2), (1, 4, −4, 8)] :
1. O vetor ( 2
3 , 1, −1, 2) pertence a S?
2. O vetor (0, 0, 1, 1) pertence a S?
Exercício 9.9.5 Seja W o subespaço de M(2, 2) definido por
2a
W =
0
a + 2b
:
a − b
com a, b ∈ R .
0
1.
0
−2
∈ W?
1
0
2.
3
2
∈ W?
1
Exercício 9.9.6 Seja W o subespaço de M(3, 2) gerado por
⎛
0
⎞
0
⎛
0 1
⎞ ⎛
0
⎞
1
⎝ 1 1 ⎠ , ⎝ 0 −1 ⎠ e ⎝ 0 0 ⎠ .
0 0 1 0
0 0
⎛
O vetor ⎝
0 2
3 4
5 0
⎞
⎠ pertence a W?
Exercício 9.9.7 Mostre que
é base de M(2, 2).
1 0
0 0
0 1
,
0 0
0 0
,
1 0
0 0
,
0 1
Exercício 9.9.8 Escreva uma base para o e.v. das matrizes n×n. Qual
a dimensão deste espaço?

UNIVATES – Centro Universitário 153
Exercício 9.9.9 Quais são as coordenadas de x = (1, 0, 0) em relação
à base
β = {(1, 1, 1), (−1, 1, 0), (1, 0, −1)}?
Exercício 9.9.10 Seja Pn o espaço vetorial formado por todos os polinômios
com coeficientes reais, de grau menor ou igual a n, incluindo o zero
(ver 9.3.5). Qual a dimensão deste espaço vetorial?
Exercício 9.9.11 Mostre que os polinômios 1 − t 3 , (1 − t) 2 , 1 − t e 1
geram P3.
Exercício 9.9.12 Seja P o conjunto de todos os polinômios (de grau
qualquer) com coeficientes reais. Existe uma base finita para este espaço?
Encontre uma “base”para P e justifique por que P é conhecido como um
espaço de dimensão infinita.
Exercício 9.9.13 Sejam U o subespaço de R 3 , gerado por (1, 0, 0) e W
o subespaço de R 3 , gerado por (1, 1, 0) e (0, 1, 1). Mostre que R 3 = U ⊕ W.
Exercício 9.9.14 Sejam W1 = {(x, y, z, t) ∈ R 4 | x + y = 0 e z − t = 0}
e W2 = {(x, y, z, t) ∈ R 4 | x − y − z + t = 0} dois dos subespaços de R 4 .
1. Determine W1 ∩ W2.
2. Exiba uma base para W1 ∩ W2.
3. Determine W1 + W2.
4. W1 + W2 é soma direta? Justifique.
5. W1 + W2 = R 4 ?
Exercício 9.9.15 Sejam β = {(1, 0), (0, 1)}, β1 = {(−1, 1), (1, 1)},
β2 = {( √ 3, 1), ( √ 3, −1)} e β3 = {(2, 0), (0, 2)} bases ordenadas de R 2 .
1. Ache as matrizes de mudança de base:
(a) [I] β1
β ;
(b) [I] β
β1 ;
(c) [I] β
β2 ;
(d) [I] β3
β .
2. Quais são as coordenadas do vetor v = (3, −2) em relação à base:
(a) β;
(b) β1;
(c) β2;
(d) β3?

UNIVATES – Centro Universitário 154
3. As coordenadas de um vetor v em relação à base β1 são dadas por
[v]β1 =
4
0
.
Quais são as coordenadas de v em relação à base:
(a) β;
(b) β2;
(c) β3.
Exercício 9.9.16 Se [I] α′
α =
1. [v]α onde [v]α ′ =
⎛
⎝
⎛
2. [v]α ′ onde [v]α = ⎝
−1
2
3
−1
2
3
⎞
⎠;
⎞
⎠.
⎛
⎝
1 1 0
0 −1 1
1 0 −1
⎞
⎠, ache:
Exercício 9.9.17 Se β ′ é obtida de β, a base canônica de R2 , pela
rotação por um ângulo −π
3 , ache:
1. [I] β′
β ;
2. [I] β
β ′.
Exercício 9.9.18 Sejam β1 = {(1, 0), (0, 2)}, β2 = {(−1, 0), (1, 1)} e
β3 = {(−1, −1), (0, −1)} três bases ordenadas de R 2 .
1. Ache:
(a) [I] β2
β1 ;
(b) [I] β3
β2 ;
(c) [I] β3
β1 ;
(d) [I] β2 · [I]β3 β1 β2 .
2. Se for possível, dê uma relação entre estas matrizes de mudança de
base.
Exercício 9.9.19 Seja V o e.v. de matrizes 2 × 2 triangulares superiores.
Sejam
1 0 0 1 0 0
β =
, ,
e
0 0
0 0
0 1
1 0 1 1 1 1
β1 =
, ,
0 0 0 0 0 1
duas bases de V. Ache [I] β1
β .

UNIVATES – Centro Universitário 155
Exercício 9.9.20 Volte a 9.3 e mostre efetivamente que
([I] β′
β )−1 = [I] β
β ′.
Exercício 9.9.21 Se α é base de um espaço vetorial, qual é a matriz de
mudança de base [I] α α?
9.10 Respostas dos Principais Exercícios do
Capítulo
9.9.4 1. Pertence: v = 0v1 + 5
3 v2 − 1
6 v3; 2. Não pertence
9.9.5 1. Pertence; 2. Não pertence
9.9.6 Não pertence
9.9.9 [x]β = 1
3
9.9.15 1. a.
− 1
3
−1 1
1 1
1
3
; b.
2. a. [3 − 2]; b. − 5
3. a. [−4 4]; b.
2
6−2 √ 3
3
− 1
2
1
2
1
2 ; c.
−6−2 √ 3
3
; c.
1
2
1
2
√
3 3−6
6
√
3
√6 3
6
3 √ 3+6
6
; c. [−2 2];
9.9.16 1. [v]α = (1, 1, −4) t ; 2. [v]α ′ = (4, 4, −3)t
9.9.18 1. a.
9.9.19
⎡
⎣
9.9.21 In.
−1 1
0 1
2
1 1 1
0 1 1
0 0 1
⎤
⎦;
; b.
0 −1
−1 −1
; c.
1
2
1 − 2
; d.
; d. 3
2 − 1 ;
−1 0
− 1
2
1
2
2 0
0 2
; d. idem c.
Não apresentaremos as respostas dos demais exercícios deste capítulo
para não tirarmos o seu prazer de resolvê-los.
C H A E TING ER
;

Capítulo 10
Aprofundamento Sobre
Transformações Lineares
10.1 Introdução
unções lineares descrevem o tipo mais simples de dependência entre
variáveis.
Exemplo 10.1.1 Se de 1kg de soja são extraídos 0, 2 litros de óleo, de
uma produção de x kg de soja seriam extraídos 0, 2 · x litros de óleo.
Escrevendo na forma de função: Q(S) = 0, 2 · S, onde Q = quantidade
em litros de óleo de soja e S = quantidade em kg de soja.
✻ Q
Figura 10.1: Extração de óleo de soja por kg
Vejamos duas características deste exemplo:
Q = 0, 2 · S
1. Q(S1 + S2) = 0, 2 · (S1 + S2) = 0, 2 · S1 + 0, 2 · S2 = Q(S1) + Q(S2),
S1, S2 ∈ R;
156
✲
S

UNIVATES – Centro Universitário 157
2. Q(k · S) = 0, 2 · (kS) = k · (0, 2 · S) = k · Q(S), k ∈ R.
Estas duas propriedades servirão para caracterizar “transformação linear”.
Definição 10.1.2 Sejam V e W dois espaços vetoriais. Uma transformação
linear (aplicação linear) é uma função de V em W , F : V → W ,
satisfazendo, ∀u, v ∈ V , ∀k ∈ R:
1. F (u + v) = F (u) + F (v);
2. F (k · v) = k · F (v).
Notação: por brevidade, denotaremos por TL qualquer transformação
linear.
10.2 Exemplos
Exemplo 10.2.1 V = W = R e Q : R → R
x 0, 2 · x.
Exemplo 10.2.2 V = W = R e F : R → R
,
u F (u) = α · u
onde α ∈ R.
Toda transformação linear de R em R só pode ser deste tipo. De fato,
F (x) = F (x · 1) e como F é uma TL e x é um escalar, F (x · 1) = x · F (1).
Chamando F (1) = α, temos que F (x) = α · x.
O nome transformação linear certamente foi inspirado neste caso em
que V = W = R, pois o gráfico de F (x) = α · x é uma reta passando pela
origem.
Contra-Exemplo 10.2.3 A aplicação F : R → R
u F (u) = u2 não é
uma TL, pois seu gráfico não é uma reta.
Ademais, F (u + v) = (u + v) 2 = u2 + 2uv + v2 = u2 + v2 = F (u) + F (v).
Exemplo 10.2.4 F : R 2 → R 3
(x, y) (2x, 0, x + y).
Observação 10.2.5 Se T : V → W é uma TL, então T (0V ) = 0W , isto
é, se 0 ∈ V então T (0) = 0 ∈ W . De fato, como T é uma TL, temos que
T (0) = T (0 + 0) = T (0) + T (0) ⇒ T (0) = 0.
Portanto, se T (0) = 0, então T não é uma transformação linear. Mas,
cuidado, T (0) = 0 não é suficiente para que T seja linear (veja o contraexemplo
10.2.3).

UNIVATES – Centro Universitário 158
O próximo exemplo é muito importante. Ele mostra que a toda matriz
m×n está associada uma transformação linear de R n em R m (note a troca da
ordem de m e n), isto é, toda matriz produz uma TL. A recíproca também
é verdadeira, ou seja, uma TL de R n em R m pode ser representada por uma
matriz m × n (isto mostraremos mais adiante).
Exemplo 10.2.6 V = Rn e W = Rm ⎡ ⎤
. Seja A ∈ Mm×n(R). Definimos
LA : Rn → Rm ⎢
, onde v = ⎣
v
⎡
A · v
⎤ ⎡ ⎤
⎢
LA(v) = A · ⎣
x1
.
xn
⎥ ⎢
⎦ = ⎣
y1
.
ym
x1
.
xn
⎥
⎦ é um vetor coluna e
⎥
⎦. Tal aplicação é uma TL.
O exemplo 10.2.4 acima é um caso particular:
LA : R2 → R3 ⎡ ⎤
2 0
x1
⎣ 0 0 ⎦ ·
x2
1 1
x1
x2
⎡
= ⎣
2x1
0
x1 + x2
Exemplo 10.2.7 V = W = Pn (polinômios de grau ≤ n).
D : Pn → Pn
f f ′
, a aplicação derivada.
10.3 Transformações do Plano no Plano
10.3.1 Expansão (ou Contração) Uniforme
Uma expansão (contração) uniforme é toda aplicação do tipo
T : R 2 → R 2
v α · v
, com α ∈ R.
Exemplo 10.3.1 Seja T : R2 → R2 , ou T (x, y) = 2 · (x, y). Esta
v 2 · v
função leva cada vetor do plano num vetor de mesma direção e sentido de
v, mas de módulo 2 vezes maior.
x x
2 ·
y y
ou
x 2
y 0
0 x
· .
2 y
⎤
⎦ .

UNIVATES – Centro Universitário 159
✻
✲
Figura 10.2: Expansão ou contração uniforme
Se tomássemos F : R2 → R2 tal que F (x, y) = 1
2 · (x, y), F seria uma
contração.
10.3.2 Reflexão em Torno do Eixo
OX
A reflexão em torno do eixo
OX é dada pela aplicação
F : R2 → R2 (x, y) (x, −y).
Matricialmente, podemos descrever a aplicações do seguinte modo:
x x x 1
ou
y −y y 0
0 x
· .
−1 y
✻
✲
Figura 10.3: Reflexão em torno do eixo horizontal
10.3.3 Reflexão pela Origem
A reflexão pela origem é dada pela aplicação T : R2 → R2 , ou seja,
v
T (x, y) = (−x, −y).
−v
Matricialmente, podemos descrever a aplicações do seguinte modo:
x −x x −1
ou
y −y y 0
0 x
· .
−1 y
Fisicamente, esta reflexão corresponde à rotação de 180 o em torno da
origem.
✻
❄
✲
✲

UNIVATES – Centro Universitário 160
✻
✲
✛
❄
Figura 10.4: Reflexão pela origem
10.3.4 Rotação de um ângulo θ
A rotação de um ângulo θ (no sentido anti-horário) é descrita pelas
seguintes relações:
x ′ = r · cos(α + θ) = r · cos α · cos θ − r · sin α · sin θ.
Mas, r · cos α = x e r · sin α = y. Então x ′ = x · cos θ − y · sin θ.
Analogamente,
y ′ = r · sin(α + θ) = r · (sin α · cos θ + cos α · sin θ) = y · cos θ + x · sin θ.
y
✻ ✻
✘✘✘✘✘✘✿ α
x
✲ ✄ ✲
✄✄✄✄✄✗
✘✘✘✘✘✘✿ θ
α
Figura 10.5: Rotação de um ângulo dado
Assim, Rθ(x, y) = (x · cos θ − y · sin θ, y · cos θ + x · sin θ), ou na forma
matricial,
x
y
x · cos θ − y · sin θ cos θ − sin θ x
=
·
y · cos θ + x · sin θ sin θ cos θ y
Rθ(x,y)
y ′
x ′
.

UNIVATES – Centro Universitário 161
10.3.5 Cisalhamento Horizontal
O cisalhamento horizontal é dado pela relação
T (x, y) = (x + αy, y), α ∈ R.
Ele consiste na modificação da primeira coordenada do vetor (x, y),
substituindo-a por uma combinação linear específica de x e y, a saber:
x x + αy, α ∈ R.
✻
✲
10.3.6 Translação
✻
Figura 10.6: Cisalhamento horizontal
Note que a translação segundo um vetor (a, b) = (0, 0), embora seja
uma transformação do plano no plano, não é linear (pois não leva o zero
no zero). O único caso em que a translação é linear é quando a = b = 0.
Ela é dada pela relação T (x, y) = (x + a, y + b), ou matricialmente por
x
y
1 0
0 1
x
·
y
10.4 Conceitos e Teoremas
a
+
b
As TL são perfeitamente determinadas conhecendo-se seu valor nos elementos
de uma base.
Teorema 10.4.1 Sejam V e W espaços vetoriais reais e {v1, . . . , vn}
uma base de V . Sejam w1, . . . , wn ∈ W . Então existe uma única aplicação
linear T : V → W tal que T (v1) = w1, . . . , T (vn) = wn.
prova: Seja v = a1v1 + . . . anvn um vetor de V . Então
T (v) = a1T (v1) + . . . + anT (vn) = a1w1 + . . . + anwn.
Note que T é linear e é única nas condições acima.
.
✲

UNIVATES – Centro Universitário 162
Exemplo 10.4.2 Qual é a transformação linear T : R 2 → R 3 tal que
T (1, 0) = (2, −1, 0) e T (0, 1) = (0, 0, 1)?
Solução
Os vetores e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) formam uma base de R 2 . Sejam
w1 = (2, −1, 0) e w2 = (0, 0, 1). Dado v = (x1, x2), temos que v = x1e1+x2e2
e T (v) = x1T (e1) + x2T (e2) = x1(2, −1, 0) + x2(0, 0, 1) = (2x1, −x1, x2).
Definição 10.4.3 Seja T : V → W uma aplicação linear. A imagem
de T é o conjunto dos vetores w ∈ W tais que existe um vetor v ∈ V , que
satisfaz T (v) = w. Ou seja,
Im(T ) = {w ∈ W | T (v) = w para algum v ∈ V }.
Note que Im(T ) ⊆ W e, além disso, é um subespaço vetorial de W . Às
vezes Im(T ) é escrito como T (V ).
Definição 10.4.4 Seja T : V → W uma transformação linear. O conjunto
de todos os vetores v ∈ V tais que T (v) = 0 é chamado núcleo (ou
kernel) de T , denotado por ker(T ). Isto é,
ker(T ) = {v ∈ V | T (v) = 0}.
Note que ker(T ) ⊆ V e é um subespaço vetorial de V .
✬
✫
ker(T )
V W
✩✬
0
T
✪✫
Figura 10.7: Diagrama de núcleo e imagem de uma TL
Im(T )
Exemplo 10.4.5 Seja T : R 2 → R com T (x, y) = x + y. Então
ker(T ) = {(x, y) ∈ R 2 | x + y = 0} é a reta y = −x, ou ainda,
ker(T ) = {(x, −x) | x ∈ R} = [(1, −1)]. E Im(T ) = R, pois para todo
w ∈ R, w = T (w, 0).
Exemplo 10.4.6 Seja T : R 3 → R 3 com T (x, y, z) = (x, 2y, 0). Então
Im(T ) = {(x, 2y, 0) ∈ R 3 | x, y ∈ R} =
= {x(1, 0, 0) + y(0, 2, 0) | x, y ∈ R} = [(1, 0, 0), (0, 2, 0)].
Note que dim Im(T ) = 2.
Ademais, ker(T ) = {(x, y, z) | (x, 2y, 0) = (0, 0, 0)} = [(0, 0, 1)], onde
dim ker(T ) = 1.
0
✲
✩
✪

UNIVATES – Centro Universitário 163
Definição 10.4.7 Uma aplicação T : V → W é injetora se T (u) = v
implicar que u = v, para quaisquer u, v ∈ V . Equivalentemente, T é injetora
se dados u, v ∈ V com u = v, então T (u) = T (v).
Em outras palavras, T é injetora se as imagens de vetores distintos são
distintas.
Definição 10.4.8 A aplicação T : V → W é sobrejetora se a imagem
de T coincidir com W , ou seja, T (V ) = W .
Em outras palavras, T é sobrejetora se dado w ∈ W , existir v ∈ V tal
que T (v) = w.
O próximo teorema afirma que uma TL injetora só tem o vetor nulo no
seu núcleo. E, por outro lado, se uma TL tiver somente 0 no seu núcleo,
então quaisquer dois vetores distintos devem ter imagens distintas também.
Teorema 10.4.9 Seja T : V → W uma aplicação linear. Então
ker(T ) = {0} ⇔ T é injetora.
Corolário 10.4.10 Seja T : V → W uma aplicação linear injetora.
Então T leva vetores linearmente independentes em vetores linearmente independentes.
Teorema 10.4.11 Seja T : V → W uma aplicação linear. Então
dim ker(T ) + dim Im(T ) = dim V .
prova: Seja {v1, . . . , vn} base de ker(T ) ⊆ V . Como ker(T ) é um subespaço
de V , podemos completar este conjunto de modo a obter uma base
de V . Seja então {v1, . . . , vn, . . . , w1, . . . , wm} a base de V .
Afirmação: {T (w1), . . . , T (wm)} é base de Im(T ).
Provemos, inicialmente, que [T (w1), . . . , T (wm)] = Im(T ).
Dado w ∈ Im(T ), ∃u ∈ V tal que T (u) = w. Como u ∈ V , temos que
u = a1v1 + . . . + anvn + b1w1 + . . . + bmwm. Mas,
w = T (u) = T (a1v1 + . . . + anvn + b1w1 + . . . + bmwm) =
= b1T (w1) + . . . + bmT (wm),
pois v1, . . . , vn ∈ ker(T ). Logo Im(T ) = [T (w1), . . . , T (wm)].
Mostraremos agora que {T (w1), . . . , T (wm)} é linearmente independente.
De fato, suponhamos que a1T (w1) + a2T (w2) + . . . + amT (wm) = 0.
Como T é linear, segue que T (a1w1 + a2w2 + . . . + amwm) = 0, donde
a1w1 + . . . + amwm ∈ ker(T ). Então a1w1 + . . . + amwm pode ser escrito
como combinação linear da base {v1, . . . , vn} de ker(T ). Isto é , ∃b1, . . . , bn
tais que a1w1 + . . . + amwm = b1v1 + . . . + bnvn, ou ainda,
a1w1 + . . . + amwm − b1v1 − . . . − bnvn = 0.
Mas, {v1, . . . , vn, w1, . . . , wm} é base de V , e então segue que
a1 = a2 = . . . = am = b1 = . . . = bn = 0.

UNIVATES – Centro Universitário 164
Corolário 10.4.12 Se dim V = dim W , então T linear é injetora se,
e somente se, T é sobrejetora.
Corolário 10.4.13 Seja T : V → W uma TL linear injetora. Se
dim V = dim W , então T leva base em base.
prova: (sketch) {v1, . . . , vn} base de V .
W ⊇ {T (v1), . . . , T (vn)} é LI, pois k1T (v1) + . . . + knT (vn) = 0 implica
que T (k1v1+. . .+knvn) = 0. Como T é injetora, então k1v1+. . .+knvn = 0.
Mas, {v1, . . . , vn} é base, logo ki = 0 para todo 1 ≤ i ≤ n.
Visto que dim V = dim W = n, {T (v1), . . . , T (vn)} é base de W .
Quando uma transformação linear T : V → W for injetora e sobrejetora
ao mesmo tempo, dá-se o nome de isomorfismo. Sob o ponto de vista da
Álgebra Linear, espaços vetoriais isomorfos são, por assim dizer, idênticos.
Pelo que já provamos, espaços isomorfos devem ter a mesma dimensão. Logo,
um isomorfismo leva base em base. Além disso, um isomorfismo T : V → W
tem uma aplicação inversa T −1 : W → V que é linear e é também um
isomorfismo.
Exercício 10.4.14 Seja T : R 3 → R 3 a transformação linear dada por
T (x, y, z) = (x − 2y, z, x + y). Mostre que T é isomorfismo e obtenha T −1 .
(Dica): Mostre que ker(T ) = {0} e calcule T ({e1, e2, e3}).
10.5 Transformações Lineares e Matrizes
Já vimos que toda matriz m × n está associada a uma transformação
linear T : Rn → Rm . Vamos generalizar este resultado para espaços vetoriais
V e W e também estabelecer o seu recíproco, isto é, uma vez fixadas as bases,
a toda transformação linear T : V → W está associada uma única matriz.
Inicialmente veremos como, dados dois espaços vetoriais V e W com
bases β e β ′ e uma matriz A, podemos obter uma TL.
Consideremos R2 e as bases β = {(1, 0), (0, 1)} e β ′
= {(1, 1), (−1, 1)}
2 0
e a matriz A = . Queremos associar a esta matriz A uma TL
0 1
que depende de A e das bases β e β ′ dadas, isto é, TA: R2 → R2 com
T (v) = TA(v).
x
Sejam v = (x, y) e X = [v]β = . Então
y
2 0 x 2x
AX = · = = [TA(v)]β
0 1 y y
′.
Logo TA(v) = 2x(1, 1) + y(−1, 1) = (2x − y, 2x + y).
De um modo geral, fixadas as bases β = {v1, . . . , vn} e
β ′ ⎛
⎞
a11 . . . a1m
⎜
⎟
= {w1, . . . , wm}, à matriz A = ⎝ . . ⎠ podemos associar a
am1 . . . amn
aplicação TA: Rn → Rm (v TA(v)).

UNIVATES – Centro Universitário 165
Seja X = [v]β =
A · X =
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
x1
.
xn
⎤
⎥
⎦. Então
a11 . . . a1n
.
am1 . . . amn
.
⎤
⎡
⎥ ⎢
⎦ · ⎣
x1
.
xn
⎤
⎡
⎥ ⎢
⎦ = ⎣
Portanto, TA(v) = y1w1 + . . . + ymwm, onde yi = Ai · X e Ai é a i-ésima
linha de A.
Em geral, uma matriz Am×n é vista como uma transformação linear
TA: Rn → Rm em relação às bases canônicas de Rn e Rm .
1 −3 5
Exemplo 10.5.1 Sejam A =
, β = {(1, 0), (0, 1)} e
2 4 −1
β ′ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. Considere TA: R3 → R2 ⎡ ⎤
. Seja
x
X = ⎣ y ⎦. Então
z
Portanto,
A · X =
1 −3 5
2 4 −1
⎡
· ⎣
x
y
z
⎤
⎦ =
y1
.
ym
⎤
x − 3y + 5z
2x + 4y − z
⎥
⎦ .
TA(x, y, z) = (x − 3y + 5z)(1, 0) + (2x + 4y − z)(0, 1) =
= (x − 3y + 5z, 2x + 4y − z).
Agora iremos encontrar a matriz associada a uma TL.
Sejam T : V → W linear, β = {v1, . . . , vn} base de V e β ′ = {w1, . . . , wm}
base de W . Então T (v1), . . . , T (vn) são vetores de W e portanto
T (v1) = a11w1 + . . . + aimwm
.
.
T (vn) = an1w1 + . . . + anmwm.
A transposta da matriz de coeficientes deste sistema, denotada por [T ] β
β ′
é chamada matriz de T em relação às bases β e β ′ .
⎡
⎤
[T ] β
β ′ ⎢
= ⎣
a11 . . . an1
.
a1m . . . an,m
.
⎥
⎦
m×n
= A.
Observe que T passa a ser a aplicação linear associada à matriz A e bases
β e β ′ , isto é, T = TA.
.

UNIVATES – Centro Universitário 166
Exemplo 10.5.2 Seja T : R 3 → R 2 a transformação linear dada por
T (x, y, z) = (2x+y −z, 3x−2y +4z). Sejam β = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}
e β ′ = {(1, 3), (1, 4)}. Procuremos [T ] β
β ′. Temos:
Então [T ] β
β ′
3 11 5
=
−1 −8 −3
T (1, 1, 1) = (2, 5) = 3(1, 3) − 1(1, 4)
T (1, 1, 0) = (3, 1) = 11(1, 3) − 8(1, 4)
T (1, 0, 0) = (2, 3) = 5(1, 3) − 3(1, 4).
.
Observe que se fixarmos outras bases β e β ′ , teremos outra matriz para
a transformação T .
Exemplo 10.5.3 Para uma aplicação linear T como acima, sejam
β = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e β ′ = {(1, 0), (0, 1)}. Calculemos [T ] β
β ′:
Então [T ] β
β ′
2 1 −1
=
3 −2 4
T (1, 0, 0) = (2, 3) = 2(1, 0) + 3(0, 1)
T (0, 1, 0) = (1, −2) = 1(1, 0) − 2(0, 1)
T (0, 0, 1) = (−1, 4) = −1(1, 0) + 4(0, 1).
.
Observação 10.5.4 Denota-se por [T ] a matriz de uma transformação
linear T : R m → R n em relação às bases canônicas.
Notação: Tv = T (v)
Exemplo 10.5.5 Seja T : V → V dada por T (v) = v a aplicação identidade.
Sejam β = {v1, . . . , vn} e β ′ = {v ′ 1 , . . . , v′ n} bases de V . Então
[T ] β
β ′ ⎡
⎤
a11 . . . an1
⎢
⎥
= ⎣ . . ⎦ = [I] β
β ′.
a1n . . . ann
Esta é a matriz da aplicação identidade da base β na base β ′ .
Exemplo 10.5.6 Dadas as bases β = {(1, 1), (0, 1)} de R2 e
β ′ = {(0, 3, 0), (−1, 0, 0), (0, 1, 1)} de R3 , encontremos a transformação linear
T : R2 → R3 cuja matriz é [T ] β
β ′ ⎡ ⎤
0 2
= ⎣ −1 0 ⎦. Temos:
−1 3
T (1, 1) = 0(0, 3, 0) − 1(−1, 0, 0) − 1(0, 1, 1) = (1, −1, −1)
T (0, 1) = 2(0, 3, 0) + 0(−1, 0, 0) + 3(0, 1, 1) = (0, 9, 3).
Note que os coeficientes acima são as colunas de [T ] β
β ′.
Devemos encontrar T (x, y). Para isto escrevemos (x, y) em relação à
base β: (x, y) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1).
Aplicando T e usando a linearidade:
T (x, y) = xT (1, 1) + (y − x)T (0, 1) = x(1, −1, −1) + (y − x)(0, 9, 3) =
= (x, 9y − 10x, 3y − 4x).

UNIVATES – Centro Universitário 167
O resultado a seguir dá o significado da matriz de uma TL.
Teorema 10.5.7 Sejam V , W espaços vetoriais, α base de V , β base
de W e T : V → W uma transformação linear. Então, para todo v ∈ V ,
vale:
· [v]α.
[T (v)]β = [T ] α β
prova: Faremos a prova no caso dim V = 2 e dim W = 3. O caso geral
é inteiramente análogo.
Sejam α = {v1, v2} base de V , β = {w1, w2, w3} base de W e
[T ] α β =
⎡ ⎤
⎡ ⎤
a11 a12
y1
x1
⎣ ⎦. Sejam ainda v ∈ V e [v]α = e [T v]β = ⎣ ⎦.
a21 a22
a31 a32
Da matriz [T ] α β
sabemos que
x2
T v1 = a11w1 + a21w2 + a31w3
T v2 = a12w1 + a22w2 + a32w3.
Além disso, v = x1v1 + x2v2 e, como T é linear,
T v = x1T v1+x2T v2 = (a11x1+a12x2)w1+(a21x1+a22x2)w2+(a31x1+a32x2)w3.
Mas, T v = y1w1 + y2w2 + y3w3 e, pela unicidade:
⎡
ou seja, ⎣
y1
y2
y3
⎤
⎡
⎦ = ⎣
a11 a12
a21 a22
a31 a32
y1 = a11x1 + a12x2
y2 = a21x1 + a22x2
y3 = a31x1 + a32x2,
⎤
⎦ ·
x1
x2
. Isto é, [T v]β = [T ] α β · [v]α.
Através deste teorema, o estudo de TL entre espaços vetoriais de dimensão
finita é reduzido ao estudo de matrizes.
Exemplo 10.5.8 Seja a transformação linear T : R2 → R3 dada por
[T ] α β =
⎡ ⎤
1 −1
⎣ 0 1 ⎦, onde α = {(1, 0), (0, 1)} é base de R
−2 3
2 ,
β = {(1, 0, 1), (−2, 0, 1), (0, 1, 0} é base de R3 .
2
Qual é a imagem de v = (2, −3) pela aplicação T ? Ora, [v]α = .
−3
Portanto, [T v]β = [T ] α β · [v]α
⎡ ⎤
⎡ ⎤
1 −1 5
= ⎣ 0 1 ⎦
2
· = ⎣ −3 ⎦, ou seja,
−3
−2 3
−13
T v = 5(1, 0, 1) − 3(−2, 0, 1) − 13(0, 1, 0) = (11, −13, 2).
Teorema 10.5.9 Seja T : V → W uma TL e sejam α e β bases de V e
W , respectivamente. Então
dim Im(T ) = posto de [T ] α β , e
dim ker(T ) = nulidade de [T ] α β = no colunas − posto de [T ] α β .
y2
y3

UNIVATES – Centro Universitário 168
Teorema 10.5.10 Sejam T1: V → W e T2: W → U transformações
lineares e α, β, γ bases de V , W e U, respectivamente. Então a composta de
T1 com T2, T2 ◦ T1: V → U, é linear e
[T2 ◦ T1] α γ = [T2] β γ · [T1] α β .
prova: Basta analisar o que ocorre nas bases.
Exemplo 10.5.11 Consideremos uma expansão do plano R2 dada por
T1(x, y) = 2(x, y), e um cisalhamento dado por T2(x, y) = (x + 2y, y), aplicados
nesta ordem. As matrizes (em relação à base canônica ξ, do R2 ) das
TL são [T1] ξ
ξ =
2 0
e [T2]
0 2
ξ
ξ =
1 2
. Então a matriz (em relação à
0 1
base canônica do R2
)
que representa
a expansão
seguida do cisalhamento é
1 2 2 0 2 4
[T2 ◦ T1] = · = .
0 1 0 2 0 2
Exemplo 10.5.12 Sejam T1, T2 transformações lineares, T1: R2 → R3 ,
T2: R3 → R2 dadas por: [T1] α β =
⎡ ⎤
1 0
⎣ 1 −1 ⎦ e [T2]
0 1
β
0 1 −1
γ =
, em
0 0 0
relação às bases α = {(1, 0), (0, 2)}, β = {( 1
3 , 0, −3), (1, 1, 15), (2, 0, 5)} e
γ = {(2, 0), (1, 1)}.
Qual é a TL composta T2 ◦ T1: R2 → R2 , ou seja, (T2 ◦ T1)(x, y)?
Solução:
Ora, [T2 ◦T1] α γ = [T2] β γ ·[T1] α β =
⎡
0 1 −1
· ⎣
0 0 0
1 0
1 −1
0 1
⎤
⎦ =
1 −2
0 0
Escrevemos agora as coordenadas do vetor (x, y) em relação à base α:
[(x, y)]α =
xy
2
. Assim,
[(T2 ◦ T1)(x, y)]γ = [T2 ◦ T1] α γ · [(x, y)]α =
1 −2
0 0
xy
·
2
=
x − y
0
Portanto, (T2 ◦ T1)(x, y) = (x − y)(2, 0) + 0(1, 1) = (2x − 2y, 0).
Corolário 10.5.13 Se T : V → W é uma TL invertível (T é um isomorfismo)
e α e β são as bases de V e W , então T −1 : W → V é um
operador linear e
[T −1 ] β α = ([T ] α β )−1 .
prova: Ora, [I] α α = [T −1 ◦ T ] α α = [T −1 ] β α · [T ] α β .
Corolário 10.5.14 Sejam T : V → W uma TL e α e β bases de V e
W . Então T é invertível se, e somente se, det[T ] α β = 0.
.
.

UNIVATES – Centro Universitário 169
Exemplo 10.5.15 Seja T : R2 → R2 uma TL dada por [T ] ξ
ξ =
3 4
, onde ξ é a base canônica de R
2 3
2 . Como det[T ] ξ
ξ = 1 = 0, o Corolário
10.5.14 afirma que T é invertível. Pelo Corolário 10.5.13, sabemos
que
[T −1 ] ξ
ξ = ([T ]ξ
ξ )−1
3
=
2
−1
4
3
=
3
−2
−4
. Então
3
[T −1 (x, y)]ξ = [T −1 ] ξ
x
ξ ) ·
y
3
=
−2
−4 x 3x − 4y
· =
, ou
3 y −2x + 3y
ξ
seja, T −1 (x, y) = (3x − 4y, −2x + 3y).
Se T : V → W é uma TL, α, α ′ são bases de V e β, β ′ são bases de W ,
então podemos relacionar as matrizes [T ] α β
e [T ]α′
β ′:
Corolário 10.5.16 [T ] α′
β ′ = [I ◦ T ◦ I] α′
β ′ = [I] β
β ′ · [T ] α β · [I]α′ α .
Caso particular: se T : V → V é uma TL e α e β são bases de V , então
[T ] β
β
chamando [I] α β
= [I ◦ T ◦ I]β
β = [I]α β · [T ]α α · [I] β α. Lembrando que [I] β α = ([I] α β )−1 e
[T ] α α e [T ] β
β
= A, vem que [T ]β
β = A · [T ]α α · A −1 . Dizemos neste caso que
são semelhantes.
Pelo corolário anterior, observamos através de mudanças convenientes
de bases qual a modificação que a matriz de uma TL sofre.
Exemplo 10.5.17 Seja a transformação linear T :R3 → R3 cuja matriz
em relação à base canônica é [T ] ξ
ξ =
⎡
⎤
−2 4 −4
⎣ 1
3
−2
−6
1
5
⎦. Calculemos a matriz
desta TL em relação à base β = {(0, 1, 1), (−1, 0, 1), (1, 1, 1)}.
Ora, [T ] β
β = [I]ξ β · [T ]ξ
ξ · [I]β ξ , onde [I]β ξ =
⎡
⎤
0 −1 1
⎣ 1
1
0 1 ⎦ e
1 1
[I] ξ
β =
⎡
⎤
−1 2 −1
⎣ 0
1
−1
−1
1
1
⎦. Então [T ] β
β =
⎡
−1 0
⎤
0
⎣ 0
0
2
0
2 ⎦.
0
Questão: Dada uma TL, há algum procedimento prático para se calcular
uma base em que a matriz desta TL seja a “mais simples possível”?
Não percam a resposta, nos próximos capítulos!!!
10.6 Aplicações à Óptica
Consideremos aqui o caso de um feixe de luz de raios paralelos (cuja
direção pode, portanto, ser dada por um vetor) que se reflete em espelhos
planos.
Analisemos inicialmente a propagação no R 2 , como o espelho colocado
no eixo horizontal.
Dado um raio de luz incidente na direção do vetor (a, b), perguntamos:
em que direção (c, d) estará o raio refletido?

UNIVATES – Centro Universitário 170
✻
❩ ❩❩❩❩❩⑦✚ ✚ ✚✚✚✚❃
❩ ❩❩❩❩❩⑦
(c, d)
(a, b)
Figura 10.8: Reflexão de um raio de luz em espelho plano horizontal
Recordemos nossas aulas de Física:
O raio de luz incidente, a normal ao espelho no ponto de incidência e
o raio refletido estão no mesmo plano;
O ângulo entre o raio incidente e a normal ao espelho é o mesmo que
o ângulo entre a normal e o raio refletido;
Supondo que o espelho é perfeito, i.e., não há absorção de luz, a luz
se reflete com a mesma intensidade que tinha na incidência.
Neste 1 o caso, as propagações já se dão no mesmo plano. Se o comprimento
do vetor indicar a intensidade da luz, o 3 o item acima indica que
o vetor refletido terá o mesmo tamanho que o incidente. Estes resultados,
junto com o 2 o item acima, implicam
que c = a e d = −b ou, em forma de
c 1 0 a
matriz, =
· . Podemos concluir, portanto, que um
d 0 −1 b
espelho atua sobre os raios luminosos como uma transformação linear E (já
havíamos visto isto anteriormente).
Passemos agora a estudar qual é a matriz associada a um espelho numa
posição formando um ângulo θ com a horizontal.
Podemos fazer este caso cair na situação anterior considerando uma mudança
de base.
Tomamos a base β = {e1, e2} onde e1 = (cos θ, sin θ) está na direção de
x ′ (espelho) e e2 = (cos( π
π
2 + θ), sin( 2 + θ)) = (− sin θ, cos θ) está na direção
normal ao espelho.
Em relação a esta base, [E] β
β =
1 0
. Portanto, em relação à base
0 −1
canônica temos (verifique, calculando [I] β can, [I] can
[E] can
can = [I] β can · [E] β
β · [I]can
β =
c
d
=
✲
cos 2θ sin 2θ
sin 2θ − cos 2θ
cos 2θ sin 2θ
sin 2θ − cos 2θ
β ):
a
·
b
e, portanto,
.

UNIVATES – Centro Universitário 171
incidente
y ′
y
✻
❙♦ (c, d)
espelho
❙
x′
❙ refletido ❇▼
❇
❙
❩
❇
❙
❩❩❩❩❩⑦❩❩❩❩❩❩⑦
❇
❙ ❇
❙ ❇
❙❇
θ
✲
❙
❙
❙
✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚❃ ❙
✚
❙
❙ (a, b)
Figura 10.9: Reflexão de um raio de luz em espelho plano com inclinação
A matriz [E] can
can poderia ser obtida diretamente simplesmente observando
o que a TL (espelho) faz nos vetores da base canônica (raios luminosos na
direção do eixo OX e do eixo OY .
Note que ao colocarmos as componentes dos vetores refletidos em coluna
obteremos a mesma matriz que antes (ver mais detalhes em [4]).
Como podemos tratar o problema em que hajam vários espelhos e, conseqüentemente,
reflexões sucessivas?
Simplesmente pela composição das TL associadas a cada espelho na ordem
em que ocorrem as reflexões.
Exemplo 10.6.1 Considere um feixe de luz se propagando na direção
do vetor (1, −1) e refletindo nos espelhos da figura abaixo.
✻
❅
❅❅❘✡✡ ✡✡✣✟
(1, −1) (c, d)
✟✙
π
6
5π
6
espelho 1
✲
espelho 2
Figura 10.10: Reflexão de um raio de luz em dois espelhos planos
x

UNIVATES – Centro Universitário 172
Em que direção estará o feixe após as reflexões?
Solução
Basta utilizar a matriz obtida acima com θ = π
6 para a 1a reflexão e
θ = 5π
6 para a 2a reflexão. Temos então (verifique!):
c
d
=
−
1
2√
3
2
√
3
− 2
− 1
2
·
1
√2 3
2
√
3
2
1 − 2
1
·
−1
−
=
Concluímos, então, que o feixe estará na direção de
√
1+ 3
2
1− √ 3
2
−1− √ 3
2
.
, 1−√
3
2 .
O mesmo raciocínio poderá ser feito quando estamos com espelhos planos
no espaço.
Se tivermos 3 espelhos colocados 2 a 2 perpendiculares (como no canto
de uma sala e no piso, ou no teto...), qualquer feixe de luz de raios paralelos
que incide sobre o conjunto sairá paralelo à direção de incidência após as
reflexões.
De fato, as matrizes associadas a cada espelho podem ser obtidas observando
o que ele faz com cada um dos vetores da base canônica.
II
✘
✘
✘
✘✾
✑
✑
✑
✑
✑✰
❄✘✘✘ ✘✿ (d, e, f)
(a, b, c)
Figura 10.11: Reflexão de um raio de luz em três espelhos planos no espaço
Obtemos, então:
⎡
−1 0
⎤
0
⎡
M1 = ⎣ 0 1 0 ⎦ , M2 = ⎣
0 0 1
III
1 0 0
0 −1 0
0 0 1
I
⎤
⎡
⎦ e M3 = ⎣
1 0 0
0 1 0
0 0 −1
para os espelhos I, II e III, respectivamente.
Se o feixe de luz incidente está na direção (a, b, c), então a direção do
feixe refletido pelo conjunto será
⎡
⎣
d
e
f
⎤
⎡
⎦ = M3 · M2 · M1 · ⎣
a
b
c
⎤
⎡
⎦ = ⎣
−a
−b
−c
⎤
⎡
⎦ = − ⎣
a
b
c
⎤
⎦ .
⎤
⎦

UNIVATES – Centro Universitário 173
O mesmo resultado será obtido se as reflexões forem em outra ordem
(M2M3M1, M1M2M3, etc.). Concluímos que a direção de saída é paralela e
contrária à de entrada.
A reflexão da luz (ou som) feita em espelhos não planos não é descrita
por TL. Aguarde, nos próximos capítulos, exemplos de espelhos não planos.
C H A E TING ER

Capítulo 11
Desigualdades Lineares
efere-se ao Capítulo 11 de [16], páginas 63 a 70.
C H A E TING ER
174

Capítulo 12
Variedades Lineares,
Conjuntos Convexos e
Programação Linear
12.1 Introdução
m problema de otimização envolve maximizar ou minimizar
uma função restrita a certas condições. Estamos sempre interessados em
minimizar custos, maximizar lucro, rendimento, etc. A programação linear
permite a resolução destes problemas no caso específico em que as
funções a serem analisadas são funções afins e as restrições são dadas por
desigualdades lineares (regiões poliedrais convexas) .
Trabalharemos aqui de uma maneira mais conceitual e geométrica. Para
uma análise mais algorítmica e programável, ver [4].
Os resultados de conjuntos convexos e programação linear começaram a
ser organizados no final do século passado e início deste século, a partir dos
trabalhos de matemáticos como H. Minkowski, A. Haar, H. Weyl. A partir
dos anos 40 houve um rápido desenvolvimento dessa área, principalmente
em relação aos algoritmos para programar e resolver problemas aplicados
com muitas variáveis.
A programação linear difundiu-se muito nos últimos anos, por se tratar
de uma técnica simples e, embora referindo-se a problemas específicos, muitos
problemas do cotidiano podem ser resolvidos segundo esta linguagem.
Costuma-se dizer, também, que a programação linear é um tópico da Pesquisa
Operacional, a qual contém outros subtópicos como a Teoria das Filas,
a Simulação, a Teoria dos Jogos, a Programação Dinâmica, o PERT/COM,
etc. Estudos estatísticos têm mostrado que a programação linear é hoje
uma das técnicas mais utilizadas da Pesquisa Operacional. É comum vermos
aplicações de programação linear fazendo parte de rotinas diárias de
180

UNIVATES – Centro Universitário 181
planejamento das mais variadas empresas, tanto nas que possuem uma sofisticada
equipe de planejamento como nas que simplesmente adquiriram um
“software” para alguma função de planejamento.
Podemos conceituar a programação linear do seguinte modo:
É uma técnica de otimização
É uma ferramenta utilizada para encontrar o lucro máximo ou custo
mínimo em situações nas quais temos diversas alternativas de escolha
sujeitas a algum tipo de restrição ou regulamentação.
12.2 Aplicações
Na prática a programação linear tem sido aplicada em áreas tão diversas
como mostram os exemplos seguintes:
• Alimentação: que alimentos as pessoas (ou animais) devem utilizar,
de modo que o custo seja mínimo e os mesmos possuam os nutrientes
nas quantidades adequadas, e que também atendem a outros requisitos,
tais como variedades entre as refeições, aspecto, gosto, etc.?
• Rotas de Transportes: qual deve ser o roteiro de transporte de
veículos de carga de modo que entreguem toda a carga no menor tempo
e no menor custo total?
• Manufaturas: qual deve ser a composição de produtos a serem fabricados
por uma empresa de modo que se atinja o lucro máximo,
sendo respeitadas as limitações ou exigências do mercado comprador
e a capacidade de produção da fábrica?
• Siderurgia: quais minérios devem ser carregados no alto-forno de
modo a se produzir, ao menor custo, uma liga de aço dentro de determinadas
especializações de elementos químicos?
• Petróleo: qual deve ser a mistura de petróleo a ser enviada para uma
torre de craqueamento para produzir seus derivados (gasolina, óleo,
etc.) a um custo mínimo? Os petróleos são de diversas procedências
e possuem composições diferentes.
• Agricultura: que alimentos devem ser plantados de modo que o lucro
seja máximo e sejam respeitadas as características do solo, do mercado
comprador e dos equipamentos disponíveis?
• Carteira de Investimentos: quais as ações devem compor uma carteira
de investimentos de modo que o lucro seja máximo e sejam respeitadas
as previsões de lucratividade e as restrições governamentais?
• Mineração: em que seqüência deve-se lavrar blocos de minério abaixo
do solo, dados sua composição, posicionamento e custos de extração?
• Localização Industrial: onde devem ser localizadas as fábricas e
os depósitos de um novo empreendimento industrial de modo que os
custos de entrega do produto aos varejistas sejam minimizados?

UNIVATES – Centro Universitário 182
12.3 Tópicos da Programação Linear
Na Programação Linear, tanto a função objetivo como as restrições são
equações/inequações lineares (de primeiro grau) e os resultados para as
variáveis do modelo são valores reais (contínuos). A Programação Linear
pode ser dividida nos seguintes tópicos:
• Programação Contínua: quando os resultados para as variáveis do
modelo são valores reais (contínuos);
• Programação Estruturada: o modelo unitário (uma fábrica, ou um
produto, ou uma unidade de tempo) se replica (multi-fábricas, multiprodutos,
ou multi-períodos);
• Programação Inteira (PI): as variáveis somente admitem soluções
inteiras;
• Programação Inteira Mista (PIM): podemos ter tanto variáveis
de soluções inteiras como contínuas.
Dentre os tópicos acima, a Programação Contínua é a que historicamente
tem sido mais intensamente utilizada. Modelos recentes, todavia, têm explorado
bastante os outros tópicos, o que tem ocasionado um reaquecimento
do uso da Programação Linear nas empresas.
12.4 Metodologia de Resolução
Diante de um problema de Programação Linear, consideramos as seguintes
orientações para resolvê-lo:
1. Estabelecemos a função objetivo, isto é, a função que queremos maximizar
ou minimizar;
2. Transformamos as restrições impostas no problema num sistema de
inequações lineares;
3. Traçamos o gráfico do polígono convexo correspondente a essas restrições,
determinando as coordenadas dos vértices;
4. Calculamos os valores da função objetivo em cada um dos vértices;
5. O maior desses valores é o máximo e o menor é o mínimo da função
objetivo;
6. Voltamos ao problema e damos a sua solução.
12.5 Conjuntos Convexos
As noções abordadas a seguir caracterizam regiões convexas especiais. O
conceito de variedade linear de um espaço vetorial é algo que abrange seus
subespaços e as translações destes.

UNIVATES – Centro Universitário 183
Definição 12.5.1 Um subconjunto A de um e.v. V é uma variedade
linear de V se existe um subespaço W de V e um vetor v0 de V, tal que:
Notação: A = v0 + W
A = {v ∈ V; v = v0 + w para w ∈ W}.
Observação 12.5.2 Se v0 = 0, então A não é um subespaço.
Definição 12.5.3 Definimos dimensão de A, e denotamos dimA, a
dimensão de W.
12.5.1 Exemplos
Exemplo 12.5.4 Uma reta (passando pela origem ou não) é uma variedade
linear de dimensão 1 no R 2 .
W
A
✻
v0
w ∈ W
✒
✲
v ∈ A
Figura 12.1: Variedade linear
Exemplo 12.5.5 Um ponto do plano é uma variedade linear de dimensão
zero.
Exemplo 12.5.6 Todo subespaço é, em particular, uma variedade linear
(v0 = 0).
Exemplo 12.5.7 Se um sistema de equações lineares é possível, seu
conjunto-solução é uma variedade linear de dimensão igual ao grau de liberdade
do sistema (verifique!).
Vamos agora apresentar um problema que nos guiará nos itens a seguir.
Exemplo 12.5.8 Suponhamos que um agricultor queira adubar a sua
plantação e disponha de dois tipos de adubo. O primeiro contém 3g de fósforo
(P), 1g de nitrogênio (N) e 8g de potássio (K), e custa $10, 00u.m./kg. O
segundo tipo contém 2g de fósforo, 3g de nitrogênio e 2g de potássio, e
custa $8, 00u.m./kg. Sabemos que 1 quilograma de adubo dá para 10m 2 de
terra, e que o solo em que estão suas plantações necessita de pelo menos
3g de fósforo, 1, 5g de nitrogênio e 4g de potássio a cada 10m 2 . Quanto o
agricultor deve comprar de cada adubo, para cada 10m 2 de terra, de modo
a conseguir ter o mínimo custo?
✲

UNIVATES – Centro Universitário 184
Resolução
Tipo A Tipo B Necessidades mínimas
(x) (y) de adubo
P 3 2 3
N 1 3 1, 5
K 8 2 4
Custo Custo
10u.m. 8u.m.
Tabela 12.1: Quantidades de nutrientes por tipo de adubo
Sejam x e y as quantidades de kg de adubo dos tipos A e B, respectivamente.
Obviamente, x e y não podem assumir qualquer valor, uma vez que
devemos ter x ≥ 0 e y ≥ 0. Ademais, x kg do tipo A fornece 3x g de P ,
enquanto que y kg do tipo B fornece 2y g de P . Então, se usarmos x kg
de A e y kg de B, estaremos adicionando 3x + 2y gramas e, pela exigência
mínima do solo, devemos ter 3x + 2y ≥ 3.
Analogamente, para o nitrogênio e o potássio deveremos ter x + 3y ≥ 1, 5 e
8x + 2y ≥ 4. Então os valores de x e y devem satisfazer simultaneamente:
x ≥ 0, y ≥ 0, 3x + 2y ≥ 3, x + 3y ≥ 1, 5, 8x + 2y ≥ 4.
Façamos o gráfico das quantidades x (como abscissa) e y (como ordenada):
P1
P2
✻
✇
②
✇ ①
P3
P4
Figura 12.2: Quantidades de adubo em função dos nutrientes
✲

UNIVATES – Centro Universitário 185
1 6 6 3 3
(Obtemos P1(0, 2), P2 5 , 5 , P3 7 , 14 , P4 2 , 0 .) Isto é, para que os
valores de x e y satisfaçam simultaneamente todas as desigualdades, o ponto
(x, y) deve estar na região hachurada da figura 12.5.1.
Além disso, queremos que o custo dado pela função
f(x, y) = 10x + 8y
seja mínimo, isto é, estamos procurando na região hachurada qual é o ponto
(x, y) no qual f(x, y) tem o menor valor. Temos C = 10x + 8y, ou seja,
y = − 5 C
4x − 8 . Isto dá uma família de retas. Traçamos então retas paralelas
e vemos qual a que intersecciona algum vértice ideal. O ponto ideal é P3.
Substituímos em f e calculamos C = 144
14 .
Para resolver isto, precisamos estudar um pouco mais as propriedades
de conjuntos como a região hachurada acima, e das funções do tipo f(x, y).
Neste nível, vamos apenas testar os vértices na função objetivo para
verificar qual é o ideal.
Definição 12.5.9 Sejam A e B dois pontos do R n . O segmento de
extremos A e B é o conjunto AB de pontos R n , dado por:
AB = {(1 − t)A + tB; 0 ≤ t ≤ 1}.
Para t = 0 corresponde o ponto A;
Para t = 1 corresponde o ponto B;
Observação 12.5.10 Em relação à definição 12.5.9, temos:
Para qualquer ponto P do segmento AB, existe t1 ∈ R tal que
0 ≤ t1 ≤ 1 e P = (1 − t1)A + t1B.
Exemplo 12.5.11 Sejam A = (1, 2) e B = (3, −1) em R2 . Dado o
ponto P = ( 7
3 , 0) sobre o segmento, podemos escrever
( 7
3
, 0) = (1 − 2
3
2
)(1, 2) + (3, −1),
3
ou seja, ∃t = 2
3 tal que 0 ≤ t ≤ 1, de modo que P = (1−t)A+tB. Por outro
lado, se tomarmos t1, tal que 0 ≤ t1 ≤ 1, por exemplo t1 = 1
2 , e fizermos
P1 = (1 − t1)A + t1B = (2, −1),
verificamos (faça isto!) facilmente que P1 está sobre o segmento AB.
Definição 12.5.12 Um subconjunto S do R n é chamado convexo se
para quaisquer dois pontos A e B de S o segmento AB está inteiramente
contido em S.
A figura seguinte exemplifica um caso particular de conjunto convexo e
de conjunto não convexo.

UNIVATES – Centro Universitário 186
✻
✻
⑦
é convexo
✲
não é convexo
✲
Figura 12.3: Conjuntos convexos e não convexos
Teorema 12.5.13 A intersecção de conjuntos convexos é um conjunto
convexo.
prova: Sejam S1 e S2 dois conjuntos convexos. Precisamos mostrar que
se A e B são dois pontos quaisquer de S1 ∩ S2, então AB ⊂ S1 ∩ S2. Mas,
se A, B ∈ S1 ∩ S2, então A, B ∈ S1 e como S1 é convexo, AB ⊂ S1. Analogamente,
mostra-se que AB ⊂ S2. Como AB está contido simultaneamente
em S1 e em S2, segue que AB ⊂ S1 ∩ S2. Portanto S1 ∩ S2 é convexo.
Definição 12.5.14 Uma região poliedral convexa fechada em Rn é uma intersecção de uma quantidade finita de semi-espaços fechados 1 do
Rn .
Observação 12.5.15 Toda região poliedral convexa é um conjunto convexo.
Definição 12.5.16 Um conjunto A ⊂ R n é dito limitado se existirem
constantes ki, i = 1, . . . , n tais que, se (x1, . . . , xn) ∈ A então xi ≤ ki,
i = 1, . . . , n.
1 Não entraremos em detalhes sobre semi-espaços fechados, nem tampouco hiperplanos.
Apenas vale lembrar um resultado que diz que um semi-espaço fechado é convexo. O aluno
interessado pode pesquisar em [4] ou [13].

UNIVATES – Centro Universitário 187
✻
✻
é limitada
✲
✲
é não limitada
Figura 12.4: Conjuntos limitados e não limitados
Observação 12.5.17
Numa região poliedral convexa, procuramos pontos especiais – os
vértices. Na região poliedral convexa do exemplo 12.5.8, eles são
os pontos (verifique na figura 12.5.1!)
P1 = (0, 2), P2 = ( 1 6
,
5 5 ), P3 = ( 6 3
,
7 14 ), e P4 = ( 3
, 0).
2
Note que estes pontos são dados por intersecção de duas retas que
definem os semi-espaços. Assim, o ponto P2 é dado pela solução do
sistema
3x + 2y − 3 = 0
Note, porém, que o ponto (0, 3
2
não pertence à região hachurada.
Este comentário nos leva a:
8x + 2y − 4 = 0.
) que é solução do sistema
3x + 2y − 3 = 0
x = 0
Definição 12.5.18 Dada uma região poliedral convexa fechada do R n
(determinada por um sistema de inequações lineares), os vértices dessa
região são os pontos da região que satisfazem um dos possíveis sistemas de
n equações lineares independentes, obtidas substituindo-se as desigualdades
por igualdades.
Observação 12.5.19 Depois de resolver um sistema, a fim de verificar
se o ponto está na região, testamos para ver se ele satisfaz todas as
desigualdades.

UNIVATES – Centro Universitário 188
12.5.2 Caracterização Geométrica dos Vértices
Os vértices definidos “algebricamente”em 12.5.18 são os pontos extremos
da região poliedral convexa. Isto significa que eles são os pontos da
região que não estão contidos no “interior”de nenhum segmento contido na
região. Formalmente:
Proposição 12.5.20 P é vértice de uma região poliedral convexa R se,
e somente se, P está num segmento AB ⊂ R então P = A ou P = B.
prova: exercício (ver [4]).
Exemplo 12.5.21 A região hachurada do exemplo 12.5.8 é descrita pe-
las desigualdades ⎧⎪ ⎨
⎪⎩
x ≥ 0
y ≥ 0
3x + 2y ≥ 3
x + 3y ≥ 1, 5
8x + 2y ≥ 4.
Ao substituirmos por igualdades a tomarmos os sistemas de duas
equações (por serem duas variáveis), obtemos 10 = C5,2 = 5!
2!3! sistemas.
Dentre estes, determinaremos os vértices, verificando quais satisfazem os
sistemas de inequações que definem a região. Neste caso, teremos apenas os
pontos P1, P2, P3 e P4 nestas condições (Verifique!).
Exemplo 12.5.22 Consideremos a região poliedral convexa fechada de
R 3 , dada pelo sistema de inequações lineares:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x + y + z ≤ 3
y − z ≤ 2
x − 2y ≤ 1
x ≥ 0.
Então os possíveis vértices são dados pelos sistemas de três equações (por
serem
⎧
três variáveis)
⎨ x + y + z = 3
⎩
y − z
x − 2y
=
=
2
1
⇒ (3, 1, −1) (está na região, pois satisfaz todas
as inequações
⎧
)
⎨ y − z = 2
x − 2y = 1
⎩
x = 0
⇒ (0, −1
⎧
⎨ x + y + z = 3
−5
2 , 2 ) (está na região)
y − z
⎩
x
=
=
2
0
⇒ (0, 5
⎧
⎨ x + y + z = 3
1
2 , 2 ) (está na região)
⎩
x − 2y
x
=
=
1
0
⇒ (0, −1 7
2 , 2 ) (está na região).
Agora, em momentos de solidão, faça o desenho da região.

UNIVATES – Centro Universitário 189
12.6 Introdução à Programação Linear
A programação linear (PL) trata do problema específico de: maximizar
ou minimizar uma função do tipo
f(x1, . . . , xn) = a1x1 + . . . + anxn + b,
restrita a um subconjunto A poliedral convexo de R n .
Observação 12.6.1 Note que f : R n −→ R é uma transformação
afim, isto é, f(x) = L(x) + b onde L é uma transformação linear , b ∈ R.
Para maiores detalhes, ver [9] ou [13].
Definição 12.6.2 Na linguagem de programação linear (PL), a função
f da observação 12.6.1 é chamada função objetivo (f.o.) e A é denominada
região factível.
Exemplo 12.6.3 No exemplo 12.5.8, a f.o. é dada por
f(x, y) = 10x + 8y e a região factível é a região hachurada A descrita
por ∇f = = (10, 8):
∂f ∂f
∂x , ∂y
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x ≥ 0
y ≥ 0
3x + 2y ≥ 3
x + 3y ≥ 1, 5
8x + 2y ≥ 4.
Nosso problema é minimizar f restrita a A.
12.6.1 Tópicos sobre Produto Interno
Apresentaremos aqui apenas alguns conceitos básicos sobre produto
interno, fundamentais para a compreensão da próxima subsecção. Um
estudo aprofundado pode ser feito através de [9] ou [13].
Definição 12.6.4 Seja V um espaço vetorial real. Um produto interno
sobre V é uma função que a cada par de vetores, v1 e v2, associa um
número real, denotado < v1, v2 >, satisfazendo as propriedades:
1. < v, v > ≥ 0 para todo vetor v, e
< v, v > = 0 se, e somente se, v = 0;
2. < αv1, v2 > = α < v1, v2 > para todo real α;
3. < v1 + v2, v3 > = < v1, v3 > + < v2, v3 >;
4. < v1, v2 > = < v2, v1 >.
Exemplo 12.6.5 O produto escalar usual de vetores de R 3 . Para
v = (x1, x2, x3) e w = (y1, y2, y3):
< v, w >= x1y1 + x2y2 + . . . + x3y3.
De modo análogo, pode-se definir o produto interno usual para o R n .

UNIVATES – Centro Universitário 190
O produto interno é usado para caracterizar a noção de perpendicularismo
ou ortogonalidade de vetores.
Definição 12.6.6 Seja V um e.v. com produto interno . Diz-se que
dois vetores v e w ∈ V são ortogonais (em relação a este produto interno)
se < v, w >= 0. Neste caso, escrevemos v ⊥ w.
Propriedade 12.6.7
1. 0 ⊥ v para todo v ∈ V;
2. v ⊥ w ⇒ w ⊥ v;
3. Se v ⊥ w para todo w ∈ V, então v = 0;
4. Se v1 ⊥ w e v2 ⊥ w, então v1 + v2 ⊥ w;
5. Se v ⊥ w e λ é um escalar, λv ⊥ w.
prova: ver [4].
12.6.2 Método Geométrico
Voltemos ao exemplo 12.5.8. O procedimento que utilizaremos é chamado
método geométrico de resolução em PL.
Vamos reescrever a f.o. acima, utilizando o produto interno usual do R 2 .
f(x, y) =< (10, 8), (x, y) >, c = (10, 8) é denominado vetor gradiente
e x = (x, y).
Observação 12.6.8 f é constante nas retas perpendiculares ao vetor
c = (10, 8).
De fato: uma reta perpendicular a c pode ser escrita na forma paramétrica
2 do seguinte modo:
(x, y) = (x ⋆ , y ⋆ ) + λ(−8, 10),
ou seja, x = x ⋆ + λc ⊥ , onde x ⋆ = (x ⋆ , y ⋆ ) é o vetor deslocamento que podemos
tomar na direção de c. Portanto,
neste caso, cos α = 1.
f(x, y) = < c, x > =
= < c, x ⋆ + λc ⊥ > =
= < c, x ⋆ > =
= c · x ⋆ cos α e,
Observação 12.6.9 Da observação 12.6.8 pode-se notar que f será tão
menor quanto menor for o deslocamento x ⋆ , ou seja, f(x, y) assume seu
mínimo no ponto (ou pontos) da região factível que estiver na reta per-
pendicular a c, mais próximo da origem. No nosso exemplo, o ponto é
( 6
7
, 3
14 ) = P3 que é um vértice da região factível.
2 Para maiores detalhes sobre parametrização de retas, ver [11].

UNIVATES – Centro Universitário 191
Exemplo 12.6.10 Uma fábrica produz dois tipos de geradores, tipo A e
tipo B, e cada um deles deve passar por duas máquinas, C e D. Para fazer
um gerador do tipo A, a máquina C deve trabalhar 2 horas e a máquina D
deve trabalhar 4 horas. Para fazer uma unidade do tipo B, as máquinas C e
D devem trabalhar respectivamente, 4 e 2 horas. As máquinas podem trabalhar
24 horas por dia. Sabe-se que a fábrica tem um lucro de $3000, 00u.m.
por um gerador do tipo A e um lucro de $5000, 00u.m. por um do tipo B.
Além disso, ela vende toda a sua produção. Sendo assim, perguntamos:
quantos geradores de cada tipo a fábrica deve produzir, para que seu lucro
seja máximo?
Resolução
Chamemos x a quantidade do tipo A e y do tipo B. Se são fabricados x
geradores do tipo A, o tempo gasto pela máquina C é 2x, e se são fabricados
y geradores do tipo B, o tempo gasto pela máquina C é 4y, ou seja, o tempo
total usado pela máquina C é 2x + 4y, que deve ser menor que 24 horas.
Analogamente, temos uma restrição para a máquina D. Então:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
que nos fornece a figura abaixo.
✻
4x + 2y = 24
(4, 4)
x ≥ 0
y ≥ 0
2x + 4y ≤ 24
4x + 2y ≤ 24
2x + 4y = 24
Figura 12.5: Região factível
Os vértices são (0, 0), (6, 0), (4, 4) e (0, 6). A função que queremos maximizar
é a função lucro:
f(x, y) = 3000x + 5000y.
Use o método geométrico descrito no exemplo anterior para determinar o
máximo de f, observando que, para obter o máximo, você deve “caminhar”
✲

UNIVATES – Centro Universitário 192
na região por retas perpendiculares ao vetor gradiente da f.o. e no mesmo
sentido dele.
Tipos de Solução
Baseado no método geométrico, já é possível intuir vários tipos de
solução de problemas de programação linear de duas variáveis.
Vamos considerar todos os tipos possíveis de regiões poliedrais convexas
no R2 e pesquisar os máximos e mínimos de uma função
f(x,
y) = ax + by + c.
Regiões ilimitadas sem vértices (tipo 1);
Regiões ilimitadas com vértices (tipo 2);
Região limitada (portanto, com pelo menos três vértices) (tipo 3);
Casos degenerados (reta, semi-reta, segmento, ponto) (tipo 4).
B
✻
R1
✲
✻
✻ ✻
✻
R3
R5
R2
✲
R4
✲
A
✲
C
A ✲
Figura 12.6: Classificação de regiões factíveis
Podemos observar que a função f definida acima pode:
Assumir mínimo em toda reta e não assumir máximo (R1), ou não
assumir máximo nem mínimo (R2) em regiões do tipo 1;
Não assumir nem máximo nem mínimo (R3), ou assumir mínimo nos
vértices A e B, portanto assumir mínimo em todo o segmento AB e
não assumir máximo (R4), em regiões do tipo 2;
B

UNIVATES – Centro Universitário 193
Assumir mínimo no vértice A e máximo no vértice C, em regiões do
tipo 3 (R5);
Não assumir nem máximo nem mínimo (reta), assumir máximo no
vértice e não assumir mínimo (semi-reta), assumi mínimo num vértice
e máximo no outro (segmento), ou ter o valor máximo igual ao valor
mínimo e igual a f(A) (ponto), em regiões do tipo 4.
Resolução de Problemas para n-Variáveis
Na prática, é difícil trabalhar com o procedimento geométrico para quatro
ou mais variáveis. Mas esta noção de procurar máximo e mínimos da
função objetivo por uma varredura de hiperplanos perpendiculares ao gradiente
nos permite intuit dois fatos cruciais na programação linear.
Observação 12.6.11
A função objetivo assume necessariamente um valor máximo e um
valor mínimo quando a região convexa (factível) for limitada;
Os vértices desempenham um papel fundamental na procura de
máximos e mínimos para a função objetivo.
12.6.3 Teorema Fundamental da PL
Lema 12.6.12 Sejam f(x1, . . . , xn) = a1x1 + . . . + anxn + b e P um
ponto interior a um segmento AB do R n , isto é, P = λA + (1 − λ)B,
0 < λ < 1. Então teremos f(A) ≤ f(P ) ≤ f(B) ou f(B) ≤ f(P ) ≤ f(A).
prova: ver [4], pág. 368.
Observação 12.6.13 O lema 12.6.12 nos diz que os valores extremos
de uma função afim são assumidos nos pontos extremos dos segmentos.
Lema 12.6.14 Seja f(x1, . . . , xn) = a1x1 + . . . + anxn + b. Se dentre
os valores que f assumir num segmento AB do R n , o valor máximo
(mínimo) for assumido num ponto P do interior deste segmento, então f
será constante em AB.
prova: exercício.
Teorema 12.6.15 (Teorema Fundamental da Programação Linear)
Seja f(x1, . . . , xn) = a1x1 + . . . + anxn + b definida numa região poliedral
convexa A do R n . Suponha que f assuma um valor máximo (mínimo)
nesta região. Então, se A possui vértice(s), este valor máximo (mínimo)
será assumido num vértice.
prova: ver [4], páginas 369, 370.
Observação 12.6.16 O teorema 12.6.15 permite, nos casos em que,
pela natureza da funccão, já sabemos que ela assume máximo (mínimo)
encontrá-lo apenas determinando seus valores nos vértices da região poliedral
convexa.

UNIVATES – Centro Universitário 194
Regiões Limitadas
Quando a região A for limitada, teremos necessariamente máximo e
mínimo, para qualquer função objetivo. Para mostrar este fato, recorremos
á solução geométrica dos problemas de PL. Note que, ao varrermos o
R n por hiperplanos perpendiculares ao vetor gradiente da f.o., sempre tocaremos
a região A uma primeira e uma última vez. Ademais, uma região
poliedral convexa limitada claramente possui vértices (por quê?). Isto nos
permite reescrever o teorema fundamental da PL para este caso:
Teorema 12.6.17 Seja f(x1, . . . , xn) = a1x1 + . . . + anxn + b definida
numa região poliedral convexa limitada A. Então f assume seus valores
máximo e mínimo nos vértices de A.
12.6.4 Conclusão
Tanto a determinação de vértices (resolução de sistema lineares) quanto
o cálculo da f.o. nestes são possíveis através de algoritmos e de programação
para calculadoras, microcomputadores e computadores. O mais conhecido
é o método simplex. O aluno interessado pode pesquisar mais sobre este
método em [4] ou [20]. É possível que estes assuntos sejam novamente abordados
num curso de Cálculo Numérico. Até la ´ !
12.7 Exercícios de Fixação e Problemas de
Aplicação
Exercício 12.7.1 (Um problema de dieta) Para manter a sua
saúde, uma pessoa necessita preencher certos requisitos mínimos de consumo
diário de diversos tipos de nutrientes. Suponhamos, por simplicidade,
que apenas três tipos de nutrientes sejam necessários: cálcio, proteína e calorias.
Além disso, suponhamos também que a dieta da pessoa em questão
consista em apenas dois alimentos, I e II, cujos preços e conteúdos nutritivos
são mostrados na tabela abaixo, onde também listamos o requisito
mínimo diário de cada nutriente.
Alimento I (por Kg) Alimento II (por Kg) Requisito mínimo
Preço R$0, 60 R$1, 00 diário
Cálcio 10 4 20
Proteína 5 5 20
Calorias 2 6 12
Qual a combinação dos dois alimentos que satisfaz o requisito diário e
gera o custo mínimo?
Exercício 12.7.2 (Problema de produção) Uma firma produz duas
linhas de produtos, I e II, com uma planta que contém três departamentos
de produção: corte, mistura e embalagem.

UNIVATES – Centro Universitário 195
O equipamento em cada departamento pode ser operado 8 horas por dia;
portanto, podemos considerar as 8 horas como a capacidade diária de cada
departamento.
O processo de produção pode ser resumido da seguinte maneira: O produto
I é primeiro cortado, e então embalado. Cada tonelada desse produto
consome 1
1
2 hora da capacidade de corte e 3 de hora da capacidade de embalagem.
O produto II é primeiro misturado e, então, embalado. Cada tonelada
deste produto consome 1 hora da capacidade de mistura e 2
3
de hora da
capacidade de embalagem. Os produtos I e II são vendidos aos preços de
R$80, 00 e R$60, 00 por tonelada, respectivamente. Mas, deduzindo os custos
variáveis, eles geram R$40, 00 e R$30, 00 líquidos por tonelada. Estes
últimos valores podem ser considerados como receitas líquidas (deduzidos os
custos variáveis) ou lucros brutos (incluídos os custos fixos). Para simplificar,
referir-nos-emos a eles como “lucros por tonelada”.
Que combinação de níveis de produção a firma deve escolher para maximizar
o lucro total?
Exercício 12.7.3 Dois produtos P e Q contêm as vitaminas A, B e C
em quantidades indicadas na tabela. A última coluna indica a quantidade
mínima necessária de cada vitamina para uma alimentação sadia, e a última
fila indica o preço de cada produto por unidade.
P Q –
A 3 1 12
B 3 4 30
C 2 7 28
3 2 –
Que quantidade de cada produto deve conter uma dieta para que proporcione
uma alimentação sadia com o mínimo de custo?
Exercício 12.7.4 Um comerciante vende dois tipos de artigos, A e B.
Na venda do artigo A tem um lucro de 20 u.m por unidade e na venda do
artigo B, um lucro de 30 u.m.. Em seu depósito só cabem 100 artigos e
sabe-se que por compromissos já assumidos venderá pelo menos 15 artigos
do tipo A e 25 do tipo B. O distribuidor pode entregar ao comerciante, no
máximo, 60 artigos A e 50 artigos B.
Quantos artigos de cada tipo deverá o comerciante encomendar ao distribuidor
para que, supondo que os venda todos, obtenha o lucro máximo?
Exercício 12.7.5 (Problema de transporte) Uma firma comercial
tem 40 unidades de mercadoria no depósito I e 50 unidades no depósito
II. Deve enviar 30 unidades ao cliente A e 40 ao cliente B. Os gastos de
transporte, por unidade de mercadoria, estão indicados no esquema a seguir.

UNIVATES – Centro Universitário 196
I
II
40
50
✬✩
10
✲
❩ 30 A
❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩⑦
✫✪
14
12
✬✩
✚ ✲ 40 B
✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚❃
15
✫✪
De que maneira deve enviar estas mercadorias para que o gasto com o
transporte seja mínimo?
Exercício 12.7.6 Uma companhia dispõe de um máximo de
2400, 00 u.m. para fazer propaganda de seus produtos através da televisão
ou de um jornal diário. Cada hora da televisão custa 400, 00 u.m. e
cada página do jornal custa 300, 00 u.m.. A audição de televisão alcança
120000 pessoas e a página do jornal é lida por 80000 pessoas. Os diretores
da companhia exigem que se utilizem pelo menos 2 horas de televisão e 1
página do jornal.
Como deve distribuir a companhia o resto do dinheiro dedicado à propaganda
para atingir o número máximo de pessoas?
Exercício 12.7.7 Uma fábrica manufatura dois produtos, cada um requerendo
o uso de 3 máquinas. A primeira máquina pode ser usada no
máximo 70 horas; a segunda máquina, no máximo 40 horas; e a terceira
máquina, no máximo 90 horas. O primeiro produto requer 2 horas na
máquina I, 1 hora na máquina II e 1 hora na máquina III. O segundo produto
requer 1 hora em cada uma das máquinas I e II e 3 horas na máquina
III. Se o lucro é de 40, 00 u.m. para o primeiro produto e 60, 00 u.m. para
o segundo produto, quantas unidades de cada produto deveriam ser manufaturadas
para tornar o lucro máximo?
Exercício 12.7.8 Suponhamos que uma pessoa necessite, no mínimo,
de 60 unidades de carboidratos, 40 unidades de proteína e 35 unidades de
gordura por mês. O alimento A contém 5, 3 e 5 unidades de carboidratos,
proteínas e gordura, respectivamente, por quilo. O alimento B contém 2, 2
e 1 unidade de carboidratos, proteínas e gordura, respectivamente, por quilo.
Se A custa 1, 50 u.m. por quilo e B custa 0, 70 u.m. por quilo, quantos quilos
de cada alimento deveriam ser comprados por mês para minimizar o custo,
atendendo às necessidades mínimas?

UNIVATES – Centro Universitário 197
Exercício 12.7.9 Uma fábrica de computadores produz dois modelos de
computador: A e B. O modelo A fornece um lucro de R$180, 00 e B de
R$300, 00. O modelo A requer, na sua produção, um gabinete pequeno e
uma unidade de disco. O modelo B, requer um gabinete grande e duas
unidades de disco. Existem no estoque 60 unidades do gabinete pequeno, 50
do gabinete grande e 120 unidades de disco. Qual deve ser a produção que
maximiza o lucro?
Exercício 12.7.10 Um fazendeiro está estudando a divisão de sua propriedade
nas seguintes atividades produtivas:
A (Arrendamento) - destinar certa quantidade de alqueires para a
plantação de cana-de-açúcar a uma usina local que se encarrega da atividade,
e paga pelo aluguel da terra R$300, 00 por alqueire por ano;
P (Pecuária) - usar outra parte para a criação de gado de corte. A recuperação
das pastagens requer adubação (100 Kg por alqueire) e irrigação
(100.000 litros de água por alqueire) por ano. O lucro estimado nessa atividade
é de R$400, 00 por alqueire por ano;
S (Plantio de soja) - usar uma terceira parte para o plantio de soja.
Essa cultura requer 200 Kg por alqueire de adubos e 200.000 litros de água
por alqueire para irrigação por ano. O lucro estimado nesta atividade é de
R$500, 00 por alqueire no ano.
Disponibilidade de recursos por ano: 12.750.000 litros de água,
14.000 Kg de adubo e 100 alqueires de terra. Quantos alqueires deverá
destinar a cada atividade para proporcionar o melhor retorno?
Exercício 12.7.11 Uma refinaria de petróleo deseja encontrar a maneira
ótima de cumprir um contrato de fornecimento de gasolina de aviação
e gasolina comum. Segundo este contrato, deve-se fornecer diariamente um
mínimo de 1000 barris de gasolina de aviação e 2000 barris de gasolina comum.
A unidade que se responsabilizará pela entrega tem uma capacidade
máxima de produção de 10000 barris por dia, indistintamente. As gasolinas
devem ser transportadas até seus depósitos, cujas distâncias da unidade são
10 km e 30 km, respectivamente. A capacidade máxima de transporte da
refinaria é de 186.000 barris por quilômetro. Sabendo-se que a gasolina de
aviação dá um lucro de R$1, 00 e a comum R$2, 00, pede-se o esquema de
produção que maximiza o lucro da refinaria com relação ao citado contrato.
Exercício 12.7.12 Um sapateiro faz 6 sapatos por hora (se fizer somente
sapatos), e 5 cintos por hora (se fizer somente cintos). Ele gasta 2
unidades de couro para fabricar uma unidade de sapato e uma unidade de
couro para fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponível
de couro é de 6 unidades e que o lucro unitário por sapato é de 5 u.m. e o do
cinto é de 2 u.m., pede-se: o modelo do sistema de produção do sapateiro,
se o objetivo é maximizar seu lucro por hora.
Exercício 12.7.13 Certa empresa fabrica 2 produtos A e B. O lucro
por unidade de A é de 100 u.m. e o lucro unitário de B é de 150 u.m..
A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de A e 3 horas
para fabricar uma unidade de B. O tempo mensal disponível para essas

UNIVATES – Centro Universitário 198
atividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os dois produtos
levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos por A e B não
devem ultrapassar 40 unidades de A e 30 unidades de B por mês. Construa
o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o
lucro da empresa.
Exercício 12.7.14 Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas
de frutas para a sua região de vendas. Ele necessita transportar 200 caixas
de laranjas a 20 u.m. de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de pêssegos a
10 u.m. de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerinas a 30 u.m.
de lucro por caixa. De que forma deverá ele carregar o caminhão para obter
o lucro máximo?
Exercício 12.7.15 Uma rede de televisão local tem o seguinte problema:
foi descoberto que o programa A com 20 minutos de música e 1 minuto de
propaganda chama a atenção de 30000 telespestadores, enquanto o programa
B, com 10 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de
10000 telespectadores. No decorrer de uma semana, o patrocinador insiste
no uso de, no mínimo, 5 minutos para sua propaganda e que não há verba
para mais de 80 minutos de música.
Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para
atingir o número máximo de telespectadores?
Exercício 12.7.16 Uma empresa fabrica 2 modelos de cintos de couro.
O modelo I, de melhor qualidade, requer o dobro do tempo de fabricação em
relação ao modelo II. Se todos os cintos fossem do modelo II, a empresa
poderia produzir 1.000 unidades por dia. A disponibilidade de couro permite
fabricar 800 cintos de ambos os modelos por dia. Os cintos empregam fivelas
diferentes, cuja disponibilidade diária é de 400 para o modelo I e 700 para
o modelo II. Os lucros unitários são de R$4, 00 para o modelo I e R$3, 00
para o II.
Qual o programa ótimo de produção que maximiza o lucro total diário
da empresa?
Exercício 12.7.17 Um fabricante de jóias fabrica apenas brincos e colares.
Ele tem um lucro de R$45, 00 em cada brinco e R$80, 00 em cada colar
vendido. Supõe-se que devido à forte demanda destes itens consiga-se vender
toda a produção da fábrica. Mas, a produção da firma é limitada por dois
aspectos: em cada brinco utiliza-se 5 unidades de ouro. Da mesma forma,
cada colar produzido utiliza 20 unidades de ouro. Dispomos um total de 400
unidades de ouro. Cada brinco produzido gasta 10 homens-hora e cada colar
gasta 15 homens-hora. Dispomos de um total de 450 homens-hora. O objetivo
do fabricante é descobrir qual a quantidade ótima de brincos e colares
a serem fabricados, de tal modo que o lucro total seja o maior possível.

UNIVATES – Centro Universitário 199
12.8 Respostas dos Principais Exercícios do
Capítulo
12.7.1 (3, 1): C = 0, 6x + 1y, 10x + 4y ≥ 20, 5x + 5y ≥ 20, 2x + 6y ≥ 12;
(3, 1) = 2, 80
fomin
12.7.2 (16, 4): são C5,2 = 10 sistemas com 2 equações cada. Temos
C M E
I 1/2 0 1/3
II 0 1 2/3
II ≤ 8 (mistura), 1
, I ≥ 0, II ≥ 0, 1
3
2 I + 3II ≤ 8 (embalagem),
2I ≤ 8 (corte), L(I, II) = 40I + 30II. Apenas 5
pontos estão na região
12.7.3 (2, 6): C(P, Q) = 3P + 2Q. Apenas 4 pontos estão na região,
C(2, 6) = 18
12.7.4 (50, 50): x unidades de A, y unidades de B, L(x, y) = 20x + 30y,
x + y ≤ 100, x ≤ 60, y ≤ 50, x ≥ 15, y ≥ 25. Apenas 5 pontos estão
na região
12.7.5 O gasto mínimo se obterá enviando 30 unidades de mercadoria de I
a A, 10 de I a B, 30 de II a B e nenhuma de II a A. De fato, por I:
x + y ≤ 40, por II: z + w ≤ 50, por A: x + z = 30 donde z = 30 − x,
por B: y +w = 40 donde w = 40−y. Então simplificando: x+y ≤ 40,
(30 − x) + (40 − y) ≤ 50 (i.e., x + y ≥ 20), x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, w ≥ 0.
O gasto é G(x, y, z, w) = 10x + 14y + 12z + 15w ou, simplificando,
12.7.6
G(x, y) = 960 − 2x − y. Há somente 5 pontos na região
21
4 , 1 : T ≥ 2, J ≥ 1, 400T + 300J ≤ 2400, N = 12000T + 8000J
12.7.7 (15, 25): L = 40A + 60B,
12.7.8 (10, 5): C = 1, 5x + 0, 70y,
12.7.9 L(60, 30) = 19800: L = 180A + 300B
produto A B
M1 2 1 ≤ 70
M2 1 1 ≤ 40
M3 1 3 ≤ 90
A B
carboidratos 5 2 ≥ 60
proteínas 3 2 ≥ 40
gorduras 5 1 ≥ 35
12.7.10 LT = 300x+400y +500z, y +2z ≤ 140, 10y +20z ≤ 1275, x+y +z ≤
100, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
12.7.11 L = 1av + 2com, av ≥ 1000, com ≥ 2000, av + com ≤ 10000,
10av + 30com ≤ 186000
12.7.12 O sapateiro faz 1 calçado em 10 minutos, e 1 cinto em 12 minutos.
sapato cinto
rendimento 10 12 ≤ 60 , L = 5x + 2y
couro 2 1 ≤ 6

UNIVATES – Centro Universitário 200
12.7.13 (15, 30): L = 100x + 150y
12.7.14 (400, 200): L = 20 l
t ≤ 200, p + t ≤ 600
=200
12.7.15 (3, 2): 30000x + 10000y
+10p + 30t = 4000 + 10p + 30t, p ≥ 100,
12.7.16 (200, 600): L = 4x+3y, 2x+y ≤ 1000, x+y ≤ 800, x ≤ 400, y ≤ 700
12.7.17 (24, 14): sejam x =brinco e y =colar, L = 45x + 80y, 5x + 20y ≤ 400,
10x + 15y ≤ 450
C H A E TING ER

Capítulo 13
Curvas Cônicas
s curvas cônicas são obtidas através da interseção de um plano e
um cone de revolução. Dependendo da maneira com ocorre esta interseção,
podemos obter as seguintes curvas: elipse, parábola, hipérbole ou um simples
ponto.
13.1 A Elipse
Definição 13.1.1 Elipse é uma curva plana descrita por um ponto P
que se desloca de modo que a soma de suas distâncias a dois pontos
fixos F1 e F2 permanece constante igual a 2a, onde
a > c = dist(F1, F2)
2
Elementos da elipse:
• F1, F2: focos
• ||
F1F2|| = 2c: distância focal
: ||
P F1|| + ||
P F2|| = 2a .
•
B1B2, tal que B1B2 ⊥ A1A2 no ponto médio: eixo menor
• O = A1A2 ∩ B1B2: centro
• A1, A2, B1, B2: vértices
||
B1B2|| = 2b
•
A1A2: eixo maior (contém os focos)
||
A1A2|| = 2a
201

UNIVATES – Centro Universitário 202
• 0 < e = c
a < 1: excentricidade
Observe que, como a é a metade do eixo maior, b é a metade do eixo
menor, e c é a metade da distância focal, segue que a2 = b2 + c2 . Logo
√
a2 − b2 e = .
a
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
B1
b
A1
F1 F2
✲ ✲ A2
c
-4
-6 -4 -2 B2 B20
2 4 6
13.1.1 Equação Reduzida da Elipse com Centro na Origem
e Focos sobre os Eixos Coordenados
a) Focos sobre o Eixo
OX: F1 = (−c, 0), F2 = (c, 0), A1 = (−a, 0),
A2 = (a, 0), B1 = (0, b), B2 = (0, −b)
✻
Seja P = (x, y) ∈ R2 . Então P é ponto da elipse
⇔ || P F1|| + || P F2|| = 2a ⇔
⇔ (−c − x) 2 + (−y) 2 + (c − x) 2 + (−y) 2 = 2a ⇔
⇔ (−c − x) 2 + (−y) 2 = 2a − (c − x) 2 + (−y) 2 ⇔
⇔ c2 + 2cx + x2 + y2 = 4a2 − 4a (c − x) 2 + y2 + c2 − 2cx + x2 + y2 ⇔
⇔ 4a (c − x) 2 + y2 = 4a2 − 4cx ⇔
⇔ a2 (c2 − 2cx + x2 + y2 ) = a4 − 2a2cx + c2x2 ⇔
⇔ a2x2 − c2x2 + a2y2 = a4 − a2c2 ⇔
⇔ (a2 − c2 )x2 + a2y2 = a2 (a2 − c2 ) ⇔
(como a > c e a2 = b2 + c2 )
⇔ b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 ⇔ x2
a 2 + y2
b 2 = 1.
Sendo assim, a equação reduzida da elipse com centro na origem e
semi-eixos a (semi-eixo maior) e b é dada por:
x 2
a 2 + y2
b 2 = 1 .

UNIVATES – Centro Universitário 203
b) Focos sobre o Eixo OY : F1 = (0, −c), F2 = (0, c), A1 = (0, −a),
A2 = (0, a), B1 = (−b, 0), B2 = (b, 0)
x’ y
A2 A2✻
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
F2
y’
x
✛ B1 B2 ✲
F1
-5
-10 -5 A1 A10
5 10
Considere a seguinte mudança de variável nos eixos coordenados: sejam
x ′ = y e y ′ = −x. Então em relação ao sistema de eixos co-
ordenados x ′ y ′ a elipse tem seu eixo maior em OX ′ , e seu eixo me-
nor em OY ′ . Pelo item anterior, a equação da elipse é dada por:
(x ′ ) 2
a2 + (y′ ) 2
b2 = 1. Substituindo as variáveis e efetuando os cálculos,
obtemos que a equação reduzida da elipse com centro na origem e
semi-eixos a e b é dada por:
x 2
b 2 + y2
a 2 = 1 .
Exercício 13.1.2 Determine a equação da elipse de centro na origem,
sabendo que:
1. O eixo maior mede 8 cm e os focos são F = (3, 0) e F ′ = (−3, 0);
2. O eixo maior mede 20 cm, o comprimento do eixo menor é igual à
distância focal e os focos estão sobre o eixo OY ;
√ √
2
3
3. Passa pelos pontos 2 , 1 , − 2 ,
√
2
2 .
13.1.2 Equação da Elipse Cujos Eixos são Paralelos aos Eixos
Coordenados
a) Eixo Maior Paralelo ao Eixo
OX: o centro da elipse é dado por
O ′ = (h, k). Efetuando a mudança de variável nos eixos coordenados
(translação de eixos) x ′ = x − h, y ′ = y − k, obtemos a equação
(x ′ ) 2
a 2
+ (y′ ) 2
b 2
= 1. Substituindo x ′ e y ′ obtemos a equação reduzida da

UNIVATES – Centro Universitário 204
elipse com centro no ponto O ′ = (h, k) e eixo maior paralelo ao eixo
OX:
(x−h) 2
a 2
+ (y−k)2
b 2
= 1.
b) Eixo Maior Paralelo ao Eixo
OY : analogamente, temos que
(x ′ ) 2
b2 + (y′ ) 2
a2 = 1. Portanto, a equação reduzida em questão é dada por:
(x−h) 2
b 2
+ (y−k)2
a 2
= 1.
Exercício 13.1.3 Determine a equação da elipse tal que:
1. Os focos são os pontos F1 = (−1, 3) e F2 = (5, 3), e o eixo maior mede
10 cm;
2. O eixo maior tem extremos A1 = (2, −3) e A2 = (2, 5), e a excentricidade
é 3
4 .
Exercício 13.1.4 Determine as coordenadas do centro e dos focos da
elipse de equação 4x 2 + 9y 2 − 8x − 36y + 4 = 0.
13.1.3 Posição Relativa entre Reta e Elipse
Existem três posições relativas entre uma reta r e uma elipse, a saber:
1. r é exterior à elipse: r ∩ elipse = ∅;
2. r é tangente à elipse: r ∩ elipse = {0};
3. r é secante à elipse: r ∩ elipse = {P, Q}
Exemplo 13.1.5 Determine a equação da elipse tangente à reta r dada
por r: x + 4y − 10 = 0 e que passa pelo ponto A = (4, −1), sabendo que seus
eixos estão contidos nos eixos coordenados.
Solução
A equação da elipse é dada por x2
a2 + y2
b2 = 1. Como A ∈ elipse, segue
que 16
a 2 + 1
b 2 = 1. Donde 16b 2 + a 2 = a 2 b 2 .
Por outro lado, r: x = 10−4y. Sendo assim, r∩ elipse: (10−4y)2
a 2
+ y2
b 2 = 1.
O que implica em b 2 (100−80y+16y 2 )+a 2 y 2 = a 2 b 2 . Ou seja, (16b 2 +a 2 )y 2 −
80b 2 y + (100b 2 − a 2 b 2 ) = 0. Vimos acima que a 2 b 2 = 16b 2 + a 2 . Então temos
que a 2 y 2 − 80y + (100 − a 2 ) = 0.
Como r é tangente à elipse, devemos ter ∆ = 0 na equação acima, i.e.,
a 4 − 100a 2 + 1600 = 0, donde a 2 = 80 ou a 2 = 20. Portanto, b 2 = 5
4 ou
b 2 = 5.
Finalmente, as equações das elipses são x2
80
+ y2
5
4
= 1 ou x2 y2
20 + 5
= 1.
Observação 13.1.6 A circunferência é uma elipse em que os focos coincidem
com o centro e a excentricidade é nula.

UNIVATES – Centro Universitário 205
Exemplo 13.1.7 Dada a circunferência de equação x2 + y2 = 9, podemos
escrever a equação reduzida da elipse como x2 y2
9 + 9 = 1. Logo,
a2 = b2 = 9; a = b = 3. Segue que c2 = a2 − b2 = 0, donde c = 0. Assim, os
= 0.
focos são F1 = F2 = 0, e a excentrididade é dada por e = c
a
13.2 A Parábola
= 0
3
Definição 13.2.1 Parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano
que são equidistantes de um ponto F e de uma reta d, i.e. P = (x, y) é um
ponto da parábola se, e somente se, d(P, F ) = d(P, d).
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
d
-8
-10 -5 0 5 10
Os elementos da parábola são os seguintes:
• F : foco;
• d: diretriz;
• r ⊥ d, F ∈ r: eixo de simetria;
• V ∈ r, d(V, d) = d(V, F ): vértice;
• d(F, d) = p: parâmetro
13.2.1 Equação Reduzida da Parábola com Vértice na Origem
e Foco sobre um dos Eixos Coordenados
1. Foco sobre o Eixo
OX:
(a) Equação Reduzida da Parábola com Vértice na Origem
e Foco sobre o Eixo OX, x > 0: F = p
2 , 0 , d: x = − p
2 . Seja
P = (x, y) ∈ R2 e seja M = − p
2 , y ∈ d (note que yd = yP ).
F

UNIVATES – Centro Universitário 206
Então P é um ponto da parábola se, e somente se,
d(P, F ) = d(P, d) ⇔ || P F || = ||
P M|| ⇔
p
⇔
2 − x
2 −
+ y2 p
= 2 − x 2
+ 02 ⇔
⇔
⇔ y 2 = 2px .
p 2
4 − px + x2 + y 2 = p2
4 + px + x2 ⇔
(b) Equação Reduzida da Parábola com Vértice na Origem
e Foco sobre o Eixo OX, x < 0: F = − p
2 , 0 , d: x = p
2 ,
M = p
2 , y . Façamos a mudança de variável nos eixos coordenados:
x ′ = −x, y ′ = y. Então em relação ao sistema x ′ y ′ a equação
da parábola é dada por (y ′ ) 2 = 2px ′ . Donde y2 = −2px .
2. Foco sobre o Eixo
OY :
(a) Equação Reduzida da Parábola com Vértice na Origem
e Foco sobre o Eixo OY , y > 0: F = 0, p
p
2 , d: y = − 2 ,
M = x, − p
2 . Façamos a mudança de variável nos eixos coorde-
nados: x ′ = y, y ′ = −x. Então (y ′ ) 2 = 2px ′ , donde x 2 = 2py .
(b) Equação Reduzida da Parábola com Vértice na Origem
e Foco sobre o Eixo OY , y < 0: F = 0, − p
p
2 , d: y = 2 ,
. Façamos a mudança de variável nos eixos coordena-
Então:
100
50
0
-50
M = x, p
2
dos: x ′ = y, y ′ = −x. Então (y ′ ) 2 = −2px ′ , donde x 2 = −2py .
-100
-10 -5 0 5 10
Exercício 13.2.2 Determine a equação da parábola com vértice na origem,
sabendo que:
1. O foco é o ponto F = (0, −3);

UNIVATES – Centro Universitário 207
2. A diretriz é a reta d: 2x − 3 = 0;
3. O eixo de simetria é o eixo
OY e ela contém o ponto P = (−2, 3).
13.2.2 Equação Reduzida da Parábola Cujo Eixo de Simetria
é Paralelo a um dos Eixos Coordenados
1. Eixo de Simetria Paralelo ao Eixo
OX: façamos a mudança de
variável nos eixos coordenados: x ′ = x−h, y ′ = y−k, onde V ′ = (h, k)
é o vértice da parábola. Então temos que
(a) Eixo de Simetria Paralelo ao Eixo
OX, x > h:
(y ′ ) 2 = 2px ′ , donde (y − k) 2 = 2p(x − h) .
(b) Eixo de Simetria Paralelo ao Eixo
OX, x < h:
(y ′ ) 2 = −2px ′ , donde (y − k) 2 = −2p(x − h) .
2. Eixo de Simetria Paralelo ao Eixo
OY : façamos a mudança de
variável nos eixos coordenados: x ′ = x−h, y ′ = y−k, onde V ′ = (h, k)
é o vértice da parábola. Então temos que
(a) Eixo de Simetria Paralelo ao Eixo
OY , y > k: (x ′ ) 2 = 2py ′ ,
donde (x − h) 2 = 2p(y − k) .
(b) Eixo de Simetria Paralelo ao Eixo
OY , y < k: (x ′ ) 2 = −2py ′ ,
donde (x − h) 2 = −2p(y − k) .
Exercício 13.2.3 Determine a equação da parábola cujo eixo de simetria
é paralelo a um dos eixos coordenados e:
1. O foco é o ponto F = (4, 2) e o vértice é V = (−2, 2);
2. O foco é o ponto F = (1, 3) e a diretriz é a reta d: x − 7 = 0.
Exercício 13.2.4 Determine as coordenadas do vértice e o parâmetro
das parábolas:
1. y 2 − 6y − 12x − 15 = 0;
2. x 2 − 2x − y − 3 = 0.
13.2.3 Posição Relativa entre Reta e Parábola
Existem três posições relativas entre uma reta r e uma parábola, a saber:
• A reta r é secante à parábola;
• A reta r é tangente à parábola;
• A reta r é exterior à parábola.
Exemplo 13.2.5 Verifique se a reta r: 5x − y − 15 = 0 é tangente à
parábola y 2 = −5x.

UNIVATES – Centro Universitário 208
Solução
y
Basta resolver o sistema
2 =
5x − y =
−5x
15
. Por substituição, é fácil
obtermos 5x2 − 29x + 45 = 0. Calculando ∆ desta equação, resulta que
∆ = 225 − 900 < 0. Logo a reta é exterior à parábola.
13.3 A Hipérbole
Definição 13.3.1 Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos do plano
cujo módulo da diferença entre as distâncias a dois pontos fixos F1
e F2 é constante igual a 2a, onde a < c = dist(F1,F2)
2 . Ou seja,
|| P F1|| − ||
P F2|| = 2a.
15
10
5
0
-5
-10
A1 A2
F1 F2
-15
-10 -5 0 5 10
Elementos:
• F1, F2: focos;
• ||
F1F2|| = 2c: distância focal;
• O = F1+F2
2 : centro;
• A1, A2: vértices;
B1
B2
• A1A2: eixo transverso (||
A1A2|| = 2a);
• B1B2: eixo conjugado (||
B1B2|| = 2b, b = √ c 2 − a 2 , define-se b de
modo que c 2 = a 2 + b 2 );
• r, s: assíntotas: y = b b
a , y = − ax; • e = c
a > 1: excentricidade
s
r

UNIVATES – Centro Universitário 209
13.3.1 Equação Reduzida da Hipérbole com Centro na Origem
e Focos sobre os Eixos
1. Focos sobre o Eixo OX: F1 = (−c, 0), F2 = (c, 0), A1 = (−a, 0),
A2 = (a, 0), B1 = (0, b), B2 = (0, −b). Seja P = (x, y) ∈ R2
. Então
P é um ponto da hipérbole se, e somente se, || P F1|| − ||
P F2|| = 2a ⇔
⇔ || P F1|| − || P F2|| = ±2a ⇔
⇔ (−c − x) 2 + (0 − y) 2 − (c − x) 2 + (0 − y) 2 = ±2a ⇔
⇔ (−c − x) 2 + y2 = ±2a + (c − x) 2 + y2 ⇔
⇔ c2 + 2cx + x2 + y2 = 4a2 ± 4a (c − x) 2 + y2 + c2 − 2cx + x2 + y2 ⇔
⇔ 4cx − 4a2 = ±4a (c − x) 2 + y2 ⇔
⇔ cx − a2 = ±a (c − x) 2 + y2 ⇔
⇔ c2x2 − 2a2cx + a4 = a2 (c2 − 2cx + x2 + y2 ) ⇔
⇔ (c2 − a2 )x2 − a2y2 = a2c2 − a4 − 2a2cx + 2a2cx ⇔
(como c2 = a2 + b2 )
⇔ b2x2 − a2y2 = a2 (c2 − a2 ) ⇔
⇔ b2x2 − a2y2 = a2b2 ⇔
⇔ x2
a 2 − y2
b 2 = 1 .
2. Focos sobre o Eixo
OY : F1 = (0, c), F2 = (0, −c), A1 = (0, a),
A2 = (0, −a), B1 = (b, 0), B2 = (−b, 0). Façamos a seguinte mudança
de variáveis nos eixos coordenados: x ′ = y, y ′ = x. Então, em relação
ao sistema x ′ y ′ , a equação da hipérbole é dada por (x′ ) 2
a2 − (y′ ) 2
b2 = 1.
Efetuando os cálculos, obtemos:
y 2
a 2 − x2
b 2 = 1 .
13.3.2 Equação Reduzida da Hipérbole Cujos Eixos são Paralelos
aos Eixos Coordenados
1. Eixo Transverso Paralelo ao Eixo
OX: seja O ′ = (h, k) o centro
da hipérbole. Então fazendo a mudança de variável nos eixos coorde-
nados: x ′ = x − h, y ′ = y − k, obtemos a equação x′2
a 2 − y′2
b 2 = 1. Donde
a equação da hipérbole é dada por:
(x−h) 2
a 2
neste caso, F1 = (−c + h, k), F2 = (c + h, k).
− (y−k)2
b 2
= 1 . Note que,
2. Eixo Transverso Paralelo ao Eixo
OY : seja O ′ = (h, k) o centro
da hipérbole. Então fazendo a mudança de variável nos eixos coorde-
nados: x ′ = x − h, y ′ = y − k, obtemos a equação y′2
a 2 − x′2
b 2 = 1. Donde
a equação da hipérbole é dada por:
(y−k) 2
a 2
neste caso, F1 = (h, c + k), F2 = (h, −c + k).
− (x−h)2
b 2
= 1 . Note que,
Exercício 13.3.2 Determine a equação da hipérbole cujos focos são os
pontos F1 = (−4, 0) e F2 = (4, 0), sabendo que o eixo conjugado mede 4 cm.
Exercício 13.3.3 Determine a equação da hipérbole cujos focos são os
pontos F1 = (2, −3) e F2 = (2, 5), e a excentricidade é 2.

UNIVATES – Centro Universitário 210
Exercício 13.3.4 Determine as coordenadas do centro e dos focos, e a
medida dos semi-eixos das hipérboles:
1. 9y 2 − 4x 2 = 36;
2. 9x 2 − 16y 2 − 54x − 32y − 79 = 0.
Observação 13.3.5 Existe um tipo especial de hipérbole, chamada
hipérbole equilátera. √
a2 +b2 Trata-se do caso particular em que a = b.
=
Neste
caso, e = c
a =
a
√ 2a 2
a = a√ 2
a = √ 2.
13.3.3 Posição Relativa entre Reta e Hipérbole
Sejam r uma reta e H uma hipérbole. Existem três posições relativas
entre r e H:
• A reta é externa à hipérbole: r ∩ H = ∅;
• A reta é tangente à hipérbole: r ∩ H = {T };
• A reta é secante à hipérbole: r ∩ H = {P, Q}.
Exemplo 13.3.6 Verifique a posição relativa entre a reta r: x−y+3 = 0
= 1.
e a hipérbole de equação x2
12
− y2
3
Solução
De r: y = x + 3, obtemos x2 (x+3)2
12 − 3 = 1. Donde x2 + 8x + 16 = 0.
Como ∆ = 64 − 64 = 0, segue que a reta r é tangente à hipérbole.
Agora é fácil ver que o ponto de tangência é T = (−4, −1).
13.4 Equações de Cônicas com Eixo(s) Não Paralelo(s)
aos Eixos Coordenados
Quando o(s) eixo(s) não é(são) paralelo(s) aos eixos coordenados, houve
uma rotação de eixos:
Seja P um ponto do plano. Em relação ao sistema canônico de coordenadas
XOY , o ponto é dado por P = (x, y). Por outro lado, considerando
um novo sistema de coordenadas X ′ OY ′ , rodado de um ângulo α no sentido
anti-horário, as coordenadas de P são dadas por P = (x ′ , y ′ ). Em relação a
este sistema de eixos, podemos identificar o ponto P através de r e θ, onde
r = OP e θ é o ângulo ∠P OX ′ . Sendo assim, é fácil mostrar que x ′ = r cos θ,
y ′ = r sin θ. Portanto,
x = r cos(θ + α) = r cos θ cos α − r sin θ sin α = x ′ cos α − y ′ sin α,
y = r sin(θ + α) = r sin θ cos α + r sin α cos θ = y ′ cos α + x ′ sin α.
Como havíamos visto em capítulos anteriores, a equação da rotação de
um ângulo −α é dada por: x = x ′ cos α − y ′ sin α, y = x ′ sin α + y ′ cos α
(note que estamos considerando a rotação do sistema X ′ OY ′ para o sistema
XOY ).

UNIVATES – Centro Universitário 211
Y
✻
P
✒
Y
❅■
❅
❅
❅
❅
❅
′
r
θ
α
X ′
Da mesma forma, a rotação do sistema XOY para o sistema X ′ OY ′
(rotação de um ângulo α) é dada por: x ′ = x cos α + y sin α, y ′ = −x sin α +
y cos α.
x ′
y ′
Matricialmente:
Rα
x
y
cos α sin α x
=
− sin α cos α y
13.4.1 Exemplos
R (−α)
✲
cos α − sin α x ′
=
sin α cos α y
′
e
.
Exemplo 13.4.1 Encontre a equação da elipse cujos semi-eixos medem
5 cm e 4 cm, em relação ao sistema de coordenadas cartesianas ortogonais
tal que:
1. A origem é o centro da elipse e o semi-eixo positivo das abscissas
radianos com a reta focal;
forma um ângulo de π
4
2. O centro da elipse é o ponto O ′ = (6, 8) e a reta focal forma um ângulo
radianos com o semi-eixo positivo das abscissas.
de π
6
1. a = 5, b = 4, (x′ ) 2
25 + (y′ ) 2
16
x ′
y ′
Então segue a equação
(x+y) 2
50
(y−x)2
+ 32
Solução
= 1
= R π
4
2. Analogamente, usando R π
6
x
y
√ 2
2 (x+y)2
25
=
+
√
2
√2 2
2
X
(x + y)
.
(y − x)
√ 2
2 (y−x)2
16
= 1, donde
= 1, ou seja, 41x2 + 41y 2 − 18xy − 3200 = 0.
x ′
y ′
= R π
6
, obtemos:
x ′′
y ′′
1
= 2 (√3x ′′ + y ′′ )
1
2 (√3y ′′ − x ′′ )
.

UNIVATES – Centro Universitário 212
Então segue a equação 1
4 (√3x ′′ +y ′′ ) 2
25
16 = 1 donde, fazendo
a mudança de variável x ′′ = x − 6, y ′′ = y − 8, obtemos
( √ 3(x−6)+(y−8)) 2
100
+ 1
4 (√ 3y ′′ −x ′′ ) 2
+ (√ 3(y−8)−(x−6)) 2
64 = 1.
Exemplo 13.4.2 Determine a equação de uma hipérbole cujo eixo
transverso forma um ângulo de π
3 radianos com o semi-eixo positivo das
abscissas, o semi-eixo transverso mede 5 cm, a distância focal é 14 cm e o
centro é o ponto O ′ = (3, 4).
Solução
Sejam x ′′ = x − 3, y ′′ = y − 4. Como a = 5 e 2c = 14, segue que c = 7 e
= 1. Então
b2 = c2 − a2 = 24. A equação é dada por (x′ ) 2
25 − (y′ ) 2
24
x ′
y ′
= R π
3
x ′′
y ′′
=
1
2 (x′′ + √ 3y ′′ )
1
2 (y′′ − √ 3x ′′ )
Então segue a equação (x′′ + √ 3y ′′ ) 2
100 − (y′′ − √ 3x ′′ ) 2
96 = 1, donde obtemos
((x−3)+ √ 3(y−4)) 2
100 − ((y−4)−√3(x−3)) 2
96 = 1.
Exemplo 13.4.3 Determine a equação da parábola cujo parâmetro é 8,
o vértice é o ponto V = (3, 2), a diretriz forma um ângulo de π
3 radianos
com o semi0eixo positivo das abscissas e ela (a parábola) não intersecciona
o eixo das ordenadas
x ′
y ′
= R π
3
x ′′
Solução
y ′′
=
1
2 (x′′ + √ 3y ′′ )
1
2 (y′′ − √ 3x ′′ )
Sejam x ′′ = x − 3, y ′′ = y − 2. Então (x ′ ) 2 = −2py ′ = −16y ′ , donde
1
4 (x′′ + √ 3y ′′ ) 2 = −8(y ′′ − √ 3x ′′ ), ou seja, 1
√ 2 4 (x − 3) + 3(y − 2) =
−8 (y − 2) − √ 3(x − 3) 2 . Finalmente, a equação desejada é
(x + √ 3y − 3 − 2 √ 3) 2 = −32(y − √ 3x + 3 √ 3 − 2).
13.5 Aplicação das Translações e Rotações ao Estudo
da Equação Geral do Segundo Grau a
Duas Variáveis
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, A 2 + B 2 + C 2 = 0 (13.1)
Objetivo: Reconhecer a cônica e esboçar seu gráfico.
Observação 13.5.1 Observe que se B = 0, então “completa-se quadrados”;
se B = 0, então “volta-se na rotação”.
.
.

UNIVATES – Centro Universitário 213
Y ′
Y
✻
✒
❅■
❅
❅
❅ α
❅
❅
X ′
Precisamos descobrir um ângulo α tal que após a rotação a equação
(13.1) fique na forma
✲
A ′ (x ′ ) 2 + C ′ (y ′ ) 2 + D ′ x ′ + E ′ y ′ + F ′ = 0.
x
x ′
Temos que = R (−α)
y
y ′
=
em (13.1), obtemos uma equação
onde
X
x ′ cos α − y ′ sin α
x ′ sin α + y ′ cos α
A ′ (x ′ ) 2 + B ′ (x ′ y ′ ) + C ′ (y ′ ) 2 + D ′ x ′ + E ′ y ′ + F ′ = 0,
A ′ = A cos 2 α + B sin α cos α + C sin 2 α;
B ′ = −2A sin α cos α + B(cos 2 α − sin 2 α) + 2C sin α cos α;
C ′ = A sin 2 α − B sin α cos α + C cos 2 α;
D ′ = D cos α + E sin α;
E ′ = −D sin α + E cos α;
F ′ = F (“o termo independente é invariante por rotações”).
Queremos que B ′ = 0. Ora,
. Substituindo
B ′ = 0 ⇔ −2A sin α cos α + B (cos 2 α − sin 2 α) +2C sin α cos α = 0 ⇔
cos 2α
⇔ B cos 2α − (A − C) 2 sin α cos α
sin 2α
⇔ B cos 2α − (A − C) sin 2α = 0 ⇔
⇔ (A − C) sin 2α = B cos 2α.
= 0 ⇔
Agora temos duas possibilidades para a afirmação acima:
Se A = C: então B ′ = 0 ⇔ tan 2α = B
A−C ;
Se A = C: então B cos 2α = 0. Como B = 0 no termo em xy, segue
que cos 2α = 0, donde α = π
4 .

UNIVATES – Centro Universitário 214
Lembremos que tan 2α =
2 tan α
1−tan 2 α .
Observação 13.5.2 Para qualquer α ∈ R, B 2 − 4AC = (B ′ ) 2 − 4A ′ C ′ ,
A + C = A ′ + C ′ são invariantes por rotações.
13.5.1 Exemplos
Exemplo 13.5.3 Determine o menor ângulo positivo segundo o
qual devemos girar os eixos para que a nova equação da cônica
5x 2 + 4xy + 8y 2 − 36 = 0 não contenha termo misto. Determine a equação
reduzida da cônica.
Solução
2 tan α
A = 5, C = 8 e A = C. Então tan 2α = 1−tan2 B 4
= α A−C = − 3 . Segue
que 4 − 4 tan2 α + 6 tan α = 0, ou seja, tan α = 2 (e α = arctan 2) ou
tan α = − 1
2 (negativo).
Para determinar a equação reduzida da cônica, considere
x
x ′
= R (−α)
y
y ′
x ′ cos α − y ′ sin α
=
x ′ sin α + y ′
. Como tan α = 2, segue que
cos α
sec2 α = 1 + tan2 α = 5, donde cos α = 5 e sin α = 2√5 5 . Substituindo estes
valores na expressão matricial acima, e depois substituindo x e y na equação
= 1, que é a equação de uma elipse.
da cônica, obtemos (x′ ) 2
4 + (y′ ) 2
9
√ 5
Exemplo 13.5.4 Desenhe a cônica 16x 2 + 24xy + 9y 2 + 60x − 80y = 0.
Solução
A = 16, B = 9 e A = B. Então procedendo como antes, obtemos
tan α = 3
4
4 ou tan α = − 3 . Para nós interessa o primeiro valor, donde
α = arctan 3
4
3
4 . Segue que cos α = 5 e sin α = 5 . Agora basta substituir na
equação matricial.
Outro modo que pode ser prático é simplesmente calcular diretamente
os valores de A ′ , . . . , F ′ segundo as expressões vistas anteriormente.
De qualquer modo, obtemos (x ′ ) 2 = 4y ′ , que é a equação de uma
parábola. Deixamos ao leitor efetuar o desenho desta cônica.
Exemplo 13.5.5 Determine os semi-eixos da cônica xy − √ 2y = 2.
Solução
Como A = C = 0, então α = π
4 . Agora basta utilizar a equação matricial
para obter (x ′ −1) 2 −(y ′ +1) 2 = 4. Pelas mudanças de variáveis: x ′′ = x ′ −1,
y ′′ = y ′ + 1, obtemos (x ′′ ) 2 − (y ′′ ) 2 = 4, ou seja, (x′′ ) 2
4 − (y′′ ) 2
4 = 1, que é a
equação de uma hipérbole equilátera de semi-eixos a = b = 2.
Vamos agora determinar o centro O ′ : ora, x ′′ = 0, y ′′ = 0 implicam em
x ′ = 1, y ′ = −1, donde x = √ 2, y = 0. Logo O ′ = ( √ 2, 0). Deixamos mais
uma vez o desenho a cargo do leitor.

UNIVATES – Centro Universitário 215
13.6 A Equação Geral do Segundo Grau a Duas
Variáveis e as Cônicas
A equação do 2 o grau a duas variáveis Ax 2 +Bxy+Cy 2 +Dx+Ey+F = 0
(A 2 + B 2 + C 2 = 0) representa uma cônica.
Podemos fazer uma rotação de modo que a equação não contenha termo
misto, obtendo a equação A ′ (x ′ ) 2 + B ′ x ′ y ′ + C ′ (y ′ ) 2 + D ′ x ′ + E ′ y ′ + F ′ = 0,
onde B ′ = 0.
Por conseqüência da observação 13.5.2, B ′ = 0 → B 2 − 4AC = −4A ′ C ′ ,
logo:
1. B 2 −4AC < 0 ⇒ −4A ′ C ′ < 0 ⇒ A ′ C ′ > 0: elipse ou elipse degenerada
(ponto ou ∅) – “equação do tipo elíptico”;
2. B 2 − 4AC = 0 ⇒ −4A ′ C ′ = 0 ⇒ A ′ C ′ = 0: parábola ou parábola
degenerada (2 retas paralelas, 1 reta ou ∅) – “equação do tipo parabólico”;
3. B 2 − 4AC > 0 ⇒ −4A ′ C ′ > 0 ⇒ A ′ C ′ < 0: hipérbole ou hipérbole
degenerada (2 retas concorrentes) – “equação do tipo hiperbólico”.
13.6.1 Exemplos
Exemplo 13.6.1 x2
a2 + y2
b2 = 0: pode ser escrita como b2x2 + a2y2 = 0,
cuja solução é x = y = 0. Logo trata-se de um ponto (0, 0).
Como B2 − 4AC = 0 − 4b2a2 < 0, é do tipo elíptico.
Exemplo 13.6.2 x2
a2 + y2
b2 = −1: esta equação pode ser escrita como
b2x2 + a2y2 + a2b2 = 0, cuja solução é S = ∅.
Como B2 − 4AC = 0 − 4b2a2 < 0, é do tipo elíptico.
Exemplo 13.6.3 y 2 − 4 = 0: B 2 − 4AC = 0 − 4 · 0 · 1 = 0. Logo é do
tipo parabólico. Como a solução da equação é y = ±2, tratam-se de 2 retas
paralelas.
Exemplo 13.6.4 x 2 = 0: tem por solução x = 0 (1 reta).
Como B 2 − 4AC = 0, é do tipo parabólico.
Exemplo 13.6.5 3x 2 + 1 = 0: solução S = ∅ e B 2 − 4AC = 0. Logo é
do tipo parabólico.
Exemplo 13.6.6 x 2 − y 2 = 0: solução y = ±x (2 retas concorrentes),
B 2 − 4AC = 0 − 4 · 1 · (−1) = 4 > 0. Logo é do tipo hiperbólico.
Exercício 13.6.7 Classifique as cônicas:
1. 4x 2 − 4xy + 7y 2 + 12x + 6y − 9 = 0;
2. x 2 − 4xy + 4y 2 − 6x + 12y + 8 = 0.
Exercício 13.6.8 Mostre que as equações definem cônicas degeneradas:
1. 9x 2 + 4y 2 − 18x + 8y + 13 = 0;
2. x 2 − 4xy + 3y 2 = 0

UNIVATES – Centro Universitário 216
13.7 Respostas dos Principais Exercícios do
Capítulo
13.1.2 1). x2 y2
16 + 7
13.1.3 1). (x−2)2
25
x2 y2
x2 y2
= 1; 2). 50 + 100 = 1; 3). 1 + 2
(y−3)2
+ 16
= 1; 2). (x−2)2
7
(y−1)2
+ 16
13.1.4 O ′ = (1, 2), F1 = (1 − √ 5, 2), F2 = (1 + √ 5, 2)
13.2.2 1). x 2 = −12y; 2). y 2 = −6x; 3). x 2 = 4
3 y
= 1
= 1
13.2.3 1). (y − 2) 2 = 24(x + 2); 2). (y − 3) 2 = −12(x − 4)
13.2.4 1). V = (−2, 3), p = 6; 2). V = (1, −4), p = 1
2
x 13.3.2 2 y2
12 − 4
= 1, assíntotas r: y = 2
√ 12 x e s: y = − 2
√ 12 x
13.6.7 1). (x′ ) 2
8 + (y′ ) 2
3 = 1: elipse; 2). y′ = ± 1
√ 5 : são 2 retas paralelas
13.6.8 1). 9(x − 1) 2 + 4(y + 1) 2 = 0 é o ponto (1, −1);
2). Como (x − a)(x − b) = x2 − (a + b)x + ab, é fácil ver que a cônica
em questão tem equação (x − y)(x − 3y) = 0, done y = x ou y = x
3 ,
que são duas retas concorrentes.
C H A E TING ER

Apêndice A
Artigos para
Aprofundamento
A.1 Comparação dos Procedimentos para Resolver
Sistemas Lineares
Baseia-se em H. Anton ([1]), pp. 321-326.
A.2 Álgebra de Matrizes
Baseia-se em S.C. Bloch ([3]), páginas 80-89.
A.3 Correlación de Pares de Imagenes para Medición
de Sólidos por Fenómenos Estereo
Artigo de J, Sánches ([31]), páginas 59-58.
A.4 Introdução à Pesquisa Operacional
Trata-se do Capítulo 1 de C. Perin ([26]), páginas 1 a 11.
A.5 Modelos
É o Capítulo 2 de C. Perin ([26]), páginas 13 a 44.
A.6 Espaços Vetoriais – Introdução: Quadrados
Mágicos
Baseia-se no livro de D. Poole ([27]), páginas 385-387.
A.7 Compressão de Imagem Digital
D. Poole ([27]), páginas 555-557.
217

UNIVATES – Centro Universitário 218
A.8 Investigação: Azulejos, Reticulados e a Restrição
Cristalográfica
D. Poole ([27]), páginas 465-467.
A.9 Investigação: A Fatoração LU
D. Poole ([27]), páginas 225-229.
A.10 Códigos Corretores de Erros
D. Poole ([27]), páginas 215-224.
A.11 Grafos e Dígrafos
D. Poole ([27]), páginas 210-214.
A.12 Investigação: Pivotamento Parcial e Contagem
de Operações - Uma Introdução à
Análise de Algoritmos
D. Poole ([27]), páginas 82-85.
A.13 Análise de Redes
D. Poole ([27]), páginas 100-113.
A.14 Simulador de Circuitos
Correspondência eletrônica enviada pelo Prof.Ms. R. Schaeffer.
A.15 Vetores de Código e Aritmética Modular
D. Poole ([27]), páginas 47-54.
A.16 Diagonalização de Formas Quadráticas:
Seções Cônicas
H. Anton ([1]), páginas 313-321.
A.17 A Rampa de Skate do Tempo Mínimo
J.L.P. Mello, São Paulo, Revista do Professor de Matemática (RPM) 59,
(2006), páginas 9-15.

UNIVATES – Centro Universitário 219
A.18 Por Que as Antenas São Parabólicas
E. Wagner, São Paulo, Revista do Professor de Matemática (RPM) 33,
(1997), páginas 10-15.
A.19 A Hipérbole e os Telescópios
G. Ávila, São Paulo, Revista do Professor de Matemática (RPM) 34,
(1997), páginas 22-27.
A.20 A Sombra do Meu Abajur
J.P. Carneiro, São Paulo, Revista do Professor de Matemática (RPM)
59, (2006), páginas 1-6.
A.21 A Matemática do GPS
S. Alves, São Paulo, Revista do Professor de Matemática (RPM) 59,
(2006), páginas 17-26.
A.22 Montando uma Dieta Alimentar com Sistemas
Lineares
A.A.Dornelles Filho, São Paulo, Revista do Professor de Matemática
(RPM) 59, (2006), páginas 27-29.
A.23 Resumo Sobre Cônicas
Este material é oriundo de uma montagem de textos de vários autores,
elaborado por M. Madalena Dullius
A.24 Um Brinquedo Chamado Espirógrafo
L.N. de Andrade, São Paulo, Revista do Professor de Matemtica (RPM)
60, (2006), páginas 24-29.

Apêndice B
Autovalores e Vetores
Próprios, Diagonalização de
Operadores Lineares
B.1 Introdução
ada uma transformação linear de um espaço vetorial nele mesmo,
T : V → V , que vetores são levados neles mesmos via T ? Isto é, dada T :
V → V , quais são os vetores v ∈ V tais que T (v) = v? (O vetor v, neste
caso, é chamado de vetor fixo).
Se A é uma matriz n × n e x é um vetor do R n , então Ax também é
um vetor no R n , mas em geral não há nenhuma relação geométrica simples
entre x e Ax. No entanto, esta relação existe no caso especial em que x é um
vetor não-nulo e Ax é um múltiplo escalar de x. Por exemplo, se A é uma
matriz 2 × 2 e se x é um vetor não-nulo tal que Ax é um múltiplo escalar
de x, digamos, Ax = λx, então cada vetor na reta pela origem determinada
por x é levado de volta à mesma reta quando multiplicado por A.
Vetores não-nulos que são levados em múltiplos escalares deles mesmos
por um operador linear aparecem naturalmente no estudo de vibrações e da
dinâmica populacional, na genética, na mecânica quântica e na economia,
bem como na geometria. Neste capítulo estudaremos tais vetores e suas
aplicações.
Exemplo B.1.1 Considere a aplicação identidade I: R 2 → R 2 , onde
I(x, y) = (x, y). Então é fácil ver que todo o espaço R 2 é fixo.
Exemplo B.1.2 Seja rx: R2 → R2 dada por rx(x, y) = (x, −y) a reflexão
no eixo
OX. Matricialmente
esta aplicação pode ser representada por
x 1 0 x
· .
y 0 −1 y
220

UNIVATES – Centro Universitário 221
Percebe-se que todo vetor pertencente ao eixo
OX é fixo por rx. De fato:
1 0 x x
· = , ou seja, rx(x, 0) = (x, 0).
0 −1 0 0
x
Ademais, são os únicos vetores fixos, pois se é um vetor do R
y
2
1 0 x x
x + 0y = x
tal que
· = , caímos no sistema
0 −1 y y
0x − y = y ou
x = x
, cuja única solução é (x, 0) com x ∈ R.
−y = y
Exemplo B.1.3 Seja N: R 2 → R 2 dada por N(x, y) = (0, 0) a
aplicação nula. Então o único vetor fixo é o vetor nulo: N(0, 0) = (0, 0).
B.2 Sistemas Lineares da Forma Ax = λx
Muitas aplicações da Álgebra Linear envolvem sistemas de n equações
lineares em n incógnitas que aparecem no formato
Ax = λx, (B.1)
onde λ é um escalar. Tais sistemas são, realmente, sistemas homogêneos
disfarçados, pois (B.1) podem ser reescritos como λx − Ax = 0 ou, inserindo
uma matriz identidade e fatorando, como
(λI − A)x = 0. (B.2)
x1 + 3x2 = λx1
Exemplo B.2.1 O sistema linear
pode ser es-
4x1 + 2x2 = λx2
1 3 x1 x1
crito em formato matricial como · = λ · que é do
4 2 x2 x2
formato de (B.1).
Este sistema pode ser reescrito como
x1 1 3 x1 0
λ · −
= ou
x2 4 2 x2 0
1 0 x1 1 3 x1 0
λ · · −
= ou ainda
0 1 x2 4 2 x2 0
λ − 1 −3 x1 0
· = , que é do formato (B.2).
−4 λ − 2
0
x2
O problema primordial que nos interessa em relação aos sistemas no
formato (B.2) é determinar para quais valores de λ o sistema tem uma
solução não-trival; um tal valor de λ é chamado autovalor de A, ou valor
próprio ou, às vezes, valor característico de A. Se λ é um autovalor de A,
então cada solução não-trivial de (B.2) é chamada autovetor de A associado
ao autovalor λ.
Segue do Teorema 7.4.13 que o sistema (λI − A)x = 0 tem solução nãotrivial
se, e somente se, det(λI − A) = 0.
Esta equação é chamada equação característica de A; os autovalores de
A podem ser encontrados resolvendo esta equação em λ.

UNIVATES – Centro Universitário 222
Exemplo B.2.2 Encontre os autovalores e correspondentes autovetores
da matriz A do exemplo B.2.1.
Solução
A equação característica de A é det(λI − A) = λ − 1
−4
λ
−3
λ − 2 = 0 ou
2 − 3λ − 10 = 0.
A forma fatorada desta equação é (λ + 2)(λ − 5) = 0, de modo que os
autovalores de A são λ = −2 e λ = 5.
Por definição, x é um autovetor deA se, e somente se, x é umasolução
λ − 1 −3 x1 0
não-trivial de (λI − A)x = 0; ou seja,
· = .
−4 λ − 2 x2 0
Se λ = −2, então a equação acima é dada por
−3
−4
−3 x1
·
−4
0
= .
0
Resolvendo este sistema obtemos x1 = −t, x2 = t, de modo que os autovetores
associados a λ = −2 são as soluções não-nulas na forma
x1 −t
x = = .
t
x2
Analogamente, os autovetores correspondentes ao autovalor λ = 5 são
3
x1
as soluções não-nulas da forma x = = 4t
.
t
B.3 Autovalores e Autovetores
Definição B.3.1 Se A é uma matriz n × n, então um vetor não-nulo x
em R n é chamado um autovetor de A se Ax é um múltiplo escalar de x, ou
seja, Ax = λx, para algum escalar λ. O escalar λ é chamado um autovalor
de A e dizemos que x é um autovetor associado a λ.
Em R 2 e R 3 , a multiplicação por A manda cada autovetor x de A (se
houver) sobre a mesma reta pela origem que x. Dependendo do sinal e
da magnitude do autovalor λ associado a x, o operador linear Ax = λx
comprime ou estica x por um fator λ, invertendo o sentido no caso de λ
negativo.
1
Exemplo B.3.2 O vetor x = é um autovetor da matriz
2
3 0
A =
correspondendo ao autovalor λ = 3, pois
8 −1
3 0 1 3
Ax =
· = = 3x.
8 −1 2 6
Para encontrar os autovalores de uma matriz A de tamanho n × n nós
reescrevemos Ax = λx como Ax = λIx ou, equivalentemente, (λI −A)x = 0.
x2
x2

UNIVATES – Centro Universitário 223
Para λ ser um autovalor, precisa haver uma solução não-nula desta
equação. No entanto, pelo Teorema 7.4.13, a equação (B.2) tem solução
se, e somente se,
det(λI − A) = 0. (B.3)
Esta equação é a equação característica de A; os escalares que satisfazem
esta equação são os autovalores de A. Quando expandido, o determinante
det(λI−A) é um polinômio p em λ, que é chamado o polinômio característico
de A.
Pode ser mostrado (desafio!) que se A é uma matriz n × n, então o
polinômio característico de A tem grau n e o coeficiente de λ n é 1, ou seja,
o polinômio característico p(λ) de uma matriz n × n é da forma
p(λ) = det(λI − A) = λ n + c1λ n−1 + . . . + cn.
Pelo Teorema Fundamental da Álgebra segue que a equação característica
λn + c1λn−1 + . . . + cn = 0 tem, no máximo, n soluções distintas, de modo
que uma matriz n × n tem, no máximo, n autovalores distintos.
Exemplo B.3.3 Encontre os autovalores de A = ⎣
⎡
0 1 0
0 0 1
4 −17 8
Solução
O polinômio característico de A é
λ −1 0
det(λI − A) =
0 λ −1
−4 17 λ − 8 = λ3 − 8λ 2 + 17λ − 4.
Os autovalores de A, portanto, satisfazem a equação cúbica acima:
λ 3 − 8λ 2 + 17λ − 4 = 0. Para resolver esta equação, nós começamos procurando
soluções inteiras. Esta tarefa pode ser enormemente simplificada
se lembrarmos o seguinte fato: todas as soluções inteiras (se houver) de
uma equação polinomial λ n + c1λ n−1 + . . . + cn = 0 com coeficientes inteiros
são divisores do termo constante cn. Assim, no nosso exemplo, as
únicas possíveis soluções inteiras da equação cúbica acima são os divisores
de −4, ou seja, ±1, ±2 e ±4. Substituindo sucessivamente cada um
destes valores na equação cúbica segue que λ = 4 é uma solução inteira.
Conseqüentemente, λ − 4 deve ser um fator do lado esquerdo da referida
equação. Dividindo λ 3 −8λ 2 +17λ−4 por λ−4, podemos reescrevê-la como
(λ−4)(λ 2 −4λ+1) = 0. Assim, as demais soluções desta equação satisfazem
a equação quadrática λ 2 − 4λ + 1 = 0 que pode ser resolvida facilmente.
Logo, os autovalores de A são λ = 4, λ = 2 + √ 3 e λ = 2 − √ 3.
Exemplo B.3.4 (autovalores de uma
⎡
matriz triangular
⎤
supe-
rior) Encontre os autovalores da matriz A =
⎢
⎣
a11 a12 a13 a14
0 a22 a23 a24
0 0 a33 a34
0 0 0 a44
⎤
⎦.
⎥
⎦ .

UNIVATES – Centro Universitário 224
Solução
Lembrando que o determinante de uma matriz triangular é o produto das
entradas na diagonal principal (desafio!), obtemos o polinômio característico
det(λI − A) = (λ − a11)(λ − a22)(λ − a33)(λ − a44).
Assim, a equação característica é dada por
det(λI − A) = (λ − a11)(λ − a22)(λ − a33)(λ − a44) = 0
e os autovalores são λ = a11, λ = a22, λ = a33 e λ = a44, que são precisamente
as entradas na diagonal principal de A.
Teorema B.3.5 Se A é uma matriz n × n triangular (superior, inferior
ou diagonal), então os autovalores de A são as entradas na diagonal
principal de A.
prova: desafio!
Observação B.3.6 Muitas vezes, em problemas aplicados, a matriz A
é tão grande que não é prático calcular a equação característica. Neste caso,
existem muitos métodos de aproximação que podem ser utilizados para obter
os autovalores.
Observação B.3.7 É possível que a equação característica de uma matriz
com entradas reais tenha soluções complexas. Assim, mesmo para matrizes
reais, somos forçados a considerar autovalores complexos. Por sua
vez, isto nos leva a considerar a possibilidade de espaços vetoriais complexos
(com escalares em C). Neste curso, contudo, nossa discussão ficará
limitada a matrizes com autovalores reais.
O seguinte teorema resume o que vimos até aqui
Teorema B.3.8 Se A é uma matriz n × n e λ é um número real, então
as seguintes afirmações são equivalentes:
1. λ é um autovalor de A;
2. O sistema (λI − A)x = 0 tem soluções não-triviais;
3. Existe um vetor não-nulo x tal que Ax = λx;
4. λ é uma solução da equação característica det(λI − A) = 0.
Agora que nós sabemos encontrar autovalores, passamos ao problema
de encontrar autovetores. Os autovetores de A associados a um autovalor
λ são os vetores não-nulos x que satisfazem Ax = λx. Equivalentemente,
os autovetores associados a λ são os vetores não-nulos no espaço-solução de
(λI − A)x = 0. Nós chamamos este espaço de auto-espaço de A associado a
λ.

UNIVATES – Centro Universitário 225
Exemplo ⎡ B.3.9 ⎤ Encontre bases para os auto-espaços da matriz
0 0 −2
A = ⎣ 1 2 1 ⎦.
1 0 3
Solução
A equação característica da matriz A é λ3 − 5λ2 + 8λ − 4 = 0 ou, na
forma fatorada, (λ − 1)(λ − 2) 2 = 0; assim, os autovalores de A são λ = 1 e
λ = 2. Portanto, temos dois auto-espaços de A.
Por definição, x = (x1, x2, x3) t é um autovetor de A associado a λ se, e
somente se, x é uma solução não-trivial de (λI − A)x = 0, ou seja, se λ = 2,
então o sistema é dado por
⎡
⎣
2 0 2
−1 0 −1
−1 0 −1
⎤
⎡
⎦ · ⎣
x1
x2
x3
⎤
⎡
⎦ = ⎣
Resolvendo este sistema, obtemos (verifique!) x1 = −s, x2 = t, x3 = s.
Assim, os autovetores de A associados a λ = 2 são os vetores não-nulos da
forma
⎡
Como ⎣
⎡
x = ⎣
−1
0
1
⎤
−s
t
s
⎡
⎦ e ⎣
⎤
0
1
0
⎡
⎦ = ⎣
⎤
−s
0
s
⎤
⎡
⎦ + ⎣
0
t
0
⎤
⎡
⎦ = s ⎣
0
0
0
−1
0
1
⎤
⎦ .
⎤
⎡
⎦ + t ⎣
⎦ são linearmente independentes, estes vetores formam
uma base do auto-espaço associado a λ = 2.
Se λ = 1, então o sistema é dado por
⎡
1
⎣ −1
0
−1
⎤ ⎡
2 x1
−1 ⎦ · ⎣ x2
⎤ ⎡
⎦ = ⎣
−1 0 −2
Resolvendo este sistema, obtemos x1 = −2s, x2 = s, x3 = s.
Assim, ⎡ os ⎤autovetores
⎡ associados ⎤ a ⎡λ
= 1⎤são os vetores não-nulos da
−2s −2
−2
forma ⎣ s ⎦ = s ⎣ 1 ⎦ e portanto ⎣ 1 ⎦ é uma base do auto-espaço
s
1
1
associado a λ = 1.
Observação B.3.10 Uma vez obtidos os autovalores e autovetores de
uma matriz A, é uma questão simples obter os autovalores e os autovetores
de qualquer potência inteira positiva de A; por exemplo, se λ é um autovalor
de A e se x é um autovetor correspondente, então
x3
0
0
0
⎤
⎦ .
A 2 x = A(Ax) = A(λx) = λ(Ax) = λ(λx) = λ 2 x,
o que mostra que λ 2 é um autovalor de A 2 com autovetor associado x.
Em geral, temos o seguinte resultado.
0
1
0
⎤
⎦ .

UNIVATES – Centro Universitário 226
Teorema B.3.11 Se k é um inteiro positivo, λ é um autovalor de uma
matriz A e x é um autovetor associado, então λ k é um autovalor de A k e x
é um autovetor associado.
O próximo teorema estabelece uma relação entre os autovalores e a invertibilidade
de uma matriz.
Teorema B.3.12 Uma matriz quadrada A é invertível se, e somente
se, λ = 0 não é um autovalor de A.
prova: Suponhamos que A seja uma matriz n × n. É fácil ver que λ = 0
é uma solução da equação característica λn + c1λn−1 + . . . + cn = 0 se, e
somente se, o termo constante cn = 0. Portanto, basta mostrar que cn = 0.
Mas, det(λI − A) = λn + c1λn−1 + . . . + cn e, por conseguinte, tomando
λ = 0, det(−A) = cn ou (−1) n det(A) = cn.
Segue da última equação que det(A) = 0 se, e somente se, cn = 0. Logo,
A é invertível se, e somente se, cn = 0.
B.4 Diagonalização
Nesta seção abordaremos o problema de encontrar uma base do R n que
consista de autovetores de uma dada matriz A (n×n). Estas bases podem ser
usadas para estudar problemas geométricos de A e para simplificar muitas
contas envolvendo A. Elas também têm significado físico em uma grande
variedade de aplicações, algumas das quais serão consideradas ainda neste
curso.
Nosso primeiro objetivo é mostrar que os dois problemas a seguir, embora
aparentemente sejam bastante diferentes, na realidade são equivalentes.
O Problema dos Autovetores: dada uma matriz A de tamanho n×n,
existe uma base do R n consistindo de autovetores de A?
O Problema da Diagonalização (Versão Matricial): dada uma
matriz A de tamanho n × n, existe uma matriz invertível P tal que P −1 AP
é uma matriz diagonal?
Este último problema sugere a seguinte terminologia.
Definição B.4.1 Uma matriz quadrada A é dita diagonalizável se existir
uma matriz invertível P tal que P −1 AP é uma matriz diagonal; dizemos,
então, que a matriz P diagonaliza A.
O seguinte teorema mostra que o problema do autovetor e o problema
de diagonalização são equivalentes.
Teorema B.4.2 Se A é uma matriz n × n, então são equivalentes as
seguintes afirmações:
1. A é diagonalizável;
2. A tem n autovetores linearmente independentes.
prova: exercício (ver [1], Teorema 7.2.1).

UNIVATES – Centro Universitário 227
B.4.1 Um Procedimento para Diagonalizar uma Matriz
O Teorema B.4.2 garante que uma matriz A de tamanho n × n com n
autovetores linearmente independentes é diagonalizável e a prova fornece o
seguinte método para diagonalizar A.
Passo 1: encontre n autovetores linearmente independentes de A,
digamos p1, p2, . . ., pn;
Passo 2: forme a matriz P com os vetores-coluna p1, p2, . . ., pn;
Passo 3: a matriz P −1 AP será, então, diagonal com entradas λ1, λ2,
. . ., λn na diagonal principal, onde λi é o autovalor associado a pi,
para i = 1, 2, . . . , n.
Para executar o Passo 1 deste procedimento precisamos, inicialmente,
de uma maneira de determinar se uma matriz n × n A tem n autovetores
linearmente independentes e, em seguida, de um método para encontrar
estes autovetores. Ambos estes problemas podem ser atacados simultaneamente
encontrando bases para os auto-espaços de A. Adiante nesta seção
nós mostraremos que, como um só conjunto combinado, os vetores destas
bases são linearmente independentes, de modo que se houver n destes autovetores
então A será diagonalizável e os n vetores de bases podem ser usados
como vetores-coluna da matriz diagonalizante P . Se houver menos do que
n vetores de base, então A não será diagonalizável.
Exemplo ⎡ B.4.3 ⎤ Encontre a matriz P que diagonaliza a matriz
0 0 −2
A = ⎣ 1 2 1 ⎦.
1 0 3
Solução
No exemplo B.3.9 verificamos que (λ − 1)(λ − 2) 2 = 0 é a equação
característica de⎡A e encontramos ⎤ ⎡ as ⎤ seguintes bases⎡de auto-espaços: ⎤
−1
0
−2
λ = 2: p1 = ⎣ 0 ⎦, p2 = ⎣ 1 ⎦; λ = 1: p3 = ⎣ 1 ⎦.
1
0
1
Há ⎡ três vetores de ⎤ base no total, portanto a matriz A é diagonalizável e
−1 0 −2
P = ⎣ 0 1 1 ⎦ diagonaliza A.
1 0 1
Para conferir, o leitor deveria verificar que
P −1 ⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
1 0 2 0 0 −2 −1 0
⎤
−2
⎡
2 0
⎤
0
AP = ⎣ 1 1 1 ⎦ ⎣ 1 2 1 ⎦ ⎣ 0 1 1 ⎦ = ⎣ 0 2 0 ⎦.
−1 0 −1 1 0 3 1 0 1 0 0 1
Não existe uma ordem preferencial para as colunas de P . Como a i-ésima
entrada diagonal de P −1AP é um autovalor para o i-ésimo vetor-coluna de
P , mudando a ordem das colunas de P só muda a ordem dos autovalores na

UNIVATES – Centro Universitário 228
diagonal de P −1AP . Assim, se tivéssemos escrito P = ⎣
exemplo B.4.3, nós teríamos obtido P −1AP = ⎣
⎡
⎡
2 0 0
0 1 0
0 0 2
−1 −2 0
0 1 1
1
⎤
1 0
Exemplo ⎡ B.4.4 ⎤ Encontre a matriz P que diagonaliza a matriz
1 0 0
A = ⎣ 1 2 0 ⎦.
−3 5 2
Solução
O polinômio característico de A é
λ − 1 0 0
det(λI − A) =
−1 λ − 2 0
3 −5 λ − 2 = (λ − 1)(λ − 2)2 ,
⎦.
⎤
⎦ no
de modo que a equação característica é (λ − 1)(λ − 2) 2 = 0. Assim, os
autovalores de A são λ = 1 e λ = 2. Efetuando os cálculos, mostra-se que
as bases dos auto-espaços ⎡ ⎤ são
1
8
− 1
8
λ = 1: p1 = ⎣ ⎦; λ = 2: p2 = ⎣ ⎦.
1
1
Como A é 3 × 3 e só existem dois vetores de base no total, A não é
diagonalizável.
Solução Alternativa
Se nós não estivermos interessados em encontrar a matriz diagonalizante
P , mas só em determinar se uma dada matriz é ou não diagonalizável, então
não é necessário calcular bases para os auto-espaços, bastando encontrar
as dimensões dos auto-espaços. Neste ⎡ exemplo, o auto-espaço ⎤ ⎡ ⎤ associado ⎡ ⎤ a
0 0 0 x1 0
λ = 1 é o espaço-solução do sistema ⎣ −1 −1 0 ⎦ ⎣ x2 ⎦ = ⎣ 0 ⎦.
3 −5 −1 x3 0
A matriz dos coeficientes tem posto 2 (verifique!). Portanto, pela definição
6.3.12, a nulidade desta matriz é 1 e então o espaço-solução é unidimensional
(Teorema 6.5.4).
⎡ O auto-espaço ⎤ ⎡ associado ⎤ ⎡ a⎤λ = 2 é o espaço solução do sistema
1 0 0 x1 0
⎣ −1 0 0 ⎦ ⎣ x2 ⎦ = ⎣ 0 ⎦.
3 −5 0 x3 0
Esta matriz de coeficientes também tem posto 2 e nulidade 1 (verifique!),
de modo que o espaço-solução associado a λ = 2 também é unidimensional.
Como os auto-espaços produzem um total de dois vetores de base, a matriz
A não é diagonalizável.
No exemplo B.4.3 supusemos que os vetores-coluna de P , que consistem
de vetores de bases dos vários auto-espaços de A, são linearmente independentes.
O próximo teorema trata desta suposição.
⎡
0
0
⎤

UNIVATES – Centro Universitário 229
Teorema B.4.5 Se v1, v2, . . . , vk são autovetores de A associados a autovalores
distintos λ1, λ2, . . . , λk, então {v1, v2, . . . , vk} é um conjunto linearmente
independente.
prova: exercício (ver [1], Teorema 7.2.2).
Observação B.4.6 O Teorema B.4.5 é um caso especial de um resultado
mais geral: suponha que λ1, λ2, . . . , λk são autovalores distintos e que
escolhemos um conjunto linearmente independente em cada auto-espaço correspondente.
Se nós juntarmos todos estes vetores num único conjunto, o
resultado é um conjunto que ainda é linearmente independente.
Corolário B.4.7 Se uma matriz A de tamanho n×n tem n autovalores
distintos, então A é diagonalizável.
prova: Se v1, v2, . . . , vn são autovetores associados aos autovalores distintos
λ1, λ2, . . . , λn então, pelo Teorema B.4.5, v1, v2, . . . , vn são linearmente
independentes. Assim, A é diagonalizável pelo Teorema B.4.2.
Exemplo B.4.8 Pelo Teorema B.3.5, os autovalores de uma matriz triangular
são as entradas na diagonal principal. Assim, uma matriz triangular
com entradas distintas na diagonal é diagonalizável.
B.4.2 Multiplicidades Geométrica e Algébrica
O Teorema B.4.7 não resolve totalmente o problema da diagonalização,
pois é possível para uma matriz A de tamanho n × n ser diagonalizável
sem que tenha n autovalores distintos. Nós vimos no exemplo B.4.3, onde
a dada matriz 3 × 3 tinha somente dois autovalores distintos e no entanto
era diagonalizável. O que realmente importa para a diagonalização são
as dimensões dos auto-espaços – a soma destas dimensões deve totalizar n
para que a matriz n × n seja diagonalizável. Os exemplos B.4.3 e B.4.4
ilustram isto: as matrizes daqueles exemplos tinham as mesmas equações
características e os mesmos autovalores, mas a matriz do exemplo B.4.3
é diagonalizável porque as dimensões dos auto-espaços somam 3 enquanto
que a matriz do exemplo B.4.4 não é diagonalizável porque as dimensões dos
auto-espaços somam somente 2.
Agora abordaremos superficialmente um tópico que é importante para
um melhor entendimento da diagonalizabilidade. Pode ser provado que se
λ0 é um autovalor de A, então a dimensão do auto-espaço associado a λ0
não pode exceder o número de vezes que λ − λ0 aparece como um fator do
polinômio característico de A.
Por exemplo, nos exemplos B.4.3 e B.4.4 o polinômio característico é
(λ − 1)(λ − 2) 2 . Assim, o auto-espaço associado a λ = 1 é no máximo (e,
portanto, exatamente) unidimensional e o auto-espaço associado a λ = 2
é no máximo bidimensional. No exemplo B.4.3, o auto-espaço associado
a λ = 2 de fato tem dimensão 2, resultando em diagonalizabilidade, mas
no exemplo B.4.4, este auto-espaço tem dimensão somente 1, resultando na
não-diagonalizabilidade.

UNIVATES – Centro Universitário 230
Existe alguma terminologia relacionada com este assunto.
Se λ0 é um autovalor de uma matriz A de tamanho n × n, então a dimensão
do auto-espaço associado a λ0 é chamada multiplicidade geométrica
de λ0 e o número de vezes que λ − λ0 aparece como um fator do polinômio
característico de A é chamado multiplicidade algébrica de λ0.
O teorema a seguir resume esta discussão.
Teorema B.4.9 Se A é uma matriz quadrada, então:
1. Para cada autovalor de A, a multiplicidade geométrica é menor do que
ou igual à multiplicidade algébrica;
2. A é diagonalizável se, e somente se, para cada autovalor, a multiplicidade
geométrica é igual à multiplicidade algébrica.
prova: desafio! (ver [9]).
Existem inúmero problemas de matemática aplicada que requerem calcular
potências elevadas de uma matriz quadrada. Nós concluiremos esta
seção mostrando como a diagonalização pode ser usada para simplificar tais
cálculos para matrizes diagonalizáveis.
Se A é uma matriz n × n e P é uma matriz invertível, então
(P −1 AP ) 2 = P −1 AP P −1 AP = P −1 AIAP = P −1 A 2 P.
Mais geralmente, para qualquer inteiro positivo k,
(P −1 AP ) k = P −1 A k P.
Segue desta equação que se A for diagonalizável e se P −1 AP = D é uma
matriz diagonal, então
P −1 A k P = (P −1 AP ) k = D k .
Resolvendo esta equação em A k , obtemos
A k = P D k P −1 .
Esta última equação expressa a k-ésima potência de A em termos da k-ésima
potência da matriz diagonal D. Mas Dk ⎡
⎤
é fácil de calcular; por exemplo, se
d1 0 . . . 0
⎢ 0 d2 . . . 0 ⎥
D = ⎢
⎣
.
. . ..
⎥
. ⎦
0 0 . . . dn
, então Dk ⎡
d
⎢
= ⎢
⎣
k 1 0 . . . 0
0 dk ⎤
2 . . . 0 ⎥
.
. . ..
⎥
. ⎦ .
Exemplo B.4.10 Calcule A13 , onde A = ⎣
Solução
0 0 . . . d k n
⎡
0 0 −2
1 2 1
1 0 3
⎤
⎦.

UNIVATES – Centro Universitário 231
Mostramos no exemplo B.4.3 que a matriz A é diagonalizável e que
D = P −1 ⎡ ⎤
2 0 0
AP = ⎣ 0 2 0 ⎦. Assim,
0 0 1
⎡
A 13 = P D 13 P = ⎣
−8190 0 −16382
8191 8192 8191
8191 0 16383
⎤
⎦ .
Observação B.4.11 A maior parte do trabalho no método do exemplo
acima é diagonalizar A. Uma vez concluído este trabalho, podemos calcular
qualquer potência de A. Assim, para calcular A 1000 nós só precisamos trocar
os expoentes 13 para 1000 no cálculo acima.
B.5 Diagonalização Ortogonal
Analisaremos o problema de encontrar uma base ortonormal do R n com
o produto interno euclidiano que consista de autovetores de uma dada matriz
A de tamanho n × n.
B.5.1 Matrizes Ortogonais: Mudança de Bases
Uma base que é conveniente para um problema pode não o ser para outro,
de modo que a mudança de uma base para outra é um processo comum no
estudo de espaços vetoriais. Como uma base é uma generalização de um
sistema de coordenadas para espaços vetoriais, mudar de bases é parecido
com mudar de eixos coordenados em R 2 ou R 3 .
Nesta subseção iremos desenvolver algumas propriedades de matrizes
quadradas com vetores-coluna ortogonais. Estas matrizes surgem em vários
contextos, incluindo problemas envolvendo a mudança de base ortonormal
para outra.
Matrizes cujas inversas podem ser obtidas por transposição são suficientemente
importantes para possuir alguma terminologia associada.
Definição B.5.1 Uma matriz ortogonal é uma matriz quadrada A com
a propriedade A −1 = A t .
Decorre desta definição que uma matriz quadrada A é ortogonal se, e
somente se, AA t = A t A = I.
Exemplo B.5.2 A matriz canônica para rotação anti-horária do R 2 por
um ângulo θ,
(verifique!).
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
, é ortogonal para todas as escolhas de θ
De fato, é simples verificar que todas as “matrizes de reflexão”, e todas
as “matrizes de rotação ” são matrizes ortogonais.
Os próximos dois teoremas serão apresentados sem demonstração. O
leitor interessado pode consultar ([1], Teoremas 6.5.1 e 6.5.2).

UNIVATES – Centro Universitário 232
Teorema B.5.3 As seguintes afirmações são equivalentes para uma matriz
A de tamanho n × n:
1. A é ortogonal;
2. Os vetores-linha de A formam um conjunto ortonormal do R n em
relação ao produto interno euclidiano;
3. Os vetores-coluna de A formam um conjunto ortonormal do R n em
relação ao produto interno euclidiano.
Teorema B.5.4
1. A inversa de uma matriz ortogonal é ortogonal;
2. Um produto de matrizes ortogonais é ortogonal;
3. Se A é ortogonal, então det(A) = 1 ou det(A) = −1.
Já observamos que as matrizes canônicas para operadores básicos de
reflexão e rotação do R 2 e R 3 são ortogonais. O próximo teorema ajuda a
explicar porque isto é assim.
Teorema B.5.5 Se A é uma matriz n × n, as seguintes afirmações são
equivalentes:
1. A é ortogonal;
2. ||Ax|| = ||x|| para qualquer x ∈ R n , onde || || indica a norma segundo
o produto escalar euclidiano;
3. Ax · Ay = x · y para quaisquer x, y ∈ R n .
prova: desafio! (ver [1], Teorema 6.5.3)
Se T : R n → R n é a multiplicação por uma matriz ortogonal A, então T
é chamado operador ortogonal do R n . Pelas partes (1). e (2). do teorema
precedente, decorre que os operadores ortogonais do R n são precisamente os
operadores que mantêm inalterados os comprimentos de todos os vetores.
Como as reflexões e as rotações do R 2 e do R 3 têm esta propriedade, isto
explica nossa obesrvação anterior que as matrizes canônicas para as reflexões
e rotações básicas no R 2 e no R 3 são ortogonais.
Voltemos aos problemas de diagonalização. Como na seção anterior,
começamos enunciando dois problemas. Nosso objetivo é mostrar que os
dois são equivalentes.
O Problema dos Autovetores Ortonormais: dada uma matriz A
de tamanho n ×n, existe uma base ortonormal do R n com o produto interno
euclidiano consistindo de autovetores da matriz A?
O Problema da Diagonalização Ortogonal (Versão Matricial):
dada uma matriz A de tamanho n × n, existe uma matriz ortogonal P tal
que a matriz P −1 AP = P t AP é uma matriz diagonal? Se existir uma tal
matriz, dizemos que A é ortogonalmente diagonalizável e que P diagonaliza
A ortogonalmente.
Para o último problema, temos duas questões a considerar:

UNIVATES – Centro Universitário 233
Quais matrizes são ortogonalmente diagonalizáveis?
Como encontrar uma matriz ortogonal que efetue a diagonalização?
Com relação à 1 a questão, não existe esperança de diagonalizar A ortogonalmente
a menos que A seja simétrica (ou seja, A = A t ). De fato,
se P t AP = D, onde P é uma matriz ortogonal e D é diagonal, temos que
P P t = P t P = I e, portanto, A = P DP t . Como D é uma matriz diagonal,
temos D = D t . Transpondo ambos os lados da equação anterior, obtemos
A t = (P DP t ) t = (P t ) t D t P t = P DP t = A, donde A é simétrica.
O próximo teorema mostra que qualquer matriz simétrica é, de fato,
ortogonalmente diagonalizável. Neste teorema, e no restante desta seção,
ortogonal significa ortogonal em relação ao produto interno euclidiano do
R n .
Teorema B.5.6 Se A é uma matriz n×n, então as seguintes afirmações
são equivalentes:
1. A é ortogonalmente diagonalizável;
2. A tem um conjunto ortonormal de n autovetores;
3. A é simétrica.
prova: exercício (ver [1], Teorema 7.3.1).
Nosso próximo objetivo é construir um procedimento para diagonalizar
ortogonalmente uma matriz simétrica, mas antes de poder fazer isto, precisamos
de um resultado essencial sobre autovalores e autovetores de matrizes
simétricas.
Teorema B.5.7 Se A é uma matriz simétrica, então:
1. Os autovalores de A são reais;
2. Autovetores de auto-espaços diferentes são ortogonais.
prova: ver ([1], Teorema 7.3.2).
Observação B.5.8 Mostra-se que a primeira afirmação do teorema
acima é falsa para matrizes com entradas complexas.
B.5.2 Diagonalização de Matrizes Simétricas
Como uma conseqüência do Teorema B.5.7, obtemos o seguinte procedimento
para diagonalizar ortogonalmente uma matriz simétrica.
Passo 1: encontre uma base para cada auto-espaço de A;
Passo 2: aplique o processo de Gram-Schmidt a cada uma destas
bases para obter uma base ortonormal de cada auto-espaço;
Passo 3: forme a matriz P cujas colunas são os vetores de base construídos
no Passo 2; esta matriz diagonaliza A ortogonalmente.

UNIVATES – Centro Universitário 234
A justificativa para este procedimento deveria ser clara. O Teorema B.5.7
garante que autovetores de auto-espaços diferentes são ortogonais, enquanto
a aplicação do processo de Gram-Schmidt garante que os autovetores obtidos
dentro de um mesmo auto-espaço são ortonormais. Desta maneira, o
conjunto inteiro de autovetores obtidos por este procedimento é ortonormal.
Exemplo ⎡ B.5.9 Encontre ⎤ uma matriz ortogonal P que diagonaliza a
4 2 2
matriz A = ⎣ 2 4 2 ⎦.
2 2 4
Solução
A equação característica de A é det(λI −A) = (λ−2) 2 (λ−8) = 0. Assim,
os autovalores de A são λ = 2 e λ = 8. Pelo método usado no exemplo B.3.9,
pode ser mostrado que u1 = (−1, 1, 0) t e u2 = (−1, 0, 1) t formam uma base
do auto-espaço correspondente a λ = 2. Aplicando o processo de Gram-
Schmidt a {u1, u2} obtemos os seguintes vetores ortonormais:
v1 =
− 1 √ ,
2 1 t √ , 0
2
e v2 =
− 1 √ , −
6 1 √ ,
6 2 t √ .
6
O auto-espaço associado a λ = 8 tem uma base formada pelo vetor
u3 = (1, 1, 1) t . Aplicando o processo de Gram-Schmidt a {u3} obtemos
1
v3 = √3 , 1 √ ,
3 1
t √ .
3
Finalmente, usando v1, v2 e v3 ⎡
⎤ como vetores-coluna, obtemos
P =
⎢
⎣
− 1 √ −
2 1 √
6
√1 −
2
1 √
6
√6 2
0
√1 3
√1 3
√1 3
⎥
⎦ que diagonaliza A ortogonalmente (Para con-
ferir, o leitor interessado pode querer verificar que P t AP é uma matriz
diagonal).
A esta altura, sugerimos fortemente ao leitor a resolução dos exercícios
computacionais de [1], pgs. 255-256.
C H A E TING ER

Apêndice C
Produto Escalar
ste capítulo irá abordar alguns tópicos sobre o produto escalar. O
leitor interessado deve aprofundar o estudo em [4], [9], [33] ou [35].
Definição C.0.10 Chama-se produto escalar (ou produto interno euclidiano)
de dois vetores u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2), denotado u ·v, ao
número real
u · v = x1x2 + y1y2 + z1z2 = 〈u, v〉,
que se lê “u escalar v”.
Observação C.0.11 Em R 2 : dados os vetores u = (x1, y1) e
v = (x2, y2), temos que u · v = x1x2 + y1y2.
Exemplo C.0.12 Sejam u = (3, −2, 4) e v = (2, 1, −4) vetores do R 3 .
Então u · v = 6 − 2 − 16 = −12.
Observação C.0.13 u · u = ||u|| 2 , logo ||u|| = √ u · u.
Propriedade C.0.14 São propriedades do produto escalar, para todo
u, v, w ∈ R 3 , e para todo k ∈ R:
1. u · u ≥ 0 e u · u = 0 ⇔ u = 0;
2. u · v = v · u;
3. u · (v + w) = u · v + u · w;
4. k(u · v) = (ku) · v = u · (kv).
Teorema C.0.15 Para quaisquer vetores u = 0 e v = 0,
onde θ = ∠(u, v).
u · v = ||u|| · ||v|| · cos θ,
235

UNIVATES – Centro Universitário 236
Observação C.0.16 Pelo teorema acima, temos que:
1. Se u · v > 0, então cos θ > 0 e 0 ≤ θ < 90. Portanto o ângulo é agudo
ou nulo;
2. Se u · v < 0, então cos θ < 0 e 90 < θ ≤ 180. Portanto o ângulo é
obtuso;
3. u · v = 0 ⇔ u ⊥ v: de fato, se u = 0 ou v = 0, ok! Por outro lado, se
u = 0 e v = 0, então
u · v = 0 ⇔ cos θ = 0 ⇔ θ = 90 ⇔ u ⊥ v.
Vejamos agora algumas conseqüências imediatas:
1. Ângulo entre Dois Vetores: (0 ≤ θ ≤ π). Sejam u = 0 e v = 0
vetores, e θ = ∠(u, v). Então
u · v
θ = arccos
.
||u|| · ||v||
2. Desigualdade de Schwartz: para todo u e v vetores, temos
||u · v|| ≤ ||u|| · ||v||.
3. Desigualdade Triangular: para todo u e v vetores, temos
Observação C.0.17
||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||.
É fácil ver que:
1. ||u + v|| 2 = ||u|| 2 + 2u · v + ||v|| 2 ;
2. ||u − v|| 2 = ||u|| 2 − 2u · v + ||v|| 2 ;
3. (u + v) · (u − v) = ||u|| 2 − ||v|| 2 .
Exemplo C.0.18 Determine os vetores unitários simultaneamente ortogonais
a u = (1, 1, 1) e v = (1, 2, 3).
⎧
⎨
Solução
Seja w = (x, y, z) tal que
x + y + z = 0
x + 2y + 3z = 0
⎧
⎨
⎩
w · u = 0
w · v = 0
|| w|| = 1
, isto é,
⎩
x2 + y2 + z2 . Então é fácil ver que os vetores-solução são
= 1
√ √
6 6
w1 = 6 , − 3 ,
√ √
6
6
6 e w2 = − 6 ,
√ √
6 6
3 , − 6 .

UNIVATES – Centro Universitário 237
Exemplo C.0.19 Prove que as diagonais de um quadrado são perpendiculares.
Solução
Ora, sendo u e v os lados de um retângulo, temos que suas diagonais são
dadas por u + v e u − v. No caso particular do quadrado, usando a relação
(u + v) · (u − v) = . . . = ||u|| 2 − ||v|| 2 = 0, o resultado é imediato.
Exemplo C.0.20 Calcule o ângulo entre os vetores u = (1, 1, 4) e
v = (−1, 2, 2).
Basta usar cos θ = u·v
||u||·||v|| =
Solução
√ 2
2
. Logo θ = π
4
.
Observação C.0.21 Se u = (a, b) e v = (c, d) são vetores não-nulos,
podemos escrever cos θ = u·v
||u||·||v|| , onde θ = ∠(u, v). Substituindo, obtemos
cos θ =
a
√ a 2 + b 2 ·
c
√ c 2 + d 2 +
b
√ a 2 + b 2 ·
d
√ . (C.1)
c2 + d2 Se chamarmos de α e β os ângulos que u e v formam com o eixo OX,
b
respectivamente, temos que θ = α − β, cos α = , sin α =
cos β =
√ c
d
, sin β =
c2 +d2 √ . E, por (C.1),
c2 +d2 a
√ a 2 +b 2
cos(α − β) = cos α · cos β + sin α · sin β.
√ a 2 +b 2 ,
C.1 Ângulos Diretores e Cossenos Diretores de
um Vetor
Definição C.1.1 Seja v = (x, y, z) = 0. Ângulos diretores de v são
os ângulos α, β e γ que v forma com os vetores ı, j e k, respectivamente.
Cossenos diretores de v são os cossenos de seus ângulos diretores.
É fácil ver então que as componentes do versos de v são os seus cossenos
diretores. De fato, cos α = x
y
z
||v|| , cos β = ||v|| , cos γ = ||v|| , donde
x y z
(cos α, cos β, cos γ) = , , =
||v|| ||v|| ||v||
1
v
(x, y, z) =
||v|| ||v|| .
Portanto, ||(cos α, cos β, cos γ)|| = 1 ⇒ cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.
Também observa-se que: v = ||v|| · v
||v|| = ||v|| · (cos α, cos β, cos γ).
Observação C.1.2 Seja v = (x, y, z) um vetor qualquer do espaço. Podemos
reescrevê-lo como v = xı + yj + z k. Então todo vetor do espaço pode
ser representado por
v = ||v|| · (cos α, cos β, cos γ).
Da mesma forma no plano: seja v = (x, y). Então v
||v|| = (cos α, sin α).
Donde v = ||v||(cos α, sin α) = ||v||(cos αı + sin αj)(forma polar). Logo, todo
vetor u = (x, y) no plano pode ser escrito como
u = ||v||(cos α, sin α).

UNIVATES – Centro Universitário 238
Exemplo C.1.3 Os ângulos diretores de um vetor são α = 45 o , β = 60 o
e γ. Determine o valor de γ. Encontre o versos do vetor que possui ângulos
diretores α, β e γ.
Solução
cos2 γ = 1 − cos2 α − cos2 β = 1
Logo v
||v|| =
√ 2
2
, 1
2
, 1
2
ou v
||v|| =
√ 2
2
4 . Então γ = 60o ou γ = 120 o .
, 1
2
, − 1
2
.
Exemplo C.1.4 Dê as componentes do vetor v de comprimento 7 cm,
radianos. R : v =
tal que o ângulo formado entre ı e v seja π
4
C.2 Projeção de um Vetor
√
7 2
2 , 7√2 2
Definição C.2.1 Sejam u e v vetores não-nulos, e seja θ = ∠(u, v).
Definimos o vetor projeção de u na direção de v por:
u · v
projvu = ·
||v||
v
||v|| =
u · v
||v|| 2
· v.
Exemplo C.2.2 Determine a projeção de u = 6ı−7j sobre v = −3ı+2j.
projvu = (−18−14)
( √ 9+4) 2 · (−3, 2) = 96
Solução
64
13 , − 13 .
C H A E TING ER

Apêndice D
Processos Aleatórios:
Cadeias de Markov
D.1 Idéia Intuitiva
ara compreender o capítulo, exige-se um conhecimento mínimo sobre
probabilidades.
Pode-se considerar (numa primeira aproximação), em muitos processos
da natureza ou da sociedade, que um fenômeno passe, a partir de um estado
inicial, por uma seqüência de estados, de modo que a transição de cada um
para o seguinte ocorra segundo uma certa probabilidade.
Definição D.1.1 Um processo em que a probabilidade de transição do
fenômeno depende apenas do estado em que ele se encontra e do estado a
seguir é dito processo de Markov, e uma seqüência de estados seguindo
este processo é denominada cadeia de Markov.
Observação D.1.2 Esta simplificação do processo talvez seja demasiada,
tendo em vista que as probabilidades podem se modificar com o tempo.
Não obstante, este modelo já serve de auxílio para a previsão do comportamento
de certos fenômenos.
Exemplo D.1.3 Numa determinada região, observa-se que se um ano
for chuvoso, a probabilidade de o ano seguinte seja igualmente chuvoso é 1
4 ,
e a probabilidade de que haja estiagem é 3
4 . Ainda, em ocorrendo estiagem
num ano, a probabilidade de que também ocorra no seguinte é a mesma de
que seja um ano chuvoso, isto é, 1
2 . Suponhamos (para termos um indicador
de situação), que as probabilidades não mudem com o decorrer do tempo1 .
Os estados possíveis para este processo são, pois: chuva e estiagem.
Queremos saber em que estado estará esta região após um longo tempo (planejamento
estratégico).
1 Obviamente, isto não ocorre assim na prática
239

UNIVATES – Centro Universitário 240
Resolução
Com os dados acima, podemos construir a árvore de probabilidades indicativa
da seqüência dos acontecimentos (ver figura D.1).
1 o ano 2 o ano 3 o ano . . .
1/4 C ↗
↘
1/4 C
↑ ↩→ 3/4 E ↗
p
↘
(1)
↑
C C
↓ 1/2 C ↗
↘
↑ ↩→ 3/4 E
↑ ↩→ 1/2 E ↗
Referencial
↘
↓ 1/4 C ↗
↘
↓ 1/2 C
↓ ↑ ↩→ 3/4 E ↗
↩→ p
↘
(1)
E E
↓ 1/2 C ↗
↘
↩→ 1/2 E
↩→ 1/2 E ↗
↘
Figura D.1: Probabilidades de transição do fenômeno
Assim, supondo que no primeiro ano houve estiagem, a probabilidade de
que o terceiro ano seja chuvoso é
1 1 1 1 3
· + · =
2 4 2 2 8 .
Conforme o tempo passa, os cálculos se tornam mais trabalhosos. Portanto,
para previsões a longo prazo, precisaremos de outro procedimento.
Pode-se, neste momento, introduzir a noção de matriz das probabilidades
de transição, e a de vetor de probabilidades. A matriz T das probabilidades
de transição é obtida da tabela de probabilidades D.1, onde o elemento
na i-ésima linha e j-ésima coluna indica a probabilidade de transição
do j-ésimo para o i-ésimo estado.
C E
C 1/4 1/2
E 3/4 1/2
Tabela D.1: Probabilidades de transição

UNIVATES – Centro Universitário 241
⎡
1/4
⎤
1/2
T = ⎣ ⎦
3/4 1/2
Figura D.2: Matriz de transição
O vetor de probabilidades é a matriz cuja primeira linha dá a probabilidade
de que haja chuva no n-ésimo ano e a segunda dá a probabilidade de
que ocorra estiagem no n-ésimo ano.
⎡
⎢
⎣
p (n)
C
p (n)
E
⎤
⎥
⎦,
Figura D.3: Vetor de probabilidades
Pela árvore de probabilidades (tabela D.1), temos que
Observamos que
⎡ ⎤
⎢
T · ⎣
p (1)
C
p (1)
E
⎥
⎦ =
⎡
⎣
Portanto, ⎡
⎢
⎣
p (2)
C
p (2)
E
1
4
3
4
1
2
1
2
p (2)
C
p (2)
E
1 = 4p(1) 1
C + 2p(1) E
3 = 4p(1) 1
C + 2p(1) E
⎤
⎡
⎦ ⎢
· ⎣
⎤
p (1)
C
p (1)
E
⎡
⎥ ⎢
⎦ = T · ⎣
⎤
⎥
⎦ =
p (1)
C
p (1)
E
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦ .
1
4p(1) 1
C + 2p(1) E
3
4p(1) 1
C + 2p(1) E
O mesmo ocorre do segundo para o terceiro ano, deste para o quarto,
etc. Temos, pois, a seqüência:
1 o ano
⎡ ⎤
⎢
⎣
p (1)
C
p (1)
E
⎥ ⎢
⎦ ⎣
2 o ano
⎡
⎤
p (2)
C
p (2)
E
3 o ano
⎡
⎤
⎢
⎣
p (3)
C
p (3)
E
⎡
⎥ ⎢
⎦ = T · ⎣
⎥ ⎢
⎦ = T · ⎣
.
⎡
p (1)
C
p (1)
E
p (2)
C
p (2)
E
⎤
⎥
⎦
⎤
⎡
⎥
⎦ = T 2 ⎢
· ⎣
p (1)
C
p (1)
E
⎤
⎤
⎥
⎦ .
⎥
⎦

UNIVATES – Centro Universitário 242
n−ésimo ano
⎡ ⎤
⎢
⎣
p (n)
C
p (n)
E
.
⎡
⎥
⎦ = T n−1 ⎢
· ⎣
Deste modo, o comportamento do clima da região a longo prazo (quando
n aumenta) poderá ser previsto 2 se soubermos que os elementos das matrizes
T n , n = 1, 2, . . . se aproximam dos elementos de uma matriz fixa P pois,
p (1)
C
p (1)
E
neste caso, p (n)
C → p1 e p (n)
E → p2 quando n → ∞ com
⎡
⎣
p1
p2
⎤
⎡
⎦ ⎢
= P · ⎣
p (1)
C
p (1)
E
⎤
⎤
⎥
⎦
⎥
⎦ (D.1)
Se T n não se aproxima de uma matriz P , então não poderemos fazer
nenhuma previsão a longo prazo, pois o processo se modificará bastante a
cada passo.
Assim, um dos problemas que devemos resolver é quais são as condições
sobre a matriz T das probabilidades de transição, para que suas potências
se aproximem de uma determinada matriz.
Isto será respondido na próxima secção, junto com o término da resolução
do exemplo D.1.3.
D.2 Conceito
Definição D.2.1 Um processo aleatório de Markov (ver definição
D.1.1) é um processo que pode assumir estados a1, a2, . . . , ar, de tal modo
que a probabilidade de transição de um estado aj para um estado ai seja pij
(um número que só depende de aj e ai).
Definição D.2.2 A matriz das probabilidades de transição
matriz estocástica) é dada por:
(ou
⎡
p11
⎢ p21
T = ⎢
⎣ .
p12
p22
.
· · ·
· · ·
. ..
p1r
p2r
.
⎤
⎥
⎦
pr1 pr2 · · · prr
(Observe que pij ≥ 0, e que a soma de cada coluna deve ser 1).
Definição D.2.3 O vetor de probabilidades é aquele cuja i-ésima
linha dá a probabilidade de ocorrência do estado ai após n transições:
⎡ ⎤
p (n)
E
⎢
⎣
p (n)
1
.
p (n)
r
2
Tal previsão é importante, pois se chegarmos, por exemplo, à conclusão de que
→ 1 quando n → ∞, a longo prazo a região se ternará um deserto.
⎥
⎦

UNIVATES – Centro Universitário 243
Seguindo o raciocínio de exemplo D.1.3, após n passos, teremos:
⎡
⎢
⎣
p (n)
1
.
p (n)
r
⎤
⎡
⎥
⎦ = T n−1 ⎢
· ⎣
D.3 Previsões a Longo Prazo
p (1)
1
.
p (1)
r
Para podermos fazer previsões a longo prazo, a matriz T deve cumprir
certas condições que veremos a seguir:
Definição D.3.1 Uma matriz de probabilidades de transição é regular
se alguma de suas potências tem todos os elementos não nulos.
Teorema D.3.2 Seja Tr×r a matriz das probabilidades de transição de
um certo evento.Se T é regular, então:
(i) As potências T n aproximam-se de uma matriz P , no sentido de que
cada elemento de T n aproxima-se do elemento correspondente em P .
(ii) Todas as colunas de P são iguais, sendo dadas por um vetor-coluna
⎡ ⎤
V =
com p1 > 0, p2 > 0,. . . , pr > 0.
⎢
⎣
p1
.
pr
⎥
⎦ ,
(iii) Para qualquer vetor de probabilidades inicial
V1 =
⎡
⎢
⎣
p (1)
1
.
p (1)
r
o vetor de probabilidades T n V1 aproxima-se de V (dado no item anterior).
(iv) O vetor V é o único vetor que satisfaz V = T V .
prova: Ainda não é o momento oportuno.
Observação D.3.3 O teorema D.3.2 informa que se a matriz de
transição é regular, então é possível fazer uma previsão a longo prazo, previsão
esta independente das probabilidades iniciais V1. Ademais, o item (iv)
indica como achar esta probabilidade.
Observação D.3.4 Em linguagem técnica, o processo utilizado no item
(iv) do teorema D.3.2 para encontrar o vetor “final” de probabilidades, corresponde
à procura de um autovetor associado ao autovalor 1 da matriz
T .
⎤
⎥
⎦ ,
⎤
⎥
⎦ .

UNIVATES – Centro Universitário 244
D.3.1 Exemplos
Exemplo D.3.5 ⎡ Voltando ⎤ ao exemplo D.1.3, temos que a matriz de
1/4 1/2
transição T = ⎣ ⎦ é regular, pois ela mesma (potência 1) já tem
3/4 1/2
todos os elementos positivos. Logo, pelo item (iv) do teorema D.3.2, quaisquer
que sejam as probabilidades iniciais teremos, a longo prazo,
⎡
pC
⎣
⎤ ⎡
1/4
⎦ = ⎣
⎤ ⎡
1/2 pC
⎦ ⎣
⎤
⎦
3/4 1/2
pE
⎧
⎨ pC =
ou
⎩
1
4pC + 1
2pE pE = 3
4pC + 1
2pE ⎧
⎨ 2pE = 3pC
ou
⇒ pE =
⎩
3
2pC .
2pE = 3pC
Como devemos ter pC + pS = 1 (probabilidade total), temos pC + 3
2pC = 1
e, portanto, pC = 2
5 e pE = 3
5 . Desta feita, a longo prazo a região tenderá a
uma ligeira aridez.
Exemplo D.3.6 Suponhamos que em uma determinada região, a cada
ano 3% da população rural migra para as cidades, enquanto que apenas 1%
da população urbana migra para o meio rural. Se todas as demais condições
permanecerem estáveis, as condições políticas não mudarem, e estas porcentagens
de migração continuarem as mesmas, qual deve ser a relação entre
as populações urbana e rural desta região a longo prazo?
Resolução
Se a probabilidade de a população rural migrar para a cidade é 0, 03,
a probabilidade de não migração é 0, 97. Se a probabilidade da população
urbana migrar para o meio rural é 0, 01, a probabilidade de não migração é
0, 99. Denotando por U o meio urbano e por R o meio rural, a matriz das
probabilidades de transição é dada por
R U
R 0,97 0,01
U 0,03 0,99
A matriz é regular, logo, a longo prazo, as probabilidades pR e pU de
viver no meio rural e urbano, respectivamente, satisfazem
0, 97
0, 03
0, 01 pR
·
0, 99
pR
=
donde pU = 3pR e, como devemos ter pU + pR = 1, segue que pR = 0, 25 e
pU = 0, 75.
Assim, a longo prazo, teremos 25% da população no meio rural e 75%
no meio urbano.
pU
pE
pU

UNIVATES – Centro Universitário 245
Exemplo D.3.7 Observa-se empiricamente que, em condições naturais
e sem ser submetida à pesca industrial, a quantidade de uma certa espécie
de peixes varia da seguinte forma: se em um determinado ano a população
diminuiu, a probabilidade de que diminua ainda mais no ano seguinte é 0, 6
e, se em um determinado ano a população aumenta, a probabilidade de que
diminua no ano seguinte é apenas 0, 3. Entretanto, observa-se que sendo
submetida à pesca industrial, quando a população aumenta num determinado
ano, a probabilidade de que diminua no ano seguinte se altera para
0, 5, enquanto que se a população diminui num ano, a probabilidade de que
diminua no ano seguinte continua sendo 0, 6. Deseja-se saber como, a longo
prazo, a pesca industrial estará afetando os peixes dessa espécie, para ver se
é necessário diminuir a intensidade de pesca ou se, ao contrário, é possível
aumentá-la.
Resolução
Os estados deste processo são: diminuição da população (D) e aumento
da população (A). Então, sem haver pesca industrial, a matriz de probabilidades
de transição é, pois:
D A
D 0,6 0,3
A 0,4 0,7
Como a matriz é regular, as probabilidades pD e pA da população dimi-
nuir ou aumentar a longo prazo, respectivamente, são:
0, 6
0, 4
0, 3 pD
·
0, 7
pD
=
. Portanto, em
condições naturais, a espécie tem sobrevivência razoavelmente garantida.
Com a pesca industrial, a matriz se altera para
Lembrando que pD + pA = 1, segue que pD = 3
7 e pA = 4
7
pA
D A
D 0,6 0,5
A 0,4 0,5
Como a matriz é regular, a longo prazo pD e pA são dadas por
pD pD
0, 6 0, 5
0, 4 0, 5
·
. Portanto, se submetida à pesca industrial,
a sobrevivência da espécie estará comprometida. Logo, deve-se diminuir a
pesca.
Assim, pD = 5
9 e pA = 4
9
Exemplo D.3.8 Duas substâncias distintas estão em contato a trocam
íons de sódio entre si. Por dedução teórica ou empírica, sabe-se que um íon
de sódio do meio (1) abaixo tem probabilidade 0, 7 de passar ao meio (2),
enquanto que um íon de sódio do meio (2) tem probabilidade 0, 1 de passar
para o meio (1) (ver figura D.3.1). Colocando-se 2 móis de sódio no meio
(1), quais serão as concentrações de sódio em cada um dos meios, após um
longo período de tempo?
pA
=
pA
pA

UNIVATES – Centro Universitário 246
meio (1) meio (2)
Na + →
← Na +
Figura D.4: Distribuição de íons de sódio em dois meios
Resolução
Os estados deste processo são: o íon está no meio (1) e o íon está no
meio (2). A matriz de transição é:
meio (1) meio (2)
meio (1) 0,3 0,1
meio (2) 0,7 0,9
Sejam p1 e p2 as respectivas probabilidades de estar no meio (1) ou (2).
No instante inicial, todo o sódio foi colocado no meio (1), então p (1)
1 = 1
e p (1)
2 = 0. A matriz é regular, logo a longo prazo as probabilidades não
dependem das probabilidades iniciais, e devem satisfazer
0, 3 0, 1
0, 7 0, 9
·
p1
p2
Temos p1 + p2 = 1 ∴ p1 = 1
8 e p2 = 7
8
=
p1
. Logo, as concentrações finais de
sódio em cada meio são 1
7
8 · 2 = 0, 25 móis no meio (1) e 8 · 2 = 1, 75 móis
no meio (2).
D.4 Previsões em Genética
Fazendo algumas pequenas modificações nas idéias que utilizamos nos
processos de Markov, é possível estudar vários problemas genéticos.
O tipo mais simples de transmissão de herança genética é efetuado
através de pares de genes, podendo estes ser ambos dominantes, recessivos,
ou um dominante e outro recessivo. Chamemos G o gene dominante e
g o recessivo . Um indivíduo será chamado dominante se tiver genes GG,
híbrido se tiver genes Gg, e recessivo, caso os genes sejam gg. Um indivíduo
herda seus genes ao acaso, um deles de seu pai e o outro de sua
mãe. Assim, nos vários tipos de cruzamento, temos probabilidades distintas
de transmissão de herança genética.
Exemplo D.4.1 No caso de cruzamento entre dominantes, teremos somente
filhos dominantes.
p2

UNIVATES – Centro Universitário 247
↗ GG com probabilidade 1
GG cruzado com GG → Gg com probabilidade 0
↘ gg com probabilidade 0
Tabela D.2: Cruzamento entre indivíduos dominantes
Exemplo D.4.2 Cruzando indivíduos recessivos, teremos:
↗ GG com probabilidade 0
gg cruzado com gg → Gg com probabilidade 0
↘ gg com probabilidade 1
Tabela D.3: Cruzamento entre indivíduos recessivos
Exemplo D.4.3 Cruzando um dominante com um recessivo, temos:
↗ GG com probabilidade 0
GG cruzado com gg → Gg com probabilidade 1
↘ gg com probabilidade 0
Tabela D.4: Cruzamento entre um indivíduo dominante e um recessivo
Exemplo D.4.4 No cruzamento de um indivíduo dominante (GG) com
um híbrido (Gg), temos como resultado indivíduos GG com probabilidade
0, 5; indivíduos Gg com probabilidade 0, 5, e não teremos indivíduos gg, i.e.,
a probabilidade de gg é 0.
Exemplo D.4.5 No caso de cruzarmos um indivíduo recessivo (gg) com
um híbrido (Gg), teremos probabilidade 0 para GG, probabilidade 0, 5 para
Gg, e probabilidade 0, 5 para gg.
Exemplo D.4.6 E, finalmente, no caso de dois indivíduos híbridos
(Gg), temos: indivíduos GG com probabilidade 0, 25; indivíduos Gg com
probabilidade 0, 5; e indivíduos gg com probabilidade 0, 25.
Notação: usaremos d para indicar qualquer característica dominante,
r para características recessivas, e h para indivíduos híbridos; além disso,
usaremos d × d, d × r, etc., para os representar os diversos cruzamentos
possíveis.
Colocando as probabilidades em colunas, podemos montar a seguinte
matriz T :

UNIVATES – Centro Universitário 248
d × d r × r d × r d × h r × h h × h
d 1 0 0 0,5 0 0,25
h 0 0 1 0,5 0,5 0,5
r 0 1 0 0 0,5 0,25
Tabela D.5: Cruzamento entre indivíduos
Observação D.4.7 Numa população numerosa composta por uma porcentagem
p (1)
d de indivíduos dominantes, p (1)
h de indivíduos híbridos e p(1) r
de indivíduos recessivos, a probabilidade de cruzamento de genes de um indivíduo
dominante com outro dominante é p (1)
d · p (1)
d . Se quisermos calcular
a probabilidade de um cruzamento entre um dominante e um híbrido, temos
que somar p (1)
d · p (1)
h (considerando o caso em que o primeiro é dominante e
o segundo é híbrido) a p (1)
h · p(1)
d . Assim, a probabilidade é de 2p(1)
d · p (1)
h . Os
outros casos seguem o mesmo raciocínio 3 .
Cruzamento Probabilidade
d × d p (1)
d · p (1)
d
r × r p (1)
r · p (1)
r
d × r 2p (1)
d · p (1)
r
d × h 2p (1)
d · p (1)
h
r × h 2p (1)
r · p (1)
h
h × h p (1)
h
· p(1)
h
Tabela D.6: Probabilidades dos diversos cruzamentos possíveis
É possível obter as porcentagens p (2)
d , p(2)
cruzamentos dos respectivos indivíduos:
⎡
⎢
⎣
p (2)
d
p (2)
h
p (2)
r
⎤
⎥
⎦ =
⎡
⎣
h e p (2)
1 0 0 1/2 0 1/4
0 0 1 1/2 1/2 1/2
0 1 0 0 1/2 1/4
r da segunda geração de
⎡
⎢
⎤ ⎢
⎦ · ⎢
⎣
p (1)
d · p (1)
d
p (1)
r · p (1)
r
2p (1)
d · p (1)
r
2p (1)
d · p (1)
h
2p (1)
r · p (1)
h
p (1)
h
· p(1)
h
Supondo que não haja novo cruzamento de indivíduos da primeira
geração 4 e uma vez obtidas as porcentagens de indivíduos da segunda
geração, podemos obter as porcentagens da terceira geração, e assim sucessivamente.
3
Estamos supondo que a característica genética analisada seja tal que não interfira no
cruzamento natural
4
O que, em geral, ocorre com populações de insetos, etc.
⎤
⎥
⎦

UNIVATES – Centro Universitário 249
Observação D.4.8 Desta forma, podemos obter o perfil genético de
qualquer geração, ainda que os cálculos sejam cada vez mais demorados.
Este tipo de análise, embora simples, é de suma importância em muitos
campos. Em particular, na Agricultura, para se ter uma idéia da propagação
da resistência genética a certos tipos de doenças, da resistência de insetos a
tipos de inseticidas, etc.
Exemplo D.4.9 Para se combater uma determinada espécie de insetos,
aplica-se um certo tipo de inseticida numa plantação. Após a aplicação
verifica-se que, dos poucos insetos sobreviventes, 60% eram resistentes ao
inseticida e os outros 40% não o eram (e haviam sobrevivido por razões
casuais). Sabe-se que o ciclo de vida desses insetos é de um ano e que eles
se cruzam apenas uma vez em cada geração. Ademais, ficou comprovado que
a resistência ao inseticida é uma característica dominante e que o inseticida
não foi aplicado novamente. Qual é a porcentagem de insetos resistentes ao
inseticida após dois anos?
Solução
Por ser uma característica dominante, os insetos resistentes podem ser de
genótipo GG ou Gg na relação de 1 : 2 e, assim, 20% dos insetos resistentes
= 0, 4
são dominantes e 40% são híbridos. Temos, portanto, p (1)
d
= 0, 2, p(1)
h
e p (1)
r = 0, 4 e assim, a distribuição da porcentagem dos insetos após um ano
é dada por
⎡
⎢
⎣
p (2)
d
p (2)
h
p (2)
r
⎤
⎥
⎦ =
⎡
⎣
1 0 0 1/2 0 1/4
0 0 1 1/2 1/2 1/2
0 1 0 0 1/2 1/4
ou seja, p (2)
d = 0, 16, p(2)
h
distribuição de insetos será dada por
⎡
⎢
⎣
p (3)
d
p (3)
h
p (3)
r
⎤
⎥
⎦ =
⎡
⎣
⎡
⎤ ⎢
⎦ · ⎢
⎣
(0, 2) · (0, 2)
(0, 4) · (0, 4)
2(0, 2) · (0, 4)
2(0, 2) · (0, 4)
2(0, 4) · (0, 4)
(0, 4) · (0, 4)
= 0, 48 e p(2)
r = 0, 36. Após mais um ano, a
1 0 0 1/2 0 1/4
0 0 1 1/2 1/2 1/2
0 1 0 0 1/2 1/4
⎡
⎤ ⎢
⎦ · ⎢
⎣
(0, 16) · (0, 16)
(0, 36) · (0, 36)
2(0, 16) · (0, 36)
2(0, 16) · (0, 48)
2(0, 36) · (0, 48)
(0, 48) · (0, 48)
ou seja, p (3)
d = 0, 16, p(3)
h = 0, 48 e p(3) r = 0, 36.
Assim, após dois anos, a porcentagem dos insetos resistentes ao inseticida
será de p (3)
d + p(3)
h = 0, 16 + 0, 48 = 0, 64, ou seja, 64% da população é
resistente. Dessa forma, se for necessária uma nova aplicação de inseticida,
não será conveniente aplicar o mesmo tipo, pois ele matará no máximo 36%
dos insetos.
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦

UNIVATES – Centro Universitário 250
Observação D.4.10 Observe que a distribuição dos insetos quanto
ao genótipo GG, Gg ou gg permaneceu a mesma nas segunda e terceira
gerações.
Exercício D.4.11 Calcule as probabilidades para a quarta geração de
insetos (depois de três anos) para o problema D.4.9.
Observação D.4.12 O resultado que você obteve no exercício D.4.11
não é uma casualidade. Existe uma “lei genética” que estabelece, sob
condições ideais, que depois da segunda geração a distribuição entre os
genótipos permanece a mesma. Assim, se partirmos de uma população onde
a formação inicial é dada por freqüências p (1)
d
temos:
= u, p(1)
h
Genótipo Geração inicial Gerações seguintes
GG u (u + v
2 )2
Gg v 2(u + v
v
2 )(w + 2 )
gg w (w + v
2 )2
= v e p(1)
r
= w,
Pode-se demostrar esta relação através do produto de matrizes (em momentos
de solidão).
Observação D.4.13 No modelo genético considerado nesta seção,
assume-se uma situação-padrão: não existe migração, os encontros são ao
acaso, não ocorrem mutações nem seleção, os dois sexos aparecem sempre
em quantidades iguais.
Observação D.4.14 Esta relação de estabilidade genética foi apresentada
independentemente, pelo matemático G.H. Hardy e o genético W.
Weinberg em 1908.
C H A E TING ER

Apêndice E
Somatórios
amos agora apresentar a você um símbolo que será bastante útil
para os itens que ainda desenvolveremos neste curso; e o faremos através de
um exemplo: imagine que queiramos representar a soma dos dez primeiros
termos de uma progressão:
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 + a10;
no sentido de sintetizar esta soma, usaremos o símbolo 10
i=1
ai que deve ser
lido: “somatório de ai, com i variando de um até dez”.
Note que o índice i pode ser substituído por qualquer outra letra; de
fato, a mesma soma apresentada anteriormente poderia também ser escrita
como: 10
aj ou 10
an ou 10
as. Muitas vezes aparecem também somatórios
j=1
n=1
s=1
duplos, triplos, etc., onde trabalhamos com dois, três, etc. índices.
E.1 Exemplos
Exemplo E.1.1 O somatório duplo
2
aij representa:
i,j=1
a11 + a12 + a21 + a22, ou seja, a soma dos termos da matriz quadrada
a11 a12
.
a21 a22
Exemplo E.1.2 O somatório triplo
2
aijk representa:
i,j,k=1
a111 + a112 + a121 + a122 + a211 + a212 + a221 + a222.
251

UNIVATES – Centro Universitário 252
E.2 Exercícios
Exercício E.2.1 Desenvolver o somatório n
i.
i=1
Exercício E.2.2 Desenvolver o somatório 7
i=3
Exercício E.2.3 Desenvolver o somatório 6
i=1
1
i .
i
i+1 .
Exercício E.2.4 Quantas parcelas há no somatório 121
Exercício E.2.5 Desenvolver o somatório n
a
i=0
ibn−i .
i=53
Exercício E.2.6 Desenvolver o somatório n
(−1) nai, nos casos:
1. n é par.
2. n é ímpar.
i=0
Exercício E.2.7 Escrever sob a forma de somatório:
a0x n + a1x n−1 + a2x n−2 + . . . + an−1x + an.
Exercício E.2.8 Escrever sob a forma de somatório:
1 − a + a 2 − a 3 + . . . + a 100 − a 101 .
Exercício E.2.9 Escrever sob a forma de somatório:
−1 + a − a 2 + a 3 − . . . − a 100 + a 101 .
Exercício E.2.10 Escrever sob a forma de somatório: (x + a) n .
Dica: Use o binômio de Newton.
Exercício E.2.11 Calcular o somatório 5
i=0
5
i .
Exercício E.2.12 Calcular o somatório 70
2.
i=23
ai?

UNIVATES – Centro Universitário 253
E.3 Algumas Propriedades
Propriedade E.3.1 α n
ai = n
(αai)
prova:
i=1
i=1
α n
ai = α(a1 + a2 + a3 + · · · + an−1 + an) =
i=1
Propriedade E.3.2
= αa1 + αa2 + · · · + αan−1 + αan =
= n
(αai)
i=1
n
(ai + bi) = n
ai + n
i=1
i=1
bi
i=1
prova: exercício.
Propriedade E.3.3 ( n
ai)( m
bj) = n m
i=1
prova: Seja B = m
bj; então:
j=1
j=1
aibj
i=1 j=i
( n
ai)(
i=1
m
bj) = (
j=1
n
ai) · B =
=
i=1
n
(aiB) =
=
i=1
n m
(ai bj) =
i=1
= n
m
j=1
aibj
i=1 j=1
Note que nesta demonstração utilizamos duas vezes a propriedade 1.
Propriedade E.3.4
n
i=1 j=1
m
aibj = m
n
aibj
j=1 i=1

UNIVATES – Centro Universitário 254
n
prova:
i=1 j=1
m
aibj = n
(aib1 + aib2 + · · · + aibm) =
i=1
= a1b1 + a1b2 + · · · + a1bm−1 + a1bm+
+a2b1 + a2b2 + · · · + a2bm−1 + a2bm+
·
·
·
+an−1b1 + an−1b2 + · · · + an−1bm−1 + an−1bm+
+anb1 + anb2 + · · · + anbm−1 + anbm =
= ( n
ai)b1 + ( n
ai)b2 + · · · + ( n
ai)bm−1 + ( n
ai)bm =
i=1
i=1
= m
( n
ai)bj =
= m
j=1 i=1
n
aibj
j=1 i=1
E.4 Respostas dos Principais Exercícios
E.2.1
E.2.2 153
140
E.2.3 617
140
n·(n+1)
2
E.2.4 121 − 53 + 1 = 69
E.2.7
n
aixn−i E.2.8
E.2.9
E.2.10
i=0
101
(−1)
i=0
iai
101
(−1)
i=0
i+1ai n
i=0
E.2.11 2 5 = 32
E.2.12 96
n
i xn−iai C H A E TING ER
i=1
i=1

Apêndice F
Tópicos sobre Retas e suas
Equações
F.1 Introdução
á estudamos alguns tópicos de Geometria Analítica. Assim, dados
dois pontos A(xA, yA) e B(xB, yB), sabemos que
dist(A, B) = (xB − xA) 2 + (yB − yA) 2 .
Além disso, o ponto médio de um segmento AB é M xA+xB
2 , yA+yB
2 .
Sabemos que uma equação do tipo y = mx + n, com m e n constantes,
representa uma reta e que a equação da circunferência de centro C(xC, yC)
e raio r é (x − xC) 2 + (y − yC) 2 = r2 .
Aqui, dedicar-nos-emos ao estudo analítico (algébrico) das retas.
Propriedade F.1.1 Numa reta não vertical, aos sucessivos aumentos
iguais nas abscissas (coordenadas X) de seus pontos, correspondem sucessivos
aumentos iguais (entre si) nas ordenadas dos mesmos.
Exercício F.1.2 Considere a reta de equação y = 3x − 5. Seus pontos
de abscissas 2, 3, 4 e 5 possuem ordenadas respectivamente iguais a:
Exercício F.1.3 Os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) pertencem à reta
y = 7x + 4. Sendo ∆x = xB − xA e ∆y = yB − yA:
1. Se ∆x = 1 então ∆y = ;
2. Se ∆x = 2 então ∆y = ;
3. Se ∆x = 6 então ∆y = .
255

UNIVATES – Centro Universitário 256
✻
✻
✻
✲
✲
✲
Figura F.1: Representação geométrica da propriedade construtiva de uma
reta
Exercício F.1.4 Os pontos A, B e C pertencem à reta y = 5x − 1.
Se suas abscissas constituem uma P.A. de razão 1, então suas ordenadas
constituem uma de razão . Este fato nos mostra que o gráfico
de y = 5x − 1, enquanto avança uma unidade apenas para a direita, sobe
unidades.
Exercício F.1.5 Comparando as declividades (inclinações) das retas
dadas por y = 2x + 13 e por y = 4x − 11, pode-se afirmar que a de maior
declividade é , pois ela, ao avançar uma unidade para a direita, sobe
unidades, enquanto a outra sobe apenas unidades.
Exercício F.1.6 Os pontos A, B, C, e D pertencem à reta y = −6x+5.
Se suas abscissas constituem uma P.A. de razão 1, então suas ordenadas
constituem uma de razão . Este fato nos mostra que o gráfico de
y = −6x + 5, enquanto avança uma unidade para a direita, unidades.
Exercício F.1.7 Comparando as inclinações das retas y = −17x + 31
e y = −9x + 57; aquela que mais se aproxima de uma posição vertical é
, pois ela, ao avançar uma unidade para a direita,
unidades, enquanto a outra apenas
unidades.

UNIVATES – Centro Universitário 257
Exercício F.1.8 Os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) pertencem à reta
y = 10x.
1. Se ∆x = 3, então ∆y = ;
2. Se ∆x = , então ∆y = 4.
Exercício F.1.9 Os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB), distintos, pertencem
à reta y = 2x + 3. Então, temos: ∆y = ∆x, ou seja, ∆y
∆x = .
F.2 Coeficiente Angular
Os exercícios acima indicam que a inclinação da reta r dada por
y = mx + n é sempre regulada pelo coeficiente m. Estudaremos isto mais
detalhadamente.
Suponhamos r não-horizontal, e seja A = r∩ OX formando α = ∠(r, OX)
no sentido anti-horário. Calculemos tan α.
Sejam A(xA, yA), B(xB, yB) ∈ r. Então, yA = mxA +n e yB = mxB +n.
1 o caso: 0 < α < 90:
yB
yA
α
xA
A
α
xB
B
C
Figura F.2: Coeficiente angular onde 0 < α < 90
Neste caso, 0 < α < 90, tem-se:
tan α = BC
AC = yB − yA
xB − xA
= (mxB + n) − (mxA + n)
xB − xA
= m (xB − xA)
xB − xA
Antes de prosseguir, vale lembrar que se α é obtuso, então:
tan(180 − α) = − tan α.
= m.

UNIVATES – Centro Universitário 258
Então
2 o caso: 90 < α < 180:
Neste caso, 90 < α < 180, tem-se:
yB B
yA
tan α = − tan(180 − α) = − BC
AC = − yB − yA
xA − xB
tan α = (mxB + n) − (mxA + n)
xB − xA
xB
C
xA
180 − α
A
α
= m (xB − xA)
xB − xA
= yB − yA
.
xB − xA
= m.
Figura F.3: Coeficiente angular onde 90 < α < 180
Finalmente, conclui-se que:
Coeficiente angular: m = tan α
Por isso, na reta dada por y = mx + n, chamaremos m de coeficiente
angular da reta.
Observação F.2.1 Os casos em que a reta é horizontal ou vertical serão
analisados mais tarde.
F.3 Coeficiente Linear
Na reta r de equação y = mx+n, o ponto de abscissa x = 0 tem ordenada
y = n. Portanto, (0, n) é o ponto de intersecção de r com o eixo OY . Na
reta dada por y = mx+n, o coeficiente n será chamado de coeficiente linerar
da reta.

UNIVATES – Centro Universitário 259
0
(0, n)
y = mx + n
Figura F.4: Coeficiente linear da reta
Exemplo F.3.1 Obtenha a equação da reta r indicada na figura abaixo.
45 o
Resolução
0
(0, 3)
A equação da reta r é y = mx + n, onde m = tan 45 = 1 e n = 3. Logo,
a equação pedida é y = x + 3.
Exercício F.3.2 Qual é o coeficiente angular da reta y = −5x + 7?
Exercício F.3.3 Obtenha os coeficientes angular e linear da reta de
equação 3x + 2y − 8 = 0.
r

UNIVATES – Centro Universitário 260
a.
60 o
c.
e.
Exercício F.3.4 Nos itens abaixo, obtenha a equação da reta:
(0, 1)
30 o
(0, 5)
60 o
d.
b.
135 o
(0, −3)
f.
(0, −2)
45 o
150 o
(0, −3)

UNIVATES – Centro Universitário 261
Exercício F.3.5 Na figura abaixo, OAB é um triângulo equilátero de
lado 3. Obtenha a equação da reta que os pontos A e B determinam.
A
B
O
Exercício F.3.6 Na figura abaixo, MNOP é um quadrado de lado 2.
Obtenha a equação da reta suporte da diagonal NP .
N M
O
P

UNIVATES – Centro Universitário 262
Exercício F.3.7 Na figura abaixo, ABCD é um quadrado de lado 2 √ 2.
Qual é a equação da reta que os pontos B e C determinam?
C
F.3.1 Um Caso à Parte
D
1 o caso: A reta r é horizontal.
Todos os pontos de r têm ordenadas iguais a n. Portanto, y=n .
Note que se enquadra na fórmula y = mx+n (α = 0) e continua valendo
m = tan α = ∆y
∆x .
0
n
O
B
Figura F.5: Reta horizontal
A
r

UNIVATES – Centro Universitário 263
2 o caso: A reta r é vertical.
Neste caso a equação de r é: x=d , que não se enquadra no caso
“geral”y = mx + n.
Aqui tem-se α = 90 e, como não se define tan 90, também não se definirá
coeficiente angular para as retas verticais.
0
r
(d, 0)
Figura F.6: Reta vertical
Portanto: a reta vertical constitui uma exceção, e deve ser analisada
sempre à parte do caso “geral”y = mx + n.
Exercício F.3.8 O triângulo OAB é equilátero de lado 10. Obtenha as
equações das retas suportes das alturas do triângulo relativas aos lados OB
e OA.
0
B
A

UNIVATES – Centro Universitário 264
a.
r
c.
0
Exercício F.3.9 Nos itens abaixo, obtenha a equação da reta r:
P (2, 1)
P (3, 2)
r
r
d.
b.
0
r
0
P (4, −3)
Exercício F.3.10 Em cada caso, obtenha o coeficiente angular da reta
dada:
1. x y
5 + 3 = 1
2. y = 2
3. y − 2 = 3(x + 5)
4. x = 6

UNIVATES – Centro Universitário 265
Exercício F.3.11 Na figura abaixo, OABC é um quadrado de diagonal
6. Qual é a equação da reta que passa por A e C? E por A e B?
B
A
C
Exemplo F.3.12 Qual é o coeficiente angular da reta determinada pelos
pontos A(−1, 2) e B(2, 11)?
Resolução
O
m = ∆y 11 − 2 9
= = = 3
∆x 2 − (−1) 3
O coeficiente angular é m = 3.
Exercício F.3.13 Em cada caso, obtenha o coeficiente angular da reta
definida pelos pontos A e B:
1. A(3, 4) e B(7, 8)
2. A(−1, 2) e B(5, −6)
3. A(−2, −3) e B(−3, 2)
4. A(10, 8) e B(7, 8)
5. A(2, 7) e B(2, 13).

UNIVATES – Centro Universitário 266
Exemplo F.3.14 Na figura abaixo, OABC é um quadrado de lado 2;
M e N são pontos médios dos lados. Quais são as equações das retas r, s
e t?
C B
O
N
t
Resolução
As três retas têm o mesmo coeficiente linear: n = 2.
ms = tan 135 = −1,
mr = yM − yC
xM − xC
mt = yN − yC
xN − xC
= 1 − 2
= 0 − 2
M
A
= −1
2 − 0 2
= −2
1 − 0
Então as equações são:
(r): y = − 1
2x + 2;
(s): y = −x + 2;
(t): y = −2x + 2.
s
r

UNIVATES – Centro Universitário 267
Exercício F.3.15 Na figura abaixo, OABC é um quadrado de lado 2;
M, N e P são pontos médios dos lados. Quais são as equações das retas r,
s e t?
r
C B
P
O
M
Exercício F.3.16 Na figura abaixo, OABC é um quadrado de lado 2 e
CDE é um triângulo equilátero de lado 2. Quais são as equações das retas
r, s e t?
O
C
E
A
D
B
s
A
t
N
r
t
s

UNIVATES – Centro Universitário 268
F.4 As Retas que Passam por um Ponto Dado
Dado um ponto P (xP , yP ), há infinitas retas do plano cartesiano que
passam por P .
P (xP , yP )
1 o caso: A reta r não é vertical.
Sendo m o coeficiente angular da reta, para qualquer ponto (x, y) ∈ r,
distinto de P (xP , yP ), tem-se:
m = ∆y y − yP
= .
∆x x − xP
Então: y − yP = m(x − xP ) .
Note que o próprio ponto P (xP , yP ) satisfaz a equação:
P (xP , yP )
(x, y)
r

UNIVATES – Centro Universitário 269
2 o caso: A reta r é vertical.
Neste caso, a equação da reta r é: x = xP .
r
P (xP , yP )
Conclusão: As retas que passam por P (xP , yP ) têm suas equações dadas
por: y − yP = m(x − xP ) ou x = xP .
Exemplo F.4.1 Obtenha a equação das retas r, s, t e u.
u
t
s
P (5, 3)
45 o 120 o
r
150 o

UNIVATES – Centro Universitário 270
Resolução
• A reta r não é vertical e passa por P (5, 3); logo y − yP = mr(x − xP ),
o que implica que y − 3 = mr(x − 5). Mas, mr = tan 45 = 1. Donde
(r): y − 3 = x − 5 ou y = x − 2;
• A reta s é vertical: (s): x = 5;
• A reta t não é vertical, logo y − 3 = mt(x − 5). Mas, sabemos que
mt = tan 120 = − √ 3. Donde (t): y − 3 = − √ 3(x − 5) ou ainda
y = − √ 3x + (3 + 5 √ 3);
√
3
• A reta u não é vertical e mu = tan 150 = −
dada por (u): y − 3 = −
√ 3
3
(x − 5) ou ainda y = −
3
. A equação da reta é
√ 3
3 x + (3 + 5√ 3
3 ).
Exercício F.4.2 Em cada caso, obtenha a equação da reta que passa
pelo ponto P e tem coeficiente angular m:
1. P (2, 1) e m = 2;
2. P (−1, 3) e m = −1;
3. P (0, 5) e m = 3;
4. P (0, 0) e m = 1.
a.
d.
Exercício F.4.3 Dê a equação da reta r, em cada caso:
(− √ 3, −2)
P (4, 2)
60 o
45 o
b.
e.
(−1, 4)
30 o
(2, −1)
c.
f.
60 o
(7, −1)
45 o

UNIVATES – Centro Universitário 271
Exemplo F.4.4 Qual é a equação da reta que passa por A(1, 1) e
B(3, 11)?
Resolução
A reta não é vertical e passa por A(1, 1); logo: y − 1 = m(x − 1). Mas,
m = ∆y
∆x = yB − yA
xB − xA
= 11 − 1
3 − 1
= 5.
Então, y − 1 = 5(x − 1) ou ainda y = 5x − 4.
Exercício F.4.5 Em cada caso, escreva a equação da reta definida pelos
pontos A e B:
1. A(1, 5) e B(5, 13);
2. A(1, 2) e B(3, −4);
3. A(−3, −10) e B(5, −2);
4. A(−3, −1) e B(0, 1);
5. A(−8, 12) e B(3, 12);
6. A(2, 2) e B(1, 5);
7. A(0, 0) e B(5, 7);
8. A(−1, −5) e B(−1, 8).
Exercício F.4.6 Determine o valor de a para que os pontos A(3, 5),
B(−3, 8) e C(4, a) estejam alinhados.
Exercício F.4.7 Determine o ponto P , pertencente ao eixo das abscissas,
que está alinhado com os pontos A(−1, 2) e B(3, 1).
Exercício F.4.8 Na figura abaixo, OAP é um triângulo equilátero de
lado 8 e ABCD é um quadrado de lado 8. Obtenha as equações das retas r,
s e t.
O
r
P
A
D
s
C
t

UNIVATES – Centro Universitário 272
F.5 Paralelismo de duas retas
Proposição F.5.1 Se duas retas r e s são paralelas entre si, então elas
possuem coeficientes angulares iguais, com exceção do caso em que ambas
são verticais.
prova: De fato, se r s, então αr = αs.
(i). Se αr = αs = 90 o , então tan αr = tan αs ⇒ mr = ms.
(ii). Se αr = αs = 90 o , então r e s são ambas verticais.
Exemplo F.5.2 Obtenha a equação da reta r que passa por P (−2, 3) e
é paralela à reta s: 5x + 7y + 8 = 0.
Resolução
(s): 5x + 7y + 8 = 0 ⇒ y = − 5 8
7x − 7 ⇒ ms = − 5
7 . Mas, r s; logo:
mr = ms = − 5
7 .
Como a reta r passa por P (−2, 3), sua equação é: y − 3 = − 5
7 (x + 2) ou
y = − 5 11
7x + 7 ou ainda 5x + 7y − 11 = 0.
Exercício F.5.3 Em cada caso escreva a equação da reta que passa pelo
ponto P e é paralela à reta (r) dada:
1. P (−1, 2) e (r): 2x − 5y + 7 = 0;
2. P (−3, −5) e (r): y = 8x − 1;
3. P (4, 5) e (r): y = 1;
4. P (1, 8) e (r): x y
2 + 3 = 1;
5. P (7, −4) e (r): y − 2 = 5(x + 3);
6. P (−2, 3) e (r): x − 3 = 0.
Exercício F.5.4 Escreva a equação da reta que passa por P e é paralela
à reta determinada pelos pontos A e B:
1. P (2, 3), A(1, −7) e B(4, 8);
2. P (3, −5), A(4, 7) e B(6, 3).

UNIVATES – Centro Universitário 273
Exercício F.5.5 Na figura, ABCD é um paralelogramo. Obtenha a
equação da reta suporte do lado CD, sabendo que A(2, 4), B(1, 1) e C(5, 2).
A
B
C
Exercício F.5.6 Determine o valor da constante k tal que as retas dadas
por x − 3y + 2 = 0 e 5x + ky − 1 = 0 sejam paralelas.
F.6 Intersecção de Duas Retas
O ponto de intersecção de duas retas pertence a ambas, isto é, deve satisfazer
às equações dessas duas retas. Portanto, para obter o ponto comum
a duas retas concorrentes, basta resolver o sistema formado pelas equações
dessas duas retas.
Exemplo F.6.1 Obter o ponto de intersecção da reta (r): 5x+4y +2 =
0 com a reta (s): 3x − 4y − 18 = 0.
Solução
Seja o sistema 5x + 4y + 2 = 0
3x − 4y − 18 = 0.
Somando-se as duas equações, segue que 8x − 16 = 0.
Logo, x = 2 e y = −3. Portanto, o ponto de intersecção de r com s é
P (2, −3).
Exercício F.6.2 Determine o ponto de intersecção das retas r e s nos
seguintes casos:
1. (r): y = 2x + 7; (s): y = x + 3;
2. (r): 2x + 3y + 1 = 0; (s): x + 2y = 0;
3. (r): y = 3x − 7; (s): y = 8;
4. (r): y = 3x + 6y + 1 = 0; (s): x + 2y − 5 = 0.

UNIVATES – Centro Universitário 274
Exercício F.6.3 Quais os vértices do triângulo determinado pelas retas
(r): y = 5x − 4, (s): y = 2x − 1 e (t): x = 5?
Exercício F.6.4 No paralelogramo ABCD, os lados AB e AD estão
contidos respectivamente nas retas (r): y = 7 2
3
3x − 3 e (s): y = − 2x + 7.
Dado C(7, 8), determine BD.
r
A
D
s
Exercício F.6.5 A parábola e a reta de equações y = x2
9 + 3x + 6 e
y = 4
3x cortam-se em dois pontos A e B. Determine o comprimento do
segmento AB.
F.7 Perpendicularismo de duas Retas
Uma primeira situação de perpendicularismo ocorre quando uma das
retas é horizontal e a outra vertical.
Excetuando-se este caso:
Se r e s são perpendiculares, tem-se: αr = 90 o + αs (confira!)
B
C

UNIVATES – Centro Universitário 275
αs
αs + β
De fato,
= 90o γ + β = 90o . Logo, γ = αs.
Assim, tan αr = tan(90 + αs). Donde,
tan(αr) =
β
sin(90 + αs) cos αs
=
cos(90 + αs) − sin αs
γ
= − 1
.
tan αs
Então, mr = − 1
ms .
Conclusão: Se duas retas r e s são perpendiculares, tem-se: mr = − 1
ms
ou então uma das retas é horizontal e a outra, vertical.
Exemplo F.7.1 Obter a equação da reta r que passa por P (3, 5) e é
perpendicular à reta s, dada por 4x − 7y + 1 = 0.
Solução
(s): 4x − 7y + 1 = 0 ⇒ y = 4 1
7x + 7 . Então ms = 4
7 . Mas r ⊥ s, logo
7
. Como P ∈ r, segue que (r): y − 5 = − 4 (x − 3).
mr = − 7
4
Exercício F.7.2 Em cada caso escreva a equação da reta que passa pelo
ponto P e é perpendicular à reta r dada:
1. P (2, −1) e (r): 2x − y + 4 = 0;
2. P (−8, 3) e (r): 5x + 2y − 9 = 0;
3. P (4, −6) e (r): x − 3 = 0.
F.7.1 Projeção (Ortogonal) de um Ponto sobre uma Reta
Considere, num plano, um ponto P e uma reta r. Chama-se projeção
(ortogonal) de P sobre r ao ponto de intersecção de r com a reta que lhe é
perpendicular, passando por P .
αr

UNIVATES – Centro Universitário 276
r
P
Q
Exercício F.7.3 Obter a projeção do ponto P sobre a reta r nos seguintes
casos:
1. P (3, −1) e (r): x + 2y − 6 = 0;
2. P (2, 1) e (r): x + 3y − 6 = 0.
Exercício F.7.4 Dentre os pontos da reta 2x − y − 1 = 0, qual é aquele
cuja distância ao ponto P (2, 8) é mínima?
Exercício F.7.5 Para qual valor do coeficiente k as retas dadas por
3x + y − 15 = 0 e 4x + ky + 1 = 0 são perpendiculares entre si?
Exemplo F.7.6 O ponto P (6, 4) pertence a uma circunferência de centro
C(4, 3). Obtenha a equação da reta t que passa por P (6, 4) e tangencia
esta circunferência.
t
✬✩
P
✫✪
Resolução
O raio da circunferência CP e a reta t são perpendiculares entre si. Como
mCP = yP −yC 4−3 1 = xP −xC 6−4 = 2 , tem-se mt = − 1 = −2. A reta t passa por
mCP
P (6, 4) e mt = −2, logo a equação é: y − 4 = −2(x − 6) ou y = −2x + 16.
Exemplo F.7.7 Obtenha o ponto T , simétrico de P (4, 1), em relação à
reta (r): x + 3y + 3 = 0. (Q é a projeção de P sobre r; T é o simétrico de
P em relação a r (P Q = QT )).

UNIVATES – Centro Universitário 277
P
r
Q
Resolução
Seja s a reta que passa por P e é perpendicular a r. Então mr = − 1
3 ,
donde ms = − 1 = 3. A equação de s é: y − 1 = 3(x − 4) ou y = 3x − 11.
mr
Obtemos {Q} = r ∩ s, resolvendo o sistema das equações r e s. Assim,
Q = (3, −2). Como Q é o ponto médio de T P , temos que xQ = xP +xT
2 ,
donde xT = 2. Da mesma forma, yQ = yP +yQ
2 , donde yT = −5. Logo,
T (2, −5).
F.8 Equação Geral e Equação Reduzida
Toda reta, mesmo que vertical, tem uma equação que pode ser apresentada
na forma ax + by + c = 0, onde a, b, c são constantes, com a e b não
simultaneamente nulos.
Por exemplo, a reta (r): y = − 2
3x + 7 pode ser dada pela equação
(r): 2x + 3y − 7 = 0, e a reta (s): x = 5 pode ser apresentada na forma
(s): 1x + 0y − 5 = 0.
F.8.1 Equação Geral da Reta
Chamaremos equação geral da reta a equação da reta dada na forma:
ax + by + c = 0 (a e b não simultaneamente nulos).
Toda reta não vertical tem uma equação que pode ser apresentada na
forma y = mx + n, onde m e n são constantes chamadas, respectivamente,
de coeficiente angular e coeficiente linear.
F.8.2 Equação Reduzida da Reta
Chamaremos de equação reduzida da reta a equação da reta dada na
forma: y = mx + n (m é o coeficiente angular; n é o coeficiente linear).
Exercício F.8.1 Apresente a equação da reta (r): 3x − 2y + 5 = 0 na
sua forma reduzida.
Exemplo F.8.2 Qual é a distância entre o ponto P (7, 11) e a reta
(r): 3x + 4y − 15 = 0?
T

UNIVATES – Centro Universitário 278
P
Q
Resolução
Seja (s) a reta que passa por P e é perpendicular a r. Então mr = − 3
4 ,
donde ms = − 1 4 = mr 3 . A reta s passa por P (7, 11) e ms = 4
3 ; logo, sua
equação é: y − 11 = 4
4 5
3 (x − 7) ou y = 3x + 3 .
Obteremos o ponto Q, projeção de P sobre r, resolvendo o sistema:
3x + 4y − 15 = 0
y = 4 5 , donde Q(1, 3).
3x + 3
A distância entre P e r é a distância entre os pontos P e Q:
dP,r = dP,Q = (xp − xQ) 2 + (yP − yQ) 2 =
= (7 − 1) 2 + (11 − 3) 2 = 10.
Portanto, a distância de P à reta r é 10u.c..
F.9 Distância entre Ponto e Reta
Basta considerar um ponto genérico P (xP , yP ) e uma reta de equação
geral ax + by + c = 0 e proceder de maneira análoga à efetuada no exemplo
F.8.2.
Devido à sua longa e enfadonha prova, não apresentaremos aqui o seu
desenvolvimento, limitando-nos a fornecer o resultado encontrado. O leitor
interessado poderá desenvolver sozinho a prova do mesmo, em momentos de
extremo tédio. Vetorialmente, a prova é bem mais simples: pode-se utilizar
o produto escalar para provar facilmente esta questão.
A distância entre P (xP , yP ) e (r): ax + by + c = 0 é dada por:
r
dP,r = |axP +byP +c|
√ a 2 +b 2
Observação F.9.1 A fórmula anterior utiliza-se da equação geral da
reta r.
Exemplo F.9.2 Calcule a distância entre P (−2, 1) e (r): y = 12 3
5 x + 5 .
Resolução
Equação geral: 12x − 5y + 3 = 0.
dP,r =
|12 · (−2) + (−5) · 1 + 3|
12 2 + (−5) 2
= | − 26|
.
13
= 2.

UNIVATES – Centro Universitário 279
Exercício F.9.3 Calcule a distância entre o ponto P e a reta r, nos
seguintes casos:
1. P (1, 2) e (r): 12x − 9y − 4 = 0
2. P (5, −7) e (r): y = 2x + 3
3. P (3, 5) e (r): x − y − 1 = 0
4. P (2, −3) e (r): y = −2x + 1
5. P (5, 3) e (r): x − 2 = 0.
Exercício F.9.4 Dado o triângulo de vértices A(2, 3) e B(5, −1) e
C(−4, 7), determine o comprimento da altura relativa ao lado AB.
Exercício F.9.5 Qual é a área do triângulo ABC do exercício F.9.4?
Exemplo F.9.6 Determine os pontos P do eixo das ordenadas tais que
a distância de P à reta (r): √ 3x − y + 12 = 0 seja igual a 2.
Resolução
Seja P (0, yP ) o ponto procurado. Tem-se que:
dP,r2 ⇒
⇒ |√3·0−yP +12|
√ √
( 3) 2 +(−1) 2
= 2 ⇒
⇒ 12 − yP = ±4
⇒ |12−yP |
2
= 2 ⇒
De 12 − yP = 4 decorre yP = 8; de 12 − yP = −4 decorre yP = 16.
Portanto, há dois pontos do eixo das ordenadas com dP,r = 2, quais
sejam: P1(0, 8) e P2(0, 16).
Exercício F.9.7 Determine os pontos da reta y = 2x tais que a
distância de cada um deles à reta 12x − 5y − 3 = 0 seja igual a 3.
Exercício F.9.8 Determine a distância entre a reta y = x + 5 e a reta
y = x + 8.
Exemplo F.9.9 Determine o par de bissetrizes dos ângulos formados
pelas retas (r): 3x + 4y − 2 = 0 e (s): 4x + 3y + 12 = 0. (Qualquer ponto
das bissetrizes do ângulo eqüidista de seus lados)

UNIVATES – Centro Universitário 280
r
s
Resolução
Os pontos P (x, y) do par de bissetrizes eqüidistam de r e s, isto é,
satisfazem dP,r = dP,s. Então:
|3x + 4y − 2|
√ 3 2 + 4 2
|4x + 3y + 12|
= √ ,
42 + 32 donde 3x + 4y − 2 = ±(4x + 3y + 12).
De 3x + 4y − 2 = 4x + 3y + 12 decorre que x − y + 14 = 0; por outro
lado, de 3x + 4y − 2 = −(4x + 3y + 12) decorre que 7x + 7y + 10 = 0. Então
os pontos das bissetrizes satisfazem a x − y + 14 = 0 ou a 7x + 7y + 10 = 0,
que são, portanto, as suas equações.
Exercício F.9.10 Na figura, ABCD e CDEF são quadrados de lado
2; O é a origem do sistema de eixos e centro da circunferência inscrita em
ABCD. Obtenha a medida da corda P Q.
Dica: usar o triângulo retângulo OMQ, com M ponto médio de P Q.
B C F
✬✩
A
P
✫✪
Q
D
E
G

UNIVATES – Centro Universitário 281
F.10 Respostas dos Principais Exercícios do
Capítulo
F.3.2 −5
F.3.3 m = − 3
2 , n = 4
F.3.4 Subdividindo:
F.3.5 y =
1. y = √ 3x + 5
2. y = x − 2
3. y = −
√
3
3 x + 1
4. y = −x − 3
5. y = √ 3x
6. y =
√
3
3 x − 3
√
3
3 x + 3
F.3.6 y = −x + 2
F.3.7 y = x + 2
F.3.8 y = −5 (rel. a OB); y = √ 3x − 10 (rel. a OA)
F.3.9 a. y = 2; b. y = −3; c. y = 1; d. x = 0
F.3.10 1. − 3
5 ; 2. 0; 3. 3; 4. não se define
F.3.11 x = −3 (por A e C); y = x + 6 (por A e B)
F.3.13 a. 1; b. − 4
3 ; c. −5; d. 0; e. não se define
F.3.15 (r): y = x + 1; (s): y = 1; (t): y = − x + 1
√
3
F.3.16 (r): y = − 3 x + 4; (s): y = −x + 4; (t): y = −2x + 4
F.4.5 É esta a pergunta!
F.4.6 a = 9
2 ;
F.4.7 P (7, 0);
F.4.8 (r): y = − √ 3x + 8 √ 3; (s): y = (2 − √ 3)x + (8 √ 3 − 8);
(t): y = 2−√3 3 x + 16√3−8 3
F.6.3 (1, 1), (5, 9) e (5, 21)
F.6.4 √ 101
F.6.5 5
F.9.4 12
5
2

UNIVATES – Centro Universitário 282
F.9.5 6
F.9.7 P1(21, 42) e P2(−18, −36)
F.9.8 3 √ 2/2
F.9.10
4 √ 34
17
C H A E TING ER

Bibliografia
[1] ANTON, H. & RORRES, C. – “ Álgebra linear com aplicações”,
Porto Alegre, Bookman, 2001, ISBN 85-7307-847-2
[2] CARVALHO, J.P. de – “Introdução à álgebra linear”, Rio de Janeiro,
IMPA, 1972
[3] BLOCH, S.C. – “Excel para Engenheiros e Cientistas”. Rio de Janeiro,
LTC, 225 p., 2004. ISBN 85-216-1395-4.
[4] BOLDRINI, J.B. – “ Álgebra linear”, São Paulo, Editora Harper &
Row do Brasil Ltda., 3 a edição, 1986
[5] DERIVE – “software”
[6] GRAPHMATICA – “software”, Graphmatica for Windows c○ , K.
Hertzer, KSoft, Inc., 1998, e-mail: ksoft@pair.com
[7] HAETINGER, C.; HAETINGER, W.; DULLIUS, E.; MAR-
COLIN, D.; SCHMIDT, J.; OHSE, M. & KLEIN, N. – “The
use of an articulate mechanical arm type robot built from materials of
low cost as a supporting tool for teaching at the undergraduate level: the
resolution of the direct and inverse kinematic models in the bidimensional
case, (to appear)
[8] HANSELMAN, D. & LITTLEFIELD, B. – “Matlab 6: curso
completo”, São Paulo, Prentice Hall, 2003, ISBN 85-87918-56-7
[9] HOFFMAN, K. & KUNZE, R. – “ Álgebra linear”, São Paulo,
Editora Polígono, 1971
[10] http://www.somatematica.com.br
[11] KLETENIK, D. – “Problemas de geometria analitica”, Moscou, Editora
MIR, 4 a edição, 1979
[12] LARSON, R.E.; HOSTETTER, R.P. & EDWARDS, B.H. –
“Cálculo com Geometria Analítica”, volume 2, Rio de Janeiro, LTC,
1998
[13] LIMA, E.L. – “ Álgebra linear”, Rio de Janeiro, Instituto de Matemática
Pura e Aplicada (IMPA), CNPq, Coleção Matemática Universitária,
1995
283

UNIVATES – Centro Universitário 284
[14] LIMA, E.L. – “Coordenadas no espaço”, Rio de Janeiro, Instituto de
Matemática Pura e Aplicada (IMPA), CNPq, Coleção do Professor de
Matemática, 1993
[15] LIMA, E.L. – “Coordenadas no plano”, Rio de Janeiro, Instituto de
Matemática Pura e Aplicada (IMPA), CNPq, Coleção do Professor de
Matemática, 1992
[16] LIMA, E.L. – “Geometria Analítica e Álgebra Linear”, Rio de Janeiro,
Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), CNPq, Coleção Matemática
Universitária, 2001
[17] LIMA, E.L. – “Sobre o ensino de sistemas lineares”, São Paulo, SBM,
Revista do Professor de Matemática (RPM) 23 (1993), págs. 8-18
[18] LIPSCHUTZ, S. – “Beginning linear algebra”, New York, McGraw-
Hill, 1997, ISBN 0-07-038037-6
[19] LIPSCHUTZ, S. – “3000 solved problems in linear algebra”, New
York, McGraw-Hill, 1989, ISBN 0-07-038023-6
[20] MACULAN, N. & PEREIRA, M.V.F. – “Programação linear”,
São Paulo, Editora Atlas, 1980
[21] MAPLE – “software”
[22] MATCALC – “software”, Matrix calculator c○ , versão 1.2, W.B.
Lewer, 1991
[23] MATHCAD – “software”, Mathcad for Windows c○ , versão 2000,
Math Soft., Inc.
[24] MATHEMATICA – “software”
[25] MATLAB – “software”
[26] PERIN, C. – “Introdução à Programação Linear”, Campinas, UNI-
CAMP, Coleção IMECC, Textos Didáticos 2, 2001, 177 p.
[27] POOLE, D. – “ Álgebra Linear”, São Paulo, Thomson, 2004.
[28] PROJETO GAUSS – “software”
[29] RUGGIERO, M.A.G. & LOPES, V.L. da R. – “Cálculo
numérico: aspectos teóricos e computacionais”, São Paulo, Makron Books,
segunda edição, 1998, ISBN 85-346-0204-2
[30] REIS, G.L. dos & SILVA, V.V. da – “Geometria Analítica”, Rio
de Janeiro, LTC, 1996.
[31] SÁNCHEZ, J.; CHRISTEN, J.A. & VALERA, B. – “Correlación
de pares de imagenes para medición de sólidos por fenómenos estereo”,
México, Aportaciones Matemáticas, Comunicaciones 23 (1999),
59-68

UNIVATES – Centro Universitário 285
[32] SMILE – “software”
[33] STEINBRUCH, A. – “ Álgebra linear”, São Paulo, Makron Books
[34] STEINBRUCH, A. & WINTERLE, P. – “Geometria analítica”
[35] STEINBRUCH,A. & WINTERLE, P. – “Introdução à álgebra
linear”, São Paulo, Makron Books, 1990, ISBN 0-07-460944-0
[36] STRANG, G. – “Linear algebra and its applications”, New York,
Academic Press Incorporation Ltda., 1970
[37] WINMAT – “software”, Peanut c○ software, R. Parris, 1992,
ftp.exeter.edu, e-mail: rparris@exeter.edu,
http://www.exeter.edu/˜ rparris/
[38] YUSTER, T. – “The reduced row Echelon form of a matrix is unique:
a simple proof”, Mathematics Magazine, 57 (2), 1984, pp. 93-94
C H A E TING ER

Bibliografia
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