Álgebra Linear e Geometria Analítica - Univates

UNIVATES – Centro Universitário 92
Observação 6.3.11 Valem como desafios, computados à nota, as exposições
orais à turma das provas dos teoremas 6.3.9 e 6.3.10.
Definição 6.3.12 Dada uma matriz Am×n, seja Bm×n a matriz escalonada
equivalente a A. O posto de A, denotado por p, é o número de linhas
não nulas de B. A nulidade é a diferença entre colunas de A e o posto,
isto é, n − p.
Observação 6.3.13 Observe que para encontrar o posto de uma matriz
A qualquer, é preciso primeiro escrever a matriz na forma escalonada e,
depois, contar suas linhas não nulas.
6.3.2 Procedimento para a Redução de uma Matriz à Forma
Escalonada
1. Procure da esquerda para a direita a 1 a coluna não nula;
2. Procure de cima para baixo o 1 o elemento não nulo: pivô;
3. Se o pivô não estiver na 1 a linha, troque a 1 a linha pela linha do pivô;
4. Se o pivô for diferente de 1, divida a 1 a linha por ele;
5. Utilizando o pivô, elimine os elementos abaixo dele (e também acima
dele na forma escalonada reduzida), utilizando somente operações elementares;
.
.
.
E assim sucessivamente para as outras linhas fazendo o papel da 1 a
linha.
Observação 6.3.14 O procedimento que reduz a matriz a sua forma
escalonada é chamado de eliminação gaussiana; já o que deixa a matriz
na sua forma escalonada reduzida é dito eliminação de Gauss-Jordan.
⎛
Exemplo 6.3.15
⎞
Forma escalonada:
0 2 3 −4 1
⎜ 0
⎝ 2
0
2
2
−5
3
2
4 ⎟
4 ⎠
2 0 −6 9 7
l1
⎛
2 = 1 2 −5 2
⎞
4
⎜
↔ l3 ⎜
⎝
0
0
0
2
2
3
3
−4
4 ⎟
1 ⎠
l1 →
2 0 −6 9 7
1
2l1 ⎛
1
⎜
⎝
1 − 5
0
0
0
2
2
2
3
1
3
−4
⎞
2
4 ⎟
1 ⎠
2 0 −6 9 7
l4
⎛
1 1 −
⎜
→ l4 − 2l1 ⎜
⎝
5
2
0 0 2
0 2 3
1
3
−4
⎞
2
4 ⎟
1 ⎠
⎛
1
⎜
l2 ↔ l3 ⎜
⎝
1 −
0 −2 −1 7 3
5
0
0
2
0
2
3
2
1
−4
3
⎞
2
1 ⎟
4 ⎠
0 −2 −1 7 3
l2 → 1
2l2 ⎛
1
⎜
⎝
1 − 5
0 1
2
3
2
1 2
−2 0 0 2 3
1
2
4
⎞
⎟
⎠
0 −2 −1 7 3