Álgebra Linear e Geometria Analítica - Univates

UNIVATES – Centro Universitário 74
Exercício 5.4.51 É válida a igualdade (A + B)(A − B) = A2 − B2
2 3
1 2
quando A = e B =
?
5 4
−1 −2
Definição 5.4.52 Seja A uma matriz quadrada de ordem qualquer. Definimos
a n-ésima POTÊNCIA de A do seguinte modo:
A =
A 1 = A
A n = A · A n−1 , onde n é um inteiro ≥ 2.
Exercício 5.4.53 Assumindo a definição 5.4.52, determine A 3 , sendo
1 −1
1 0
.
5.4.5 Transposição
Definição 5.4.54 Considere uma matriz A, m × n; chama-se matriz
TRANSPOSTA de A, e se indica com A t , à matriz n × m que se obtém da
matriz A trocando, ordenadamente, as suas linhas pelas suas colunas.
Exemplo 5.4.55
2
1. A =
5
3
7
4
⇒ A
1
t ⎛
2
= ⎝ 3
4
⎞
5
7 ⎠
1
1
2. B =
5
3
⇒ B
2
t
1
=
3
5
2
⎛ ⎞
3
⎜
3. C = ⎜ 1 ⎟
⎝ 0 ⎠
5
⇒ Ct = 3 1 0 5
Observação 5.4.56
i. n o de linhas de A = n o de colunas de A t
ii. n o de colunas de A = n o de linhas de A t
iii. o elemento que, em A, ocupa a linha i e a coluna j, em A t ocupa a
linha j e a coluna i.
Propriedade 5.4.57 Quaisquer que sejam as matrizes A e B, ambas
m × n, a matriz C, n × p, e o número real α, temos:
i. (A t ) t = A
ii. (A + B) t = A t + B t
iii. (αA) t = αA t
iv. (AC) t = C t A t
CUIDADO!