Pr´ıklady k predmetu Matematika 4

Příklad 1.18: Nalezněte takové hodnoty a, b, c, d ∈ R, aby matice A měla vlastní vektory
v 1 , v 2 a v 3 , přičemž
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
a b c
−2 2 4
A = ⎝20 10 44⎠, v 1 = ⎝ 2 ⎠ , v 2 = ⎝−2⎠ , v 3 = ⎝−2⎠ .
−2 d 12 0
−1
−2
Zkouškou ověřte, že nalezené hodnoty vyhovují zadání úlohy.
Řešení: a = −6, b = 4, c = −44 a d = −2.
Zkouškou násobením ověříme, že matice
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−6 4 −44 −3 2 −22
A = ⎝20 10 44 ⎠ = 2 ⎝10 5 22 ⎠
−2 −2 12 −1 −1 6
má vlastní vektory
⎛ ⎞
−1
⎛ ⎞
2
⎛ ⎞
2
v 1 = ⎝ 1 ⎠ , v 2 = ⎝−2⎠ , v 3 = ⎝−1⎠ .
0
−1
−1
Příklad 1.19: Nalezněte čtveřici takových hodnot a, b, c, d ∈ R, aby matice A měla vlastní
vektor v 1 příslušný vlastnímu číslu λ 1 = −5, vlastní vektor v 2 příslušný vlastnímu číslu
λ 2 = 6 a vlastní vektor v 3 příslušný vlastnímu číslu λ 3 = 7, přičemž
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
a b c
−1
−2
−2
A = ⎝10 5 22⎠ , v 1 = ⎝ 1 ⎠ , v 2 = ⎝ 2 ⎠, v 3 = ⎝ 1 ⎠ .
−1 d 6 0 1 1
Řešení: a = −3, b = 2, c = −22 a d = −1.
Příklad 1.20: Nalezněte všechny hodnoty parametru a ∈ R takové, aby ‖A‖ 2 = 1, kde
( )
2a 0
A = .
a a
Řešení: Matice A není symetrická, tedy ‖A‖ 2 = √ ρ(A T A). Jest
( ) ( ) ( )
2 1 2 0 5 1
A T A = a 2 = a 2 ≡ a 2 C, kde C =
0 1 1 1 1 1
( ) 5 1
.
1 1
Tedy 1 = ‖A‖ 2 = √ ρ(a 2 C) = √ a 2 ρ(C) = |a| √ ρ(C), odtud |a| = 1/ √ ρ(C).
Vlastní čísla matice C: Charakteristický polynom
det(C − λI) = (5 − λ)(1 − λ) − 1 = λ 2 − 6λ + 4
s kořeny
λ 1,2 = 6 ± √ 36 − 16
2
10
= 3 ± √ 5.