Pr´ıklady k predmetu Matematika 4

Během iteračního procesu x (k+1) = Ax (k) + b, kde k = 0,1,... , dostáváme
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
0 1/4 1/2 1 2 3/4 2 5/4
x (1) = − ⎝1/2 0 0 ⎠ ⎝1⎠ + ⎝1⎠ = − ⎝1/2⎠ + ⎝1⎠ = ⎝1/2⎠ ,
1/3 1/3 0 1 2 2/3 2 4/3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
0 1/4 1/2 5/4 2 1/8 + 4/6 2
x (2) = − ⎝1/2 0 0 ⎠ ⎝1/2⎠ + ⎝1⎠ = − ⎝ 5/8 ⎠ + ⎝1⎠
1/3 1/3 0 4/3 2 5/12 + 1/6 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
19/24 2 29/24
= − ⎝ 5/8 ⎠ + ⎝1⎠ = ⎝ 3/8 ⎠ .
7/12 2 17/12
b) Konvergence je zaručena nerovností ‖A‖ ∞ = 3 4
< 1 (maximum řádkových součtů) nebo
tím, že matice C má převládající diagonálu (viz odpovídající tvrzení v [4]).
c) Použijme
z [4], dostaneme první odhad
Použijme
‖̂x − x (2) ‖ ∞ ≤ ‖A‖ 2 ∞‖x 0 ‖ ∞ +
‖̂x − x (k) ‖ ≤ ‖A‖ k ‖x 0 ‖ + ‖A‖k
1 − ‖A‖ ‖b‖
‖̂x − x (k) ‖ ≤
( ) ‖A‖2 ∞ 3 2
( 3 2
‖b‖ ∞ = · 1 + 4)
1 − ‖A‖ ∞ 4
1
· 2 = 81
16 .
4
‖A‖
1 − ‖A‖ ‖x(k) − x (k−1) ‖
z [4], dostaneme druhý odhad
‖̂x − x (2) ‖ ∞ ≤
‖A‖ (
∞
‖x (2) − x (1) ‖ ∞ = 3
−1
1 − ‖A‖ ∞
∥ 24 , −1
8 , 1 )∥ ∥∥∥∞
= 3 12 8 .
Ano, z druhého odhadu dostáváme ‖̂x − x (2) ‖ ∞ ≤ 3/8 < 0,4.
d) Analogicky k c) (první odhad) dostáváme
( ) ( )
‖̂x − x (25) ‖ ∞ ≤ ‖A‖ 25 ∞‖x 0 ‖ ∞ +
‖A‖25 ∞ 3 25
‖b‖ ∞ = 1 + 2 1 − ‖A‖ ∞ 4
1
4
( ) 3 25
= 9 .
4
Tážeme se, zda 2log 10 3 + 25log 10
( 3
4)
je menší než −2 (tj. log10 0,01). Ukáže se, že ano (2 ·
0.477 + 25(0.477 − 0.602) = 0.954 − 25 · 0.125 = −2.171 < −2).
Můžeme tedy zaručit, že ‖̂x − x (25) ‖ ∞ ≤ 0,01.
Poznámka: Při výpočtu vektorů x (1) a x (2) není nutné postupovat přímo dle předpisu x (k+1) =
Ax (k) + b. Je například možné použít x (k+1) = D −1 (Ĉx(k) + y) nebo řešit soustavu Dx (k+1) =
Ĉx (k) + y, viz také vztah pro výpočet x (k+1)
i
uvedený v [4].
Příklad 6.2: Jako příklad 6.1, ale s použitím Gaussovy-Seidelovy metody. Poznamenejme, že
při výpočtu Gaussových-Seidelových iterací není praktické přímo používat maticový zápis
x (k+1) = (D − L) −1 Ux (k) + (D − L) −1 y, k = 0,1,... ,
protože vyžaduje výpočet inverzní matice (D − L) −1 . Pohodlnější je použít vztah
⎛
⎞
x (k+1)
i
= − 1 ∑i−1
n∑
⎝ c ij x (k+1)
j
+ c ij x (k) ⎠
j
+ y i
, i = 1,2,... ,n,
c ii c ii
j=1
j=i+1
28