Pr´ıklady k predmetu Matematika 4

Symetrie (pomocí integrace po částech a s využitím okrajových podmínek — zdůvodnění!)
(Au,v) =
∫ π/2
Pozitivní definitnost (ve smyslu skript [2])
(Au,u) =
0
∫ π/2
0
(1 + cos x)e −x u ′ v ′ dx = (u,Av) ∀u,v ∈ D(A).
(1 + cos x)e −x u ′2 dx ≥ c‖u‖ 2 L 2 (0,π/2)
∀u ∈ D(A),
kde (například) c = 8/(5π 2 ), nebot’ min x∈[0,π/2] (1 + cos x)e −x = e −π/2 ≥ 1/5 a dále lze využít
nerovnosti (12) (tu studenti mají znát), tj.
∫ b
a
u ′2 dx ≥
∫
2 b
(b − a) 2 u 2 dx, kde máme
a
2
(b − a) 2 = 8 π 2.
Ano, c = 8/(5π 2 ) ≈ 0.16 > 1/10.
Příklad 9.7: Stanovte operátor A (včetně definičního oboru D(A)) příslušný okrajové úloze
(
− 1 3 e2x + sin 2x ) ( 2
u ′′ −
3 3 e2x − 2 3 cos 2x )
u ′ − 1 u = 2sin x,
3 12π2 u(0) = 0, u ′ (π) = 0.
Ukažte, že lze najít operátor symetrický a takový, že pro každou funkci u z D(A) platí (Au,u) ≥
c‖u‖ 2 L 2 (0,π) , odvod ’te konkrétní velikost konstanty c ∈ R. Napište operátorovou rovnici.
Řešení: Zadaný operátor je pozitivně definitní, není třeba měnit znaménko.
Divergentní tvar operátoru
Au ≡ (( − 1 3 e2x + sin 2x )
3 u
′ ) ′ −
1
12π
u 2
s definičním oborem D(A) = {u ∈ C 2 ([1, π]) : u(0) = 0 = u ′ (π)}.
Operátorová rovnice: najít takový prvek u ∈ D(A), aby Au = 2sin x.
Symetrie (pomocí integrace po částech a s využitím okrajových podmínek), pro u,v ∈ D(A)
∫ π
[((
(Au,v) = − 1
0 3 e2x + sin 2x 3
[(
= − 1 3 e2x + sin 2x )
u ′ v
3
∫ π
( 1
=
3 e2x − sin 2x 3
0
)
u ′ ) ′
− 1
] π
0
∫ π
−
)
u ′ v ′ dx −
0
∫ π
]
12π 2 u v dx
(
− 1 3 e2x + sin 2x 3
0
1
12π2uv dx.
Studenti mají zdůvodnit nulovost členu
[(
− 1 3 e2x + sin 2x ) ] π
u ′ v
3
0
) ∫ π
u ′ v ′ dx −
0
1
uv dx
12π2 odkazem na v(0) = 0 a u ′ (π) = 0. Jinak strhávejte body.
Podobně (u,Av). Operátor je symetrický.
44