Pr´ıklady k predmetu Matematika 4

d) Platí odhad
‖̂x − x (21) ‖ ∞ ≤ ‖A‖ 21 ∞‖x 0 ‖ ∞ +
( ) ‖A‖21 ∞ 2 21
( 2 21 ( )
‖b‖ ∞ = · 1 + 3)
2
21
1 − ‖A‖ ∞ 3
1
· 1 = 4 .
3
3
Tážeme se, zda log 10 4+21log 10
( 2
3)
je menší než −3 (tj. log10 0,001). Ukáže se, že ano (−3.09583 <
−3).
Můžeme tedy zaručit, že ‖̂x − x (21) ‖ ∞ ≤ 0,001.
Příklad 6.4: Je dána soustava lineárních algebraických rovnic Cx = y, kde
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
4 1 0
−4
C = ⎝1 4 1⎠ a y = ⎝ 8 ⎠.
0 1 4
4
a) Soustavu řešte přibližně provedením tří kroků Jacobiovy iterační metody s počátečním
vektorem x (0) = (0, 1, 0) T , dostanete tedy přibližné řešení x (3) .
b) Ukažte, že pro tuto soustavu Jacobiova metoda konverguje. (Stačí jedno zdůvodnění. V
případě výpočtu normy použijte normu ‖ · ‖ ∞ .)
c) Aniž byste řešením soustavy získali její přesné řešení ̂x, dvěma různými způsoby odhadněte
velikost rozdílu ‖̂x − x (3) ‖ ∞ . Lze zaručit, že ‖̂x − x (3) ‖ ∞ ≤ 1/4
Řešení: a) Konstrukce matice pro iterační proces:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1
A = D −1 4
0 0 0 −1 0
Ĉ = ⎝ 1
0
4
0⎠
⎝−1 0 −1⎠ = − 1 0 1 0
⎝1 0 1⎠ .
1
4
0 0
4
0 −1 0 0 1 0
Dále
⎛ ⎞
−1
b = D −1 y = ⎝ 2 ⎠ .
1
Během iteračního procesu x (k+1) = Ax (k) + b, kde k = 0,1,... , dostáváme
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
0 −1 −1/4 −1 −5/4
x (1) = A⎝1⎠ + ⎝ 2 ⎠ = − ⎝ 0 ⎠ + ⎝ 2 ⎠ = ⎝ 2 ⎠,
0 1 −1/4 1 3/4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−5/4 −1 −1/2 −1 −3/2
x (2) = A⎝
2 ⎠ + ⎝ 2 ⎠ = ⎝ 1/8 ⎠ + ⎝ 2 ⎠ = ⎝17/8⎠ .
3/4 1 −1/2 1 1/2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−3/2 −1 −17/32 −1 −49/32
x (3) = A⎝17/8⎠ + ⎝ 2 ⎠ = ⎝ 1/4 ⎠ + ⎝ 2 ⎠ = ⎝ 9/4 ⎠ .
1/2 1 −17/32 1 15/32
b) Konvergence je zaručena nerovností ‖A‖ ∞ = 1 2
< 1 (maximum řádkových součtů) nebo
tím, že matice C má převládající diagonálu.
c) Použije se odhad
( )
‖̂x − x (3) ‖ ∞ ≤ ‖A‖ 3 ∞ ‖x(0) ‖ ∞ +
‖A‖3 ∞ 1 3
( 1 3
‖b‖ ∞ = · 1 + 2)
2 = 5 1 − ‖A‖ ∞ 2
8
a odhad
‖̂x − x (3) ‖ ∞ ≤
‖A‖ (
∞
‖x (3) − x (2) ‖ ∞ = 1
−49
1 − ‖A‖ ∞
∥ 32 + 3 2 , 9 4 − 17
8 , 15
32 − 1 )∥ ∥∥∥∞
= 1 2 8 .
30
1
2