Pr´ıklady k predmetu Matematika 4

se hledají zkusmo dosazováním malých celých čísel 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, . . .. Snáze se
vyčísluje výraz vlevo, tj. před roznásobením. Po nalezení prvního kořene (tj. 3) lze charakteristický
polynom vydělit členem λ − 3 a určit kořeny podílu, tedy vyřešit kvadratickou
rovnici. Nebo je možné dosazováním najít i další kořen (tj. 6), a pak charakteristický
polynom podělit kvadratickým členem (λ − 3)(λ − 6) = λ 2 − 9λ + 18. Podílem je lineární
polynom s kořenem λ = 3.
(Poznámka: Dosazováním můžeme najít kořen polynomu, ale nemůžeme odhalit, že
je násobný, v našem případě je to kořen λ = 3. Snížíme tedy stupeň charakteristického
polynomu dělením a hledáme kořeny výsledného podílu. Jiný postup hledání násobných
kořenů spočívá v nalezení kořenů derivace charakteristického polynomu. Platí totiž, že pokud
nějaké číslo je násobným kořenem polynomu, je také kořenem jeho derivace. Například
náš charakteristický polynom má derivaci 3 (1 − (4 − λ) 2 ), jejímž kořenem je opět λ = 3.
Další možností je využít toho, že součet prvků na hlavní diagonále matice, tj. 4+4+4 = 12,
je roven součtu vlastních čísel uvažovaných i s jejich násobnostmi. Po nalezení vlastních
čísel 3 a 6 dostáváme vlastní číslo 12 − 3 − 6 = 3.)
Vlastní čísla jsou 3, 3, 6, příslušné vlastní vektory (1, 0, 1) T a (0, 1/2, 1) T (a jejich nenulové
násobky komplexním číslem).
Příklad 1.5: Najděte vlastní čísla a vlastní vektory matice
⎛ ⎞
−2 −1 −3
A = ⎝ 4 3 3 ⎠.
1 1 2
(Nápověda: Vlastní čísla této matice jsou malá celá čísla.)
Řešení: Charakteristický polynom
(−2 − λ)(3 − λ)(2 − λ) − 3 − 12 + 3(3 − λ) + 4(2 − λ) + 3(2 + λ)
= (λ 2 − 4)(3 − λ) + 8 − 4λ = −λ 3 + 3λ 2 − 4.
Vlastní čísla jsou 2, 2, −1, příslušné vlastní vektory (−1, 1, 1) T a (−1, 1, 0) T (a jejich nenulové(!!)
násobky komplexním číslem).
Někteří studenti obcházejí výpočet determinantu jinou dosazovací metodou, totiž tím,
že pro různé hodnoty λ zkoumají lineární (ne)závislost řádků matice A − λI. To je OK,
v této úloze to dokonce není ani moc těžkopádné. Dvojnásobnost vlastního čísla 2 se tím
však neodhalí.
( ) 5 −8
Příklad 1.6: Je dána matice A = . Nalezněte vlastní čísla a vlastní vektory
−2 5
matic B a B −1 , kde B = A 3 , tj. B = AAA.
Řešení: Předpokládejme, že λ je vlastní číslo matice A a u je příslušný vlastní vektor.
Z Au = λu plyne Bu = AAAu = AAλu = Aλ 2 u = λ 3 u a B −1 u = λ −3 u.
Vlastní čísla matice A jsou 1 a 9, tedy vlastní čísla matice B jsou 1 a 9 3 = 3 6 = 729
a vlastní čísla matice B −1 jsou 1 a 9 −3 = 3 −6 = 1/729.
Matice A, B a B −1 mají tytéž vlastní vektory v 1 =
(
2
1)
p a v 2 =
( )
2
q, kde p, q ∈
−1
C \ {0}.
Jestliže student nejprve vypočte matici B, nebo dokonce B −1 , a pak počítá jejich
vlastní čísla a vektory, dejte plný počet bodů, pokud jsou výsledky správné; k případným
4