Pr´ıklady k predmetu Matematika 4

Odpovědi jasně zformulujte a zdůvodněte (ke zdůvodnění nestačí náčrtek, ale je nutné odpověd’
podpořit výpočtem a logickou úvahou). Poznámka: V uvedených komplexních číslech se
odmocňují pouze reálná čísla, nikoli imaginární jednotka i.
Řešení: Podle Geršgorinovy věty leží všechna vlastní čísla matice A v množině M, která je
sjednocením kruhů
{
√ 2 1 + i
K 1 = z ∈ C : |a − z| ≤ | − 3 + 4i| +
∣1 − i 1 + i∣
= 5 + √ 2
1 + i
∣ 2 ∣
}, = 5 + 1 = 6
{
∣ K 2 = z ∈ C : |9 + 3i − z| ≤
25 − 15i 1 − 3i
∣∣∣ ∣ 1 + 3i 1 − 3i∣ = 5 − 15i − 3i + 9i2
5 10 ∣
= | − 2 − 9i| = √ }
85 ,
K 3 = {z ∈ C : | √ 3 − √ 2i − z| ≤ |1 − √ 3i| = 2}.
Číslo 18 + 3i leží v K 2 (nebot’ |9 + 3i − (18 + 3i)| = 9 < √ 85), a at’ tedy zvolíme a jakkoli,
nemůžeme zaručit, že 18 + 3i není vlastním číslem matice A.
a) Jelikož
|1 + 6i − (−4 − 2i)| = |5 + 8i| = √ 89 > 6,
|9 + 3i − (−4 − 2i)| = |13 + 5i| > 13 > √ 85,
| √ 3 − √ 2i − (−4 − 2i)| = | √ 3 + 4 + (2 − √ 2)i| > |4| > 2,
bod −4 − 2i neleží v žádném z kruhů, tudíž nemůže být vlastním číslem matice A.
b) Jelikož
|1 + 6i| = √ 37 > 6,
|9 + 3i| = √ 90 > √ 85,
| √ 3 − √ 2i| = | √ 5| > 2,
bod 0 + 0i neleží v žádném z kruhů, tudíž nemůže být vlastním číslem matice A. Matice A tedy
je regulární.
Číslo ˜λ = 1 10 − i
30 je vlastním číslem matice A−1 právě tehdy, když číslo 1/˜λ je vlastním
číslem matice A. Číslo 1
˜λ = 1
1
10 − i
30
= 30 90 + 30i
= = 9 + 3i
3 − i 10
leží v kruhu K 2 a může být vlastním číslem matice A. Číslo ˜λ = 1 10 − i tedy může být vlastním
30
číslem matice A −1 .
20