Pr´ıklady k predmetu Matematika 4

8 Okrajové úlohy v 1D: řešitelnost
Příklad 8.1: Je dána okrajová úloha
Kolik má řešení
Řešení: Jelikož −π není vlastní číslo úlohy
u ′′ − πu = ln(π + x),
u(0) = 0, u(π) = 0.
u ′′ + λu = 0,
u(0) = 0, u(π) = 0,
má daná úloha právě jedno řešení.
(Studenti mohou mít příslušný systém vlastních čísel na povoleném taháku, takže vidí, že −π
není vlastní číslo úlohy. Stačí ovšem i jednodušší zdůvodnění tím, že vlastní čísla výše uvedené
homogenní úlohy jsou kladná.)
Příklad 8.2: Zjistěte, jak závisí počet řešení na parametru λ ∈ R:
u ′′ + λu = sin(−x) + 5sin 3x − 8sin 7x + 1 2 sin22x,
u(0) = u(π) = 0.
Řešení: Vlastní čísla jsou 5 V ≡ {k 2 : k = 1,2,3,... }, vlastní funkce příslušná k λ = k 2 je
u k = sin kx. Pravá strana f ≡ −u 1 + 5u 3 − 8u 7 + 1 2 u 22.
1. Jestliže λ /∈ V , pak právě jedno řešení.
2. Pro k = 1,3,7,22 je (u k ,f) ≠ 0, tedy pro λ = 1,9,49,22 2 úloha nemá řešení (22 2 = 484).
3. Jestliže λ ∈ V \ {1,9,49,22 2 }, pak úloha má nekonečně mnoho řešení.
Příklad 8.3: Zjistěte, jak závisí počet řešení okrajové úlohy
u ′′ + λu = 3sin 4x − sin5x + 8sin 9x, u(0) = 0 = u(π),
na parametru λ ∈ R. Odpověd’ jasně zformulujte vzhledem k hodnotám parametru λ.
Řešení: Vlastní čísla λ = k 2 , kde k = 1,2,3,... Příslušné vlastní fukce u k = sinkx. Pravá strana
f = 3u 4 − u 5 + 8u 9 .
λ ∈ R \ {k 2 : k = 1,2,... } (λ není vlastní číslo) ⇒ právě jedno řešení.
λ = 16 (k = 4) ⇒ nemá řešení (nebot’ pravá strana f není ortogonální k u 4 (proč)).
λ = 25 (k = 5) ⇒ nemá řešení (nebot’ pravá strana f není ortogonální k u 5 (proč)).
λ = 81 (k = 9) ⇒ nemá řešení (nebot’ pravá strana f není ortogonální k u 9 (proč)).
λ ∈ M, kde M = {k 2 : k ∈ N \ {4,5,9}} ⇒ má nekonečně mnoho řešení (pravá strana f je
ortogonální k u k , pokud k ≠ 4, k ≠ 5, k ≠ 9.
Hodnocení by mělo být nižší, pokud odpověd’ není formulovaná pro λ, ale jen pro k.
Příklad 8.4: Zjistěte, jak závisí počet řešení na parametru λ ∈ R:
u ′′ + λu = sin(−2x) + 3sin(−6x) − 2sin 10x + π sin 18x,
u(0) = u(π/2) = 0.
5 Obecně k 2 π2
(b−a) 2 , vlastní funkce u k (x) = sin kπ(x−a)
b−a
, kde k = 1, 2, . . .
36