Pr´ıklady k predmetu Matematika 4

Maticově
⎛
1 1 0 −1 0 |
⎞
0
⎛
1 1 0 −1 0 |
⎞
0
2 1 0 0 −2 | 0
0 −1 0 2 −2 | 0
1 0 0 −1 −1 | −3
⎜0 0 1 −1 0 | −3
∼
0 −1 0 0 −1 | −3
⎟ ⎜0 0 1 −1 0 | −3
⎟
⎝0 0 2 0 −1 | −3⎠
⎝0 0 0 2 −1 | 3 ⎠
0 0 0 −1 1 | 2 0 0 0 −1 1 | 2
⎛
⎞ ⎛
⎞
1 1 0 −1 0 | 0 1 1 0 −1 0 | 0
0 −1 0 2 −2 | 0
0 −1 0 2 −2 | 0
∼
0 0 0 −2 1 | −3
⎜0 0 1 −1 0 | −3
∼
0 0 1 −1 0 | −3
⎟ ⎜0 0 0 1 −1 | −2
⎟
⎝0 0 0 0 1 | 7 ⎠ ⎝0 0 0 −2 1 | −3⎠
0 0 0 −1 1 | 2 0 0 0 0 1 | 7
⎛
⎞
1 1 0 −1 0 | 0 ⎛
⎞
0 −1 0 2 −2 | 0
1 1 0 −1 0 | 0
∼
0 0 1 −1 0 | −3
0 −1 0 2 −2 | 0
⎜0 0 0 1 −1 | −2
∼
⎜0 0 1 −1 0 | −3
⎟
⎟ ⎝
⎝0 0 0 0 −1 | −7⎠
0 0 0 1 −1 | −2⎠ 0 0 0 0 1 | 7
0 0 0 0 1 | 7
Odtud λ v = 7, λ u = 5, c = 2, b = −4 a a = 9.
Zkouška ( ) ( ( ( ) (
9 −4 1 5 9 −4 2
= ,
=
2 3 1)
5)
2 3 1)
( )
14
.
7
Příklad 1.22: Jsou dány tyto matice
( ) ( )
1 0
−1 −1
I = , A =
0 1
−1 −1
Spočtěte
a) vlastní čísla matice B;
b) ‖B‖ 2 ;
c) vlastní čísla matice 17I − B.
, B = A 5 = AAAAA.
Řešení: a) Standardním postupem s vyřešením charakteristické rovnice se snadno spočítá,
že matice A má vlastní čísla λ 1 = 0 a λ 2 = −2. Ještě rychlejší však je tato úvaha: Matice
A je singulární, má tedy vlastní číslo λ 1 = 0. Jelikož dále obecně platí λ 1 + λ 2 = −1 − 1,
dostáváme λ 2 = −2.
b) Matice B má vlastní čísla µ 1 = 0 a µ 2 = (−2) 5 = −32 a je symetrická, tedy
‖B‖ 2 = 32.
c) Zaved’me matici C ≡ 17I − B. Jestliže θ je vlastní číslo matice C a v příslušný
vlastní vektor, pak θv = Cv = (17I − B)v = 17v − Bv, odtud Bv = (17 − θ)v, což
znamená, že v je také vlastním vektorem matice B příslušným vlastnímu číslu 17 − θ.
Ještě snáze nahlédneme, že pokud µ je vlastní číslo matice B a w příslušný vlastní vektor,
tj. µw = Bw, pak Cw = 17w − Bw = (17 − µ)w, a tudíž w je vlastní vektor matice C
příslušný vlastnímu číslu θ = 17 − µ.
12