Pr´ıklady k predmetu Matematika 4

d) Analogicky k c) (druhý odhad) dostáváme
(
‖̂x − x (22) ‖ ∞ ≤ ‖A‖ 22 ∞ ‖x (0) ‖ ∞ +
‖b‖ )
∞
=
1 − ‖A‖ ∞
( 2
3) 22
(
1 + 1 1
3
)
( ) 2 22
= 4 .
3
Tážeme se, zda log 10 4 + 22log 10
( 2
3)
je menší než −3 (tj. log10 0,001). Ukáže se, že ano (0,602 +
22(0,301 − 0,477) = 0,602 − 22 · 0,176 = 0,602 − 3,872 < −3).
Můžeme tedy zaručit, že ‖̂x − x (22) ‖ ∞ ≤ 0,001.
7 Lineární zobrazení
Příklad 7.1: Necht’ vektorový prostor V je dán takto:
V = {v ∈ C 1 ([0,1]) : v(0) = 0}.
Rozhodněte, zda zobrazení F 1 , F 2 , F 3 a F 4 daná předpisem
jsou na V lineární zobrazení.
F 1 (v) =
∫ 1
0
F 2 (v) = v 3 (0) +
F 3 (v) =
∫ 1
0
F 4 (v) = |v|
(2 + sinx)v(x)dx,
∫ 1
0
v 2 (x)dx,
e 2 (x)v ′ (x)dx,
Řešení: Připomeňme, že zobrazení F z vektorového prostoru ˆV do vektorového prostoru W
je lineární, jestliže pro každé celé číslo n a každá reálná čísla c 1 ,c 2 ,... ,c n a každé prvky
v 1 ,v 2 ,...,v n ∈ ˆV platí
Je zřejmé, že jestliže platí
F(c 1 v 1 + c 2 v 2 + · · · + c n v n ) = c 1 F(v 1 ) + c 2 F(v 2 ) + · · · + c n F(v n ). (1)
F(a 1 w 1 + a 2 w 2 ) = a 1 F(w 1 ) + a 2 F(w 2 ) (2)
pro každé a 1 ,a 2 ∈ R a každé w 1 ,w 2 ∈ ˆV , platí i (1). Stačí tedy ověřit (2).
Konkrétně: Zobrazení F 1 je lineární, nebot’
F 1 (a 1 w 1 + a 2 w 2 ) =
∫ 1
0
(2 + sin x)(a 1 w 1 (x) + a 2 w 2 (x))dx
∫ 1
∫ 1
= a 1 (2 + sin x)w 1 (x)dx + a 2 (2 + sin x)w 2 (x)dx
0
= a 1 F(w 1 ) + a 2 F(w 2 ).
Zobrazení F 2 je lineární, důkaz je obdobný jako u zobrazení F 1 , navíc se využije toho, že
v ∈ V ⇒ v(0) = 0.
Zobrazení F 3 není lineární, nebot’
F 3 (a 1 w 1 + a 2 w 2 ) =
=
∫ 1
0
∫ 1
0
(a 1 w 1 (x) + a 2 w 2 (x)) 2 dx
(a 2 1w 2 1(x) + 2a 1 a 2 w 1 (x)w 2 (x) + a 2 2w 2 2(x))dx
∫ 1
= a 2 1F 3 (w 1 ) + a 2 2F 3 (w 2 ) + 2a 1 a 2 w 1 (x)w 2 (x)dx.
32
0
0