Pr´ıklady k predmetu Matematika 4

Příklad 1.9: Je dána matice A a její vlastní vektor u příslušný jistému neznámému
vlastnímu číslu: ⎛
0 6
⎞
−5
⎛ ⎞
−29
A = ⎝15 9 15⎠, u = ⎝ 0 ⎠.
−6 −6 −1 29
Najděte všechna vlastní čísla matice A a všechny zbývající vlastní vektory matice A.
Dvě pomůcky: a) Vlastní čísla matice A jsou celá čísla.
b) Označíme-li −λ 3 + aλ 2 + bλ + c ≡ det(A − λI), platí a = λ 1 + λ 2 + λ 3 a c = λ 1 λ 2 λ 3 .
Řešení: Vlastní čísla λ 1 = 5, λ 2 = 9 a λ 3 = −6. Hodnoty splňují a) i b).
Příslušné vlastní vektory jsou v = (−1, −2/3, 1) T p a w = (−1, 1, 0) T q, kde p, q ∈
C \ {0}.
Příklad 1.10: Je dána matice A a její vlastní vektor u příslušný jistému neznámému
vlastnímu číslu:
⎛
7 3
⎞
1
⎛ ⎞
−17
A = ⎝−1 3 −1⎠ , u = ⎝ 0 ⎠ p, p ∈ C \ {0}.
−3 −3 3 17
Najděte všechna vlastní čísla matice A a všechny zbývající vlastní vektory matice A.
Řešení: Vlastní čísla λ 1 = 6, λ 2 = 3 a λ 3 = 4.
Příslušné vlastní vektory jsou v = (−1, 1, 1) T p a w = (−1, 1, 0) T q, kde p, q ∈ C \ {0}.
Příklad 1.11: Je dána matice A a její vlastní vektor u příslušný jistému neznámému
vlastnímu číslu: ⎛ ⎞
−3 −1 −11
⎛ ⎞
−43
A = ⎝11 9 11 ⎠ , u = ⎝ 43 ⎠ .
1 1 9 0
Najděte všechna vlastní čísla matice A a všechny zbývající vlastní vektory matice A.
(Dvě kontrolní pomůcky: 1) Vlastní čísla matice A jsou celá čísla. 2) Označíme-li −λ 3 + aλ 2 +
bλ + c ≡ det(A − λI), platí a = λ 1 + λ 2 + λ 3 a c = λ 1 λ 2 λ 3 .)
Řešení: Vlastní čísla λ 1 = −2, λ 2 = 8 a λ 3 = 9.
Příslušné vlastní vektory jsou v = (−1, 0, 1) T p a w = (−1, 1, 1) T q, kde p, q ∈ C \ {0}.
Příklad 1.12: Je dána matice A závislá na parametrech a, b ∈ R a jsou dány vektory u
a v:
⎛
a b
⎞
1
⎛ ⎞
−4
⎛ ⎞
−1
A = ⎝ 5 5 1⎠ , u = ⎝ 5 ⎠ , v = ⎝ 0 ⎠.
−5 −4 0 0 5
Nalezněte takové hodnoty parametrů a, b ∈ R, aby matice A měla vlastní vektory u a v,
stanovte příslušná vlastní čísla. Dále nalezněte zbývající vlastní číslo a zbývající vlastní
vektor matice A (s dosazenými hodnotami parametrů a, b ∈ R).
Řešení: Jelikož
⎛ ⎞
−4a + 5b
⎛ ⎞
−a + 5
Au = ⎝ 5
0
⎠ a Av = ⎝ 0
5
⎠,
6