Pr´ıklady k predmetu Matematika 4

Řešení: Označme α ≡ (x 1 ,y 1 ,z 1 ) a β ≡ (x 2 ,y 2 ,z 2 ). Pak pro a,b ∈ R, α,β ∈ R 3 jest
f i (aα + bβ) = af i (α) + bf i (β),
jestliže i = 1,2, tj. f 1 a f 2 jsou lineární zobrazení, f 3 a f 4 nejsou lineární zobrazení.
Příklad 7.4: Je dán vektorový prostor
V = {v ∈ C 1 ([−1,1]) : v(1) = 0}.
Rozhodně, zda zobrazení f i : V → R, i = 1,2,3,4,5, je či není lineární:
f 1 (v) = v(0),
f 2 (v) = v 2 (1),
f 3 (v) = ∫ 1
−1 v(x)sin(x)dx,
f 4 (v) = ∫ 1/2
0
v(x)dx,
f 5 (v) = ∫ −1/2
−1
v(x)ln |x|dx + ∫ 1
−1/2
(v(x) − v(x)cos(x))dx.
Nezapomeňte zdůvodnit své závěry.
Řešení: Pro ∀c ∈ R a ∀v,w ∈ V :
f 1 (cv) = cv(0) = cf 1 (v), f 1 (v + w) = v(0) + w(0) = f 1 (v) + f 1 (w), lineární zobrazení (LZ);
f 2 (cv) = 0 = cf 2 (v), f 2 (v + w) = 0 = f 2 (v) + f 2 (w), LZ;
f 3 (cv) = c ∫ 1
−1 v(x)sin(x)dx = cf 3(v), f 3 (v + w) = ∫ 1
−1 v(x)sin(x)dx + ∫ 1
−1 w(x)sin(x)dx =
f 3 (v) + f 3 (w), LZ;
f 4 LZ (postup jako u f 3 );
f 5 (v), LZ (postup jako u f 3 ).
Pozor, abychom dokázali linearitu zobrazení, musíme dokázat jeho linearitu jak vzhledem
k násobení, tak ke sčítání. Při důkazu toho, že zobrazení není lineární, postačí ukázat, že nemá
vlastnost linearity vzhledem k násobení nebo vhledem ke sčítání.
Příklad 7.5: Zobrazení F je (postupně čtyřmi způsoby) definováno na prostoru C 1 ([a,b]) funkcí
jednou spojitě diferencovatelných na uzavřeném intervalu [a,b]. Tyto funkce zobrazuje do prostoru
funkcí spojitých na [a,b]. Rozhodněte, zda zobrazení F je lineární, je-li F(u) = α, kde
u ∈ C 1 ([a,b]) a
a) α(x) = (sin xu(x)) ′ + ∫ x
a u(t)et dt v každém bodě x ∈ [a,b];
b) α(x) = max{e x ,u(x)} v každém bodě x ∈ [a,b];
c) α(x) = max{0,u(x)} + min{0,u(x)} v každém bodě x ∈ [a,b];
d) α(x) = 5u(x) − 3 2 u ( )
a+b
2
v každém bodě x ∈ [a,b].
Své rozhodnutí zdůvodněte.
Řešení: a) Necht’ c ∈ R, u ∈ C 1 ([a,b]) a α = F(u). Pak F(cu) = ρ, kde
ρ(x) = (sin x(cu(x))) ′ +
= cα(x), x ∈ [a,b].
∫ x
a
cu(t)e t dt = c(sin xu(x)) ′ + c
Necht’ navíc v ∈ C 1 ([a,b]) a β = F(v). Pak F(u + v) = ξ, kde
Zobrazení F tedy je lineární.
ξ(x) = (sin x(u(x) + v(x))) ′ +
= α(x) + β(x), x ∈ [a,b].
∫ x
a
∫ x
a
(u(t) + v(t))e t dt
u(t)e t dt
34