Pr´ıklady k predmetu Matematika 4

odkazem na v(−3) = 0 a u ′ (0) = 0. Jinak strhávejte body.
Podobně (u,Av). Operátor je symetrický.
Pozitivní definitnost 12 (ve smyslu skript [2])
(Au,u) =
≥
∫ 0
( 1
−3 3 x3 + 6x 2 + 11x + 46 3
( ( 1
min
t∈[−3,0] 3 t3 + 6t 2 + 11t + 46 3
∫ 0
= 10
≥ 20
9
= 2
−3
∫ 0
∫ 0
−3
u ′2 dx − 2 9
∫ 0
−3
−3
u 2 dx − 2 9
u 2 dx.
Hledaná konstanta c = 2 nebo c ∈ (0,2].
Minimalizace
je standardní. Ze vztahu
získáme t = −1. Jest
∫ 0
−3
∫ 0
−3
u 2 dx
u 2 dx
) ∫ 0
u ′2 dx −
−3
2
9 u2 dx
))
u ′2 dx − 2 9
min
t∈[−3,0] g(t), kde g(t) = ( 1
3 t3 + 6t 2 + 11t + 46 3
g ′ (t) = t 2 + 12t + 11 = (t + 1)(t + 11) = 0
g(−3) = −9 + 54 − 33 + 46 3 = 82 3 ,
)
∫ 0
−3
u 2 dx
g(−1) = − 1 3 + 6 − 11 + 46 3 = 30 3
= 10 ⇒ minimum,
g(0) = 46 3 .
Příklad 9.9: Stanovte operátor A (včetně definičního oboru D(A)) příslušný okrajové úloze
(−3x 3 + 15x 2 − 51 ) (
4 x + 6 u ′′ + −9x 2 + 30x − 51 ) (
u ′ + x − 1 )
u = sinx,
4 2
u(0) = 0, u(1) = 0.
Ukažte, že je možné tento operátor zvolit ( symetrický a zároveň)
takový, že lze nalézt konstantu
c > 0 takovou, že platí (Au,u) ≥ c ‖u‖ 2 L 2 (0,1) + ‖u′ ‖ 2 L 2 (0,1)
pro každou funkci u z D(A).
Odvod’te konkrétní hodnotu konstanty c. Napište operátorovou rovnici. Jednotlivé kroky řádně
zdůvodněte.
Řešení: Zadaná rovnice v divergentním tvaru −(pu ′ ) ′ + qu = f:
−
((3x 3 − 15x 2 + 51 ) ) ′ (
4 x − 6 u ′ + x − 1 )
u = sin x.
2
12 Využito ∫ b
a u′2 dx ≥ 2
(b−a) 2 ∫ b
a u2 dx. Minimalizace použitá při odhadování integrálu je popsána dále.
46