Pr´ıklady k predmetu Matematika 4

6 Odtud vidíme, že
a) 0 + 0i neleží v množině M, matice A je tedy regulární.
S_4
4
S_1
b) 2+2i (bod L 1 ) neleží v množině M, takže nemůže
být vlastním číslem matice A.
L_2
2
c) −2 + 3i (bod L 2 )leží v množině M, takže není vyloučeno,
že je vlastním číslem matice A.
L_1 L_4
d) λ 3 je vlastním číslem matice A −1 právě tehdy, je-li
K4 K2 0 2 4 λ 4 = 4 + 2i vlastním číslem matice A; λ 4 (bod L 4 )
však neleží v M, tudíž 1/5−i/10 určitě není vlastním
K2
číslem matice A −1 .
S_2
S_3 Tyto závěry je třeba podpořit výpočty a odhady jako
K4
v Příkladě 2.3.
Příklad 2.6: Je dána matice
⎛
⎞
1 + 3i 1 + i 2/(1 + i)
A = ⎝ 1/2 3 − 2i (1 + i)/i⎠ .
−2i (1 + i)/2 −3i
Pomocí Geršgorinovy věty zjistěte,
a) zda je zaručeno, že matice A je regulární;
b) zda by číslo 2 + 3i mohlo být vlastním číslem matice A;
c) zda by číslo −3 − 2i mohlo být vlastním číslem matice A;
d) zda by číslo −2/5 − i/5 mohlo být vlastním číslem matice A −1 .
Odpovědi jasně zformulujte a zdůvodněte. Pomůcka: √ 2 = 1,41.
Řešení: Podle Geršgorinovy věty leží všechna vlastní čísla matice A v množině M, která je
sjednocením kruhů
K 1 = {z ∈ C : |1 + 3i − z| ≤ √ 2 + √ 2},
K 2 = {z ∈ C : |3 − 2i − z| ≤ 1/2 + √ 2},
K 3 = {z ∈ C : | − 3i − z| ≤ 2 + √ 2/2}.
4
S_1 L_1
2
L_4
K3 K2 K1 0 1 2 3 4
K2
L_2
S_2
S_3
K4
Vidíme, že
a) 0 + 0i neleží v množině M, matice A je tedy regulární.
b) 2+3i (bod L 1 ) leží v množině M, takže není vyloučeno,
že je vlastním číslem matice A.
c) −3−2i (bod L 2 )neleží v množině M, takže nemůže být
vlastním číslem matice A.
d) −2/5 −i/5 je vlastním číslem matice A −1 právě tehdy,
je-li −2+i vlastním číslem matice A; −2+i (bod L 4 ) však
neleží v M.
Tato pozorování je však třeba dokázat výpočty a odhady
jako v Příkladě 2.3.
18