Pr´ıklady k predmetu Matematika 4

Příklad 4.3: Jsou dány matice A,B,C a vektory v,w:
⎛
⎞
2 −1 2 a
( )
A = ⎜−1 0 4 −4
⎟ −1 3
⎝ 5 −1 2 4 ⎠ , B = , C =
3 −1
−3 2 −4 −1
( ) 1 −1
, v =
1 1
⎛
⎜
⎝
2
3
−1
−2
⎞
⎟
⎠ ,
w = Av.
Najděte takové záporné reálné číslo a, aby platilo ‖w‖ 2 = 7 √ 2. Tuto hodnotu a použijte i k
výpočtu ‖w‖ 1 , ‖w‖ ∞ , ‖A‖ 1 , ‖A‖ ∞ . Dále stanovte ‖B‖ 2 a ‖C‖ 2 .
Řešení: w = (−1 − 2a,2, −3,6) T a ‖w‖ 2 = √ 49 + (1 + 2a) 2 . Odtud a = −4.
Pak w = (7,2, −3,6) T a ‖w‖ 1 = 7 + 2 + 3 + 6 = 18.
‖w‖ ∞ = 7.
‖A‖ 1 = max{11,4,12,13} = 13.
‖A‖ ∞ = max{9,9,12,10} = 12.
Matice B je symetrická. Její vlastní čísla jsou kořeny polynomu λ 2 +2λ −8, tj. λ 1 = 2, λ 2 = −4,
tudíž ‖B‖ 2 = 4.
Matice C není symetrická. ‖C‖ 2 = √̺(C ( ) 2 0
T C), kde C T C = . Vlastní číslo 2 je dvojnásobné
0 2
a ‖C‖ 2 = √ 2.
Příklad 4.4: Jsou dány matice A,B,C a vektory v,w:
⎛
⎞
2 −1 2 −4
( )
A = ⎜−1 1 4 −4
⎟ −2 3
⎝ 2 −1 2 4 ⎠ , B = , C =
3 −2
a 0 −4 −1
( ) −1 −1
, v =
1 1
⎛ ⎞
−2
⎜ 3
⎟
⎝−2⎠ ,
−1
w = Av.
Najděte takové záporné reálné číslo a, aby platilo ‖w‖ 2 = 10 √ 5. Tuto hodnotu a použijte i k
výpočtu ‖w‖ 1 , ‖w‖ ∞ , ‖A‖ 1 , ‖A‖ ∞ . Dále stanovte ‖B‖ 2 a ‖C‖ 2 .
Řešení: w = (−7,1, −15, −2a+9) T a ‖w‖ 2 = √ 275 + (2a − 9) 2 . Odtud (2a −9) 2 = 500 −275 =
225, tedy a = −3.
Pak w = (−7,1, −15,15) T a ‖w‖ 1 = 7 + 1 + 15 + 15 = 38.
‖w‖ ∞ = 15.
‖A‖ 1 = max{8,3,12,13} = 13.
‖A‖ ∞ = max{9,10,9,8} = 10.
Matice B je symetrická. Její vlastní čísla jsou kořeny polynomu λ 2 +4λ −5, tj. λ 1 = 1, λ 2 = −5,
tudíž ‖B‖ 2 = 5.
Matice C není symetrická. ‖C‖ 2 = √̺(C ( ) 2 2
T C), kde C T C = . Charakteristický polynom
2 2
λ 2 − 4λ, vlastní čísla 0 a 4, tedy ‖C‖ 2 = √ 4 = 2.
Příklad 4.5: Necht’ matice A a vektor z jsou:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 a 2 1
A = ⎝−2 0 b⎠, z = ⎝−1⎠ .
c 1 2 1
Pomocí A a z jsou zadány vektory v a w, konkrétně v = Az a w = A T z. Nalezněte takové
hodnoty a,b,c ∈ R, aby v = w a ‖v‖ 2 = 2 √ 2.
24