Pr´ıklady k predmetu Matematika 4

možné použít Friedrichsovu nerovnost, je nejdříve nutné odhadnout hodnotu integrálu
zdola pomocí minima funkce p na [a,b].
c) Pokud p > 0 a funkce q není na [a,b] nezáporná (pozor, může být záporná nebo může
měnit znaménko), postupuje se jako v a), navíc je však nezbytné vhodně odhadnout i
druhý integrál v (6). Pro splnění pozitivní definitnosti by odhad v tomto případě měl být
takový, že ač druhý integrál odhadneme zespoda zápornou hodnotou, je součet dolního
odhadu prvního integrálu a této záporné hodnoty stále ještě větší nebo roven c‖u‖ 2 , kde
c > 0. Jestliže máme před druhým integrálem znaménko +, jako je tomu v (6), je odhad
založen na hodnotě minima funkce q na [a,b].
5. Pokud jsme omylem v (5) neověřili kladnost p nebo chybně (zbytečně) změnili znaménko
rovnice, ukáže se to právě při zjišt’ování pozitivní definitnosti. První integrál totiž nebude
kladný. Pak stačí rovnici a definiční předpis operátoru násobit −1 a znovu se věnovat
důkazu pozitivní definitnosti, symetrie operátoru zůstane zachována.
6. Pozitivní definitnost operátoru A může mít i podobu
∀u ∈ D(A)
(∫ b
(u,u) A ≥ c u 2 dx +
a
∫ b
a
) (
)
u ′2 dx = c ‖u‖ 2 L 2 (a,b) + ‖u′ ‖ 2 L 2 (a,b)
, (8)
kde c je kladná konstanta nezávislá na u ∈ D(A). Myšlenka důkazu nerovnosti (8) je
založena na rozkladu (u,u) A na součet dvou členů, například
(u,u) A = α(u,u) A + β(u,u) A ,
kde α,β > 0, přičemž α + β = 1; postačí zvolit α = β = 1/2. Pak postupem vyloženým v
bodu 4 ukážeme, že první sčítanec splňuje nerovnost (7) , tj.
U druhého sčítance usilujeme o odhad
Kombinací (9) a (10) dostaneme odhad (8)
∫ b
α(u,u) A ≥ c 1 u 2 dx. (9)
a
∫ b
β(u,u) A ≥ c 2 u ′2 dx. (10)
∫ b ∫ b
(u,u) A = α(u,u) A + β(u,u) A ≥ c 1 u 2 dx + c 2 u 2 dx
a
a
(
)
≥ c ‖u‖ 2 L 2 (a,b) + ‖u′ ‖ 2 L 2 (a,b)
,
kde c = min(c 1 ,c 2 ) > 0. V praxi je jednodušší myšlenku rozkladu uplatnit až v průběhu
odhadování, a to na integrál ∫ b
a u′2 dx, viz řešení příkladu 9.9, kde je též ukázáno, že
vhodná volba koeficientů α a β může zlepšit (zvětšit) konstantu c.
a
Poznámka: Výslovně upozorňuji na to, že popis řešení úloh v kapitolách 9, 10 a 11 je většinou
zkratkovitý. V mnoha případech se například hned na začátku uvádí nutnost násobit rovnici
hodnotou −1, aniž by na daném intervalu byly zjištěny extrémy funkce p, z nichž se pozná,
zda p je kladná či záporná funkce, či zda dokonce nemění znaménko (poslední případ by vedl k
podezření, že nelze najít operátor, který by byl pozitivně definitní).
40