Pr´ıklady k predmetu Matematika 4

Příklad 8.7: Zjistěte, jak závisí počet řešení na parametru λ ∈ R v úloze
u ′′ + λu = − 1 3 sin(−2x) + 7sin 6x − 1 9 sin 14x + 5sin(−18x) − 2 7 sin(−22x),
Nezapomeňte své závěry řádně zdůvodnit.
u(0) = u ′ (π/4) = 0.
Řešení: Vlastní čísla jsou 7 V ≡ {4(2k + 1) 2 : k = 0,1,2,... }, vlastní funkce příslušná k λ =
4(2k + 1) 2 je u k = sin ( 2(2k + 1)x ) . Pravá strana f ≡ 1 3 u 0 + 7u 1 − 1 9 u 3 − 5u 4 + 2 7 u 5.
1. Jestliže λ /∈ V , pak právě jedno řešení.
2. Pro k = 0,1,3,4,5 je (u k ,f) ≠ 0, tedy pro λ = 4,36,196,324,484 úloha nemá řešení.
3. Jestliže λ ∈ V \ {4,36,196,324, 484}, pak příslušná vlastní funkce je ortogonální k f, a
tudíž úloha má nekonečně mnoho řešení.
Příklad 8.8: 1) Zjistěte, jak závisí počet řešení na parametru λ ∈ R v úloze
u ′′ + λu = −3sin(−2x) + sin(−6x) + 2sin(18x) − 1 3 sin(−26x),
u(0) = u ′ (π/4) = 0.
Nezapomeňte své závěry řádně zdůvodnit.
2) Je dána okrajová úloha u ′′ + 16u = f, u(−π/2) = 0 = u(π/2).
Rozhodněte, zda a kolik má řešení, jestliže a) f ≡ 1; b) f ≡ x 2 .
Své rozhodnutí řádně zdůvodněte (výpočtem, úvahou).
Řešení: 1) Vlastní čísla jsou V ≡ {4(2k + 1) 2 : k = 0,1,2,... }, vlastní funkce příslušná
k λ = 4(2k + 1) 2 je u k = sin ( 2(2k + 1)x ) . Pravá strana f ≡ 3u 0 − u 1 + 2u 4 + 1 3 u 6.
1. Jestliže λ /∈ V , pak právě jedno řešení.
2. Pro k = 0,1,4,6 je (u k ,f) ≠ 0, tedy pro λ = 4,36,18 2 = 324,26 2 = 676 úloha nemá
řešení.
3. Jestliže λ ∈ V \ {4,36,324,676}, pak příslušná vlastní funkce je ortogonální k f, a tudíž
úloha má nekonečně mnoho řešení.
2) Pro tuto úlohu jsou vlastní čísla dána hodnotami k 2 π2 = k 2 , kde k = 1,2,3,...
(b−a) 2
Hodnota 16 tedy je vlastním číslem s příslušnou vlastní funkcí
= sin(4x + 2π) = sin(4x), což je lichá funkce.
a) Platí (u 4 ,1) = 0, nebot’ u 4 (x) je funkce lichá na ( − π 2 , π 2)
. Také (u4 ,x 2 ) = 0, nebot’ x 2 u 4 (x)
je funkce lichá na ( − π 2 , π 2)
. Obě úlohy mají nekonečně mnoho řešení.
u 4 (x) = sin 4π(x−a)
b−a
7 Obecně (k+1/2)2 π 2
(b−a) 2 , k = 0, 1, 2, . . ..
38