Pr´ıklady k predmetu Matematika 4

kde f = x 2 a ω = x 2 − 1. Jest
(f,ω) =
∫ 1
−1
x 2 (x 2 − 1)dx =
∫ 1
−1
[ x
(x 4 − x 2 5
)dx =
5 − x3
3
] 1
−1
= 2 5 − 2 3 = − 4 15 .
(Aω,ω) =
∫ 1
−1
(x 2 + 4)(ω ′ ) 2 dx =
[ 4
=
5 x5 + 16 ] 1
3 x3 −1
∫ 1
−1
(x 2 + 4)4x 2 dx =
= 8 5 + 32 3 = 184
15 .
Odtud a = −1/46. Přibližné řešení w(x) = (1 − x 2 )/46, kde x ∈ [−1,1].
∫ 1
−1
(4x 4 + 16x 2 )dx
Příklad 10.3: Stanovte operátor (včetně definičního oboru D(A)) příslušný okrajové úloze
−(1/2 + x)u ′′ − u ′ = x,
u(0) = 0, u(1) = 0;
ukažte, že je symetrický a že pro každou funkci v ∈ D(A) platí (Av,v) ≥ 1 2 ‖v′ ‖ 2 L 2 (0,1) (nezapomeňte
na zdůvodnění). Pak Ritzovou metodou najděte přibližné řešení okrajové úlohy. Ritzovu
aproximaci hledejte ve tvaru w = ax(x − 1). (Pro operátor platí i (Av,v) ≥ ˜c‖v‖ 2 L 2 (0,1), ˜c > 0,
což ale nemusíte dokazovat. 19 )
Řešení: Operátor Au ≡ − ((1/2 + x)u ′ ) ′ s definičním oborem
D(A) = {u ∈ C 2 ([0,1]) : u(0) = 0 = u(1)}.
Symetrie (pomocí integrace po částech a s využitím okrajových podmínek), dále
(Av,v) ≥ 1 2
∫ 1
0
v ′2 dx
∀v ∈ D(A).
Z podmínky minima funkcionálu energie plyne 20
kde f = x a ω = x(x − 1). Jest
(f,ω) =
∫ 1
0
a = (f,ω)
(Aω,ω) ,
[ x
(x 3 − x 2 4
)dx =
4 − x3
3
] 1
0
= − 1
12 .
(Aω,ω) =
=
=
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
0
(1/2 + x) ( (x(x − 1)) ′) 2 dx
(1/2 + x)(2x − 1) 2 dx =
∫ 1
(4x 3 − 2x 2 − x + 1/2)dx =
Odtud a = −1/4. Přibližné řešení w = −x(x − 1)/4 = (x − x 2 )/4.
0
(1/2 + x)(4x 2 − 4x + 1)dx
[x 4 − 2x3
3 − x2
2 + x 1
= 1/3.
2]
0
19 Úloha je z období, kdy se ještě studentům tajila nerovnost (12). S její pomocí určíte i vhodnou
konstantu ˜c.
20 Studenti nemusejí odvozovat, mohou přímo použít vztah pro a.
50