Pr´ıklady k predmetu Matematika 4

Příklad 1.14: Je dána matice A a její vlastní vektor u příslušný jistému neznámému
vlastnímu číslu:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
a −6 −13
−27
A = ⎝13 8 13 ⎠, u = ⎝ 0 ⎠ p, p ∈ C \ {0},
6 6 8 27
kde a ∈ R. Určete parametr a, najděte všechna vlastní čísla matice A a všechny zbývající
vlastní vektory matice A. (Doporučení: Při výpočtu charakteristického polynomu se snažte
vyhnout vypočítávání součinů. Pracujte se součiny ve tvaru například 6 ·6·13 či 6 ·13 ·13
a ve výrazech vhodně vytýkejte společné činitele.)
Řešení: Počítejme s vlastním vektorem û = (−1, 0, 1) T . Jelikož Aû = (−a − 13, 0, 2) T , je
(dle třetí složky) příslušné vlastní číslo λ 1 = 2 a platí −a − 13 = 2(−1), tedy a = −11.
Charakteristický polynom 4 matice A
(−11 − λ)(8 − λ)(8 − λ) − 6 · 6 · 13 − 6 · 13 · 13
+ 6 · 13(8 − λ) − 6 · 13(−11 − λ) + 6 · 13(8 − λ)
= (−11 − λ)(8 − λ)(8 − λ) − 19 · 6 · 13
+ 6 · 13(8 − λ + 11 + λ + 8 − λ)
= (−11 − λ)(8 − λ)(8 − λ) − 19 · 6 · 13 + 6 · 13(27 − λ) [*]
= (−11 − λ)(64 − 16λ + λ 2 ) + 8 · 6 · 13 − 6 · 13λ
= −11 · 8 · 8 + 11 · 16λ − 11λ 2 − 64λ + 16λ 2 − λ 3 + 8 · 6 · 13 − 6 · 13λ
= 8(78 − 88) + 16λ(11 − 4) + 5λ 2 − λ 3 − 6 · 13λ
= −80 + 2λ(8 · 7 − 3 · 13) + 5λ 2 − λ 3
= −80 + 34λ + 5λ 2 − λ 3
vydělíme polynomem λ − 2 a dostaneme polynom
−λ 2 + 3λ + 40 = −(λ + 5)(λ − 8)
s kořeny λ 2 = 8 a λ 3 = −5.
Příslušné vlastní vektory jsou (pozor na jejich (nenulové) násobky)
v = (−1, 1, 1) T p, p ∈ C \ {0} a w = (−1, 1, 0) T q, q ∈ C \ {0}.
Příklad 1.15: Stanovte hodnotu parametrů a, b ∈ R tak, aby vektor v = (2, 1) T byl
vlastním vektorem matice ( ) a −a
2
A =
b b 2
příslušným některému nenulovému vlastnímu číslu (matice A). Proved’te zkoušku.
Řešení: Necht’ vlastní vektor v odpovídá nějakému vlastnímu číslu λ. Pak platí
−a 2 + 2a = 2λ,
b 2 + 2b = λ.
4 V místě označeném [*] je, jak si povšimli dva studenti, lepší pokračovat takto
a vyhnout se dělení polynomů.
= (−11 − λ)(8 − λ) 2 + 6 · 13(8 − λ) = (8 − λ)[(−11 − λ)(8 − λ) + 78]
= (8 − λ)[−10 + 3λ + λ 2 ] = (8 − λ)(λ − 2)(λ + 5)
8