Pr´ıklady k predmetu Matematika 4

Jest ‖C −1 ‖ 2 = 1/λ 3 , kde λ 3 je nejmenší vlastní číslo matice C. Protože λ 3 ∈ [6,10], platí
‖C −1 ‖ 2 ∈ [1/10, 1/6].
Dostaneme tedy κ(C) ∈ [96, 1000/6].
Příklad 3.3: Pomocí Geršgorinovy
⎛
věty odhadněte
⎞
zdola a shora číslo podmíněnosti matice
252 −8 2 5
A (intervalový odhad), A = ⎜−8 −900 −1 31
⎟
⎝ 2 −1 15 2 ⎠ . K výpočtu čísla podmíněnosti κ(A)
5 31 2 348
použijte spektrální normu ‖ · ‖ 2 . Svůj postup zdůvodněte.
(Připomenutí: Je-li regulární matice reálná a symetrická, je matice k ní inverzní také reálná
a symetrická.)
Řešení: Z definice je κ(A) = ‖A‖ 2 ‖A −1 ‖ 2 . Matice A je reálná a symetrická, tedy vlastní čísla
jsou reálná a ‖C‖ 2 = ̺(A).
Podle Geršgorinovy věty leží všechna vlastní čísla matice C ve sjednocení kruhů, v našem
případě úseček
K 1 = {z ∈ R : |252 − z| ≤ 15} ⇒ [237, 267],
K 2 = {z ∈ R : | − 900 − z| ≤ 40} ⇒ [−940, −860],
K 3 = {z ∈ R : |15 − z| ≤ 5} ⇒ [10, 20],
K 4 = {z ∈ R : |348 − z| ≤ 38} ⇒ [310, 386].
Tři vlastní čísla tedy jsou kladná, jedno záporné, jeho absolutní hodnota je však větší než
absolutní hodnota zbývajících vlastních čísel. Tudíž ‖A‖ 2 = ̺(A) ∈ [860, 940].
Vlastní čísla matice A −1 jsou převrácenými hodnotami vlastních čísel matice A, proto leží
v intervalech [1/267, 1/237], [−1/860, −1/940], [1/20, 1/10], [1/386, 1/310].
Odtud ‖A −1 ‖ 2 = ̺(A −1 ) ∈ [1/20, 1/10].
Dostaneme tedy κ(A) ∈ [860/20, 940/10] = [43, 94].
Příklad 3.4: Pomocí Geršgorinovy
⎛
věty odhadněte zdola
⎞
a shora číslo podmíněnosti matice
−1050 −23 −2 25
A (intervalový odhad), A = ⎜ −23 214 2 7
⎟
⎝ −2 2 −25 1 ⎠ . K výpočtu čísla podmíněnosti κ(A)
25 7 1 470
použijte spektrální normu ‖ · ‖ 2 . Svůj postup zdůvodněte.
(Připomenutí: Je-li regulární matice reálná a symetrická, je matice k ní inverzní také reálná
a symetrická.)
Řešení: κ(A) ∈ [1000/30, 1100/20] = [100/3, 55]
Příklad 3.5: Pomocí Geršgorinovy
⎛
věty odhadněte
⎞
zdola a shora číslo podmíněnosti matice C
−10 0 1 −1
(intervalový odhad), C = ⎜ 0 207 7 5
⎟
⎝ 1 7 603 −14⎠ .
−1 5 −14 800
K výpočtu čísla podmíněnosti κ(C) použijte spektrální normu ‖·‖ 2 . Svůj postup zdůvodněte.
(Připomenutí: Je-li regulární matice reálná a symetrická, je matice k ní inverzní také reálná a
symetrická.)
Řešení: κ(C) ∈ [780/12, 820/8] = [65, 205/2]
22