Pr´ıklady k predmetu Matematika 4

Hledanou konstantu c tedy můžeme volit např. takto: c ∈ (0,3/2]. Horní mez pro konstantu c
lze zvýšit vhodnějším rozdělením integrálu. Například volba
∫ 1
0
u ′2 dx = 7
18
∫ 1
0
u ′2 dx + 11
18
∫ 1
0
u ′2 dx
s uplatněním Friedrichsovy nerovnosti na první integrál vpravo by nás přivedla k c ∈ (0,11/6].
Operátorová rovnice: najít takovou funkci u ∈ D(A), aby platilo
Au = − sinx.
10 Pozitivní definitnost operátorů,
Ritzova metoda
Doporučuji přečíst si text na začátku předchozí kapitoly a věnovat pozornost i obtížnějším
příkladům 9.8 a 9.9.
Příklad 10.1: Najděte pozitivně definitní operátor A (včetně definičního oboru D(A)) příslušný
okrajové úloze
(4x 2 − 4x + 8)u ′′ + (8x − 4)u ′ = −π cos 4 x, (14)
u(0) = 0, u(π) = 0. (15)
S použitím nalezeného operátoru napište okrajovou úlohu (14)-(15) jako operátorovou rovnici.
Ukažte, že operátor je symetrický na D(A) a že pro každou funkci v ∈ D(A) platí (Av,v) ≥
c‖v‖ 2 L 2 (0,π), kde c je kladná konstanta, tuto konstantu konkretizujte. Lze zaručit, že c > 6/5
Ritzovou metodou pak najděte přibližné řešení okrajové úlohy s operátorem A. Ritzovu aproximaci
hledejte ve tvaru w = asin x, kde a ∈ R. (Pro usnadnění výpočtů: ∫ π
0 cos2 xdx = π
∫
2 ,
π
0 xcos2 xdx = π2
4 , ∫ π
0 x2 cos 2 xdx = π3
6 + π 4 .)
Řešení: Operátor Au ≡ −4 ( (x 2 − x + 2)u ′) ′ s definičním oborem
D(A) = {u ∈ C 2 ([0,π]) : u(0) = 0 = u(π)}.
Operátorová rovnice: najít takovou funkci u ∈ D(A), aby platilo (znaménka!)
−4 ( (x 2 − x + 2)u ′) ′
= π cos 4 x.
Symetrie (integrace po částech, role okrajových podmínek 15 )
(Au,v) = 4
∫ π
0
(x 2 − x + 2)u ′ v ′ dx = 4
Pozitivní definitnost (ve smyslu skript [2]) 16
(Av,v) = 4
≥ 7
∫ π
0
∫ π
0
(x 2 − x + 2)v ′2 dx ≥ 4
∫ π
v ′2 dx ≥ 7 2 π 2 ‖v‖2 L 2 (0,π) ,
0
∫ π
0
(x 2 − x + 2)v ′ u ′ dx = (u,Av).
(
)
min
t∈[0,π] (t2 − t + 2) v ′2 dx
15 V písemce je nutné konkrétně zdůvodnit, proč člen [ (x 2 − x + 2)u ′ (x)v(x) ] π
je roven nule. Je to
0
důsledek rovnosti v(0) = 0 = v(π) zavedené v množině D(A), do níž patří jak u, tak v. Pozor, pro
u ∈ D(A) obecně u ′ (0) ≠ 0 ≠ u ′ (π).
16 Studenti by měli znát Friedrichsovu nerovnost (12).
48