Pr´ıklady k predmetu Matematika 4

6
S_4
4
2 B_1
S_1
K4 K2 0 2 4
B_2K2
S_2 S_3
K4
Z obrázku vidíme, že
a) 2+2i (viz bod B 1 ) neleží v množině M, takže
nemůže být vlastním číslem matice A.
b) −1 − i (viz bod B 2 ) leží v množině M, takže
není vyloučeno, že je vlastním číslem matice A.
Obrázek je zde vyroben vhodným softwarem,
tedy je poměrně přesný. Náčrtek od ruky by však
pro odpověd’ nebyl dostatečným zdůvodněním.
Proto je vhodné pozorování a) a b) potvrdit
výpočtem.
Označme d j i vzdálenost bodu B j od bodu S i , kde i = 1, 2, 3, 4 a j = 1, 2. Platí
d 1 1 = |2 + 2i − (−2)| = |4 + 2i| > 4 > r 1 ,
d 1 2 = |2 + 2i − (−√ 3 − √ 6i)| > |2 + √ 3| > r 2 ,
d 1 3 = |2 + 2i − (3 − √ 7i)| = | − 1 + (2 + √ 7)i| > 2 + √ 7 > 4 > r 3 ,
d 1 4 = |2 + 2i − (−√ 7 + 3 √ 2i)| > |2 + √ 7| > 4 > r 4 ,
d 2 2 = | − 1 − i − (−√ 3 − √ 6i)| = | √ 3 − 1 + ( √ 6 − 1)i|
( )
∣ <
5
∣ 2 − 1 + 2 − 1 ∣∣∣
i
∣ = 1 + 3 ∣ ∣∣∣
2 i = √ 13/4 < 2 < r 2 .
První čtyři řádky dokazují, že bod B 1 leží mimo množinu M, pátý řádek ukazuje, že bod
B 2 leží v kruhu K 2 .
Příklad 2.2: Je dána matice
⎛√ √ √
5 + 11 i −1/4 − 15i/4 3i/4
⎞ −1/2 − i
A = ⎜ i 3 − 4i 1/2 − i/2 1/3 + i/3
⎝ 1 + 2i i/2 −4 − √ ⎟
11i −1/2 ⎠ .
2 − i 1 + i −1 −6
Pomocí Geršgorinovy věty zjistěte,
a) zda by číslo 1/2 + i/2 mohlo být vlastním číslem matice A;
b) zda by číslo 1 − i mohlo být vlastním číslem matice A.
Odpovědi jasně zformulujte a zdůvodněte.
Řešení: Podle Geršgorinovy věty leží všechna vlastní čísla matice C v množině M, která
je sjednocením kruhů K i se středy S i a poloměry r i , i = 1, 2, 3, 4, tj.
K 1 = {z ∈ C : | √ 5 + √ 11i − z| ≤ 1 + 3/4 + √ 5/2 = 7/4 + √ 5/2},
K 2 = {z ∈ C : |3 − 4i − z| ≤ 1 + √ 2/2 + √ 2/3},
K 3 = {z ∈ C : | − 4 − √ 11i − z| ≤ √ 5 + 1/2 + 1/2 = 1 + √ 5},
K 4 = {z ∈ C : | − 6 − z| ≤ √ 5 + √ 2 + 1}.
14