Pr´ıklady k predmetu Matematika 4

Ještě větší c nám poskytne použití (Friedrichsovy) nerovnosti 9
Pak totiž
∫ b
ln 2 ( (
‖u ′ ‖ 2 + ‖u‖ 2) ≥ ln 2
a
∫
u ′2 2 b
dx ≥
(b − a) 2 u 2 dx. (12)
)
2
(5 − 2) 2 ‖u‖2 + ‖u‖ 2
a
= 11ln 2 ‖u‖ 2 .
9
Příklad 9.2: Jako příklad 9.1, jen s rovnicí
u ′′ ln x + u′
x
= 1, u(2) = 0, u(5) = 0.
Řešení: Stejný postup jako v příkladu 1, jen v pozitivní definitnosti se využije nerovnosti (12):
∀u ∈ D(A) (Au,u) =
∫ 5
2
u ′2 ln xdx ≥ ln 2‖u ′ ‖ 2 ≥ 2 9 ln 2‖u‖2 .
Příklad 9.3: Stanovte operátor A (včetně definičního oboru D(A)) příslušný okrajové úloze
u ′′ e −4x
20
− u′ e −4x
5
− ue −2x = x 3 + 2, u(0) = 0, u(2) = 0.
Ukažte, že lze najít operátor symetrický a takový, že pro každou funkci u z D(A) platí (Au,u) ≥
c‖u‖ 2 L 2 (0,2), kde c je vhodná kladná konstanta — její velikost blíže určete.
( u ′ e −4x ) ′
Řešení: Operátor Au ≡ − + ue −2x s definičním oborem
20
D(A) = {u ∈ C 2 ([0, 2]) : u(0) = 0 = u(2)}.
Symetrie (pomocí integrace po částech a s využitím okrajových podmínek 10 )
∫ [
2
( u ′ e −4x ) ′
]
(Au,v) = − + ue −2x v dx
0 20
∫ 2
( )
e
−4x
=
0 20 u′ v ′ + e −2x uv dx ∀u,v ∈ D(A),
∫ 2
( )
e
−4x
(u,Av) =
20 u′ v ′ + e −2x uv dx ∀u,v ∈ D(A).
0
Pozitivní definitnost (ve smyslu skript [2])
∫ 2
( )
e
−4x
(Au,u) =
20 u′2 + e −2x u 2 dx ≥ c‖u‖ 2 L 2 (0,2) ,
kde (například) c = 1/100; min x∈[0,2] e −2x = e −4 > 3 −4 > 1/100.
0
Příklad 9.4: Stanovte operátor A (včetně definičního oboru D(A)) příslušný okrajové úloze
x 2 u ′′ + 2xu ′ − usin(x) = 2cos x + 1, u(π/6) = 0, u(5π/6) = 0.
9 Nerovnost platí pro u ∈ C 1 ([a, b]), přičemž u(a) = 0, viz [1, strana 112]. S touto nerovností se studenti
setkají na přednášce.
10 Využití okrajových podmínek by mělo být řádně vysvětleno, viz řešení Příkladu 9.7.
42