Pr´ıklady k predmetu Matematika 4

Z Au = λu a b = 1/2 dále obdržíme
Odtud
Řešením tedy jsou dvě trojice hodnot a,b,c.
2a − 2b = 2λ ⇒ a = 1 2 + λ,
2 − c = −λ ⇒ c = 2 + λ.
λ = √ 2 ⇒ a = 1 2 + √ 2, b = 1 2 , c = 2 + √ 2;
λ = − √ 2 ⇒ a = 1 2 − √ 2, b = 1 2 , c = 2 − √ 2.
Příklad 4.7: Jsou dány matice A,B,C a vektory v,w:
⎛ ⎞
⎛ ⎞
3 −4 2 ( ) ( ) −1
A = ⎝−5 a 1/2⎠ −1 3 1 1
, B = , C = , v = ⎝ 3 ⎠, w = Av.
3 −1 2 1
−2 7 −6
4
Najděte takové celé číslo a, aby platilo ‖w‖ 2 = 5 √ 3. Tuto hodnotu a použijte i k výpočtu ‖w‖ 1 ,
‖w‖ ∞ , ‖A‖ 1 , ‖A‖ ∞ . Dále stanovte ‖B‖ 2 a ‖C‖ 2 .
Řešení: w = (−7,3a + 7, −1) T a 25 · 3 = ‖w‖ 2 2 = 49 + (3a + 7)2 + 1. Odtud (3a + 7) 2 = 25, tedy
a = −4.
Pak w = (−7, −5, −1) T a ‖w‖ 1 = 7 + 5 + 1 = 13.
‖w‖ ∞ = 7.
‖A‖ 1 = max{10,15,17/2} = 15.
‖A‖ ∞ = max{9,19/2,15} = 15.
Matice B je symetrická. Její vlastní čísla jsou kořeny polynomu λ 2 +2λ −8, tj. λ 1 = −4, λ 2 = 2,
tudíž ‖B‖ 2 = 4.
Matice C není symetrická. ‖C‖ 2 = √̺(C T C), kde C T C =
λ 2 − 7λ + 1, vlastní čísla 7+3√ 5
2
a 7−3√ 5
2
, tedy ‖C‖ 2 =
Příklad 4.8: Je dána matice A a vektor u:
( ) a b
A = , u =
b 2a
√
7+3 √ 5
2
.
( ) 1
.
−3
( ) 5 3
. Charakteristický polynom
3 2
Výpočtem nalezněte všechny takové dvojice hodnot parametrů a,b ∈ R a čísel λ ∈ R, aby
zároveň platilo:
(i) u je vlastní vektor matice A příslušný nějakému reálnému vlastnímu číslu λ;
(ii) ‖Au‖ 2 = 2 √ 10.
Proved’te zkoušku správnosti řešení.
Řešení: Nejprve se zjistí, že λ = ±2. Pro λ = 2 dostaneme a = 16
17 , b = − 6 . Pro λ = −2
17
dostaneme a = − 16
17 , b = 6 17 .
Zkouška
1
17
( 16 −6
−6 32)( 1
−3
)
=
( 2
−6)
,
( )
1 −16 6 1
=
17 6 −32)(
−3
( ) −2
, ‖(2, −6)‖
6
2 = 2 √ 10.
26