Pr´ıklady k predmetu Matematika 4

Úvod
Tato sbírka sestává především z příkladů, s nimiž se v minulých letech posluchači potýkali
během zkoušek.
Zkouškové příklady v právě aktuálním semestru nemusejí být jen triviálními obměnami
zde uvedených problémů, ale při zvládnutí úloh z této sbírky mohou studenti a studentky
jít ke zkoušce se sebedůvěrou a s velkou nadějí na získání lepšího hodnocení než D.
Řada příkladů je poměrně podrobně vyřešena. Způsob, jakým je řešení podáno, však
není učebnicově výkladový, místy je zkratkovitý nebo mírně nelogický. Proč tomu tak je,
to vysvětluje poznámka v úvodu kapitoly 9. Řešení poskytuje dostatek detailů, nicméně
se předpokládá, že čtenář se v látce orientuje a že užívá přinejmenším texty [3], [4] a [5].
Velmi užitečná, ale dnes hůře dostupná, jsou skripta [2]. U příkladů, jež jsou jen malými
obměnami podrobně vyřešené úlohy, jsou uvedeny alespoň závěrečné výsledky, případně
i výsledky mezikroků.
Studujícím doporučuji, aby nezůstali jen u mechanického naučení se postupů, jak
příklady řešit, ale aby se snažili pochopit logické úvahy vedoucí k řešení. 1 Například úlohy
v kapitole 1 se zdají být dosti různorodé, nicméně jejich řešení vždy vyplývá z nemnoha
elementárních vlastností vlastních čísel a vlastních vektorů matice. Jednoduché využití
těchto vlastností pak vede k následné algebraické úloze (hledání kořenů charakteristického
polynomu, sestavení rovnic pro neznámé prvky matice aj.), jejíž vyřešení, jakož i dořešení
výchozího problému se děje standardními postupy.
Naučte se formulovat odpovědi a jejich zdůvodnění. Správná odpověd’ bez zdůvodnění
je považována za neplatnou a v písemné práci nepřinese bodový zisk.
Věnujte pozornost i zkouškám správnosti dílčích a hlavních výsledků, a to zejména
v případech, kdy taková zkouška je velmi jednoduchá a časově nenáročná. Kolik cenných
bodů už studující ztratili tím, že si neověřili, zda správně vyřešili soustavu lineárních
rovnic nebo kvadratickou rovnici, zda panuje soulad mezi vypočeným vlastním číslem
a vlastním vektorem a zda vypočtený výsledek je vůbec možný, například vyjde-li určitý
integrál z kladné funkce záporně (to je chyba opravdu trestuhodná).
Zkouškové příklady a jejich řešení pocházejí z materiálů, které se používají při opravování
písemných prací. Záměrně jsem na několika místech ponechal návodné poznámky
pro opravující pedagogy, co při opravování sledovat a na co být přísný. Můžete si z nich
udělat lepší představu o důrazech při hodnocení správnosti řešení.
Elektronické podklady pro sazbu jsem se snažil upravit tak, aby se například používala
jednotná matematická symbolika a detailnost návodů byla jakž takž vyrovnaná. Výsledek
jsem podrobil jen rychlé autokorektuře, očekávám tedy, že řada tiskových chyb mi unikla.
Budu rád, když je naleznete a upozorníte mě na ně.
1 K budování takového intelektuálního zázemí slouží i návštěva přenášky z MA 4, kde je, na rozdíl od
cvičení, čas na výklad souvislostí.
2