X - Repositories

More documents

Recommendations

Info

99 I. Hvis Deter7ninante7i (39 d) forsvinder, fremstiller (42) to rette Linier, der bliver parallele, hvis tillige AB = C-. Ligningerne for disse to rette Linier findes ved at lose (42) med Hensyn til en af de Ubekendte x eller y. Da man altid kan bortdividere en af Koefficienterne i (42), ser man, at denne Ligning i dette Tilfaelde i Almindelighed maa indeholde 7?r^ af hinanden uafhaengige Konstanter, i det ovenfor naevnte specielle Tilfaelde derimod kun tre. For at bestemme Antallet af Liniepar, som gaar gennem fire, eller specielt tre, opgivne Punkter, indsaettes Koordinaterne til de givne Punkter i (42). Efter at en af Koefficienterne er bortdivideret, kan man af de saaledes erholdte Ligninger i Forbindelse med (39 d), og specielt tillige i Forbindelse med den yderligere Betingelse C^- = AB, bestemme Forholdene mellem ovennaevnte Koefficienter. Opgaven faar tre Losninger, hvilket ogsaa let eftervises ved Konstruktion. Linieparrenes Ligninger findes dog lettere ved Anvendelse af (lod). II. Hvis Determi7zante7z (39 d) ikke forsvi7ider, og (42) overhovedet freTnstiller nogcTZ Kurve, bliver de7i7ie en Cirkel, dersoTfi A ^= B og C=^ O, T7ze7z e7i Ellipse, Parabel eller Hyperbel, eftersom AB = C^. Bestemmelsen af Cirklens Konstanter har vi allerede vist i § 19- Ellipsens eller Hyperblens Axer bestemmes ved Ligningerne (40 b), (40 d) og (40 h), Koordinaterne til Centrum og Axernes Retninger ved henholdsvis (40) og (40 i). Ved Parablen bestemmes Parametren ved den forste af Ligningerne (41 c), Axeretningen ved (41 a) og Toppunktets Koordinater ved (41 f). Skal Ligningen (42) fremstille en Cirkel, kan den kun indeholde tre af hinanden uafhaengige Konstanter, ved Parablen derimod fire og ved Ellipse eller Hyperbel fem saadanne. Cirklens Bestemmelse ved tre Punkter er allerede gennemfort i § 20. For at bestemme en Parabel gennem fire Punkter gaar vi ud fra Ligningen (41), efter at vi har bortdivideret A eller 7*
ICO B\ de fire Konstanter kan da bestemmes af de Ligninger, der udtrykker, at de fire givne Punkter skal ligge paa Kurven. Denne Opgave faar i Almindelighed to Losninger. En Ellipse eller en Hyperbel er derimod entydig bestemt ved feTH opgivne Punkter. 153. Omskriv Ligningen (42) i polaere Koordinater, idet [xy, y^ tages til Pol, medens Polaraxen er parallel med Abscisseaxen, og find derved Ligningerne for Tangent og Polar samt et Kordesystems Diameter. 154. Find Ligningerne for de Liniepar, der gaar gennem Punkterne (i, i), (3, 4), (2, 7) og (5, 3). 155. Find Ligningerne for de Parabler, der gaar gennem de i 154 opgivne Punkter. § 43. Bundter af Keglesnit. Vi har i det foregaaende set, at der i Almindelighed kan laegges et og kun et Keglesnit gennem fem opgivne Punkter; gennem fire saadanne kan der derfor i Almindelighed laegges et ubegraenset Antal af saadanne Kurver; disse siges da at danne et BuTzdt af Keglesnit. Bemaerkes det, at to Keglesnit i Almindelighed skaerer hinanden i fire Punkter, fordi de fremstilles ved Ligninger af Formen (43) S ^Ax^ + By^ + 2Cxy + 2Dx + 2Ey + /^ = o (43 a) Sy = AyX'- + Byf + 2 CyXy + 2DyX + 2Eyy + Fy=Oy kan Ligningen for et vilkaarligt Keglesnit i det Bundt, der er bestemt ved Skaeringspunkterne mellem 5 = o og 5^ = o, fremstilles paa Formen (43 b) S+ kSy = o, hvor k er en vilkaarlig a( x og y uafhaengig Konstant. For fuldstaendig at bestemme et vist Keglesnit i Bundtet (43 b) maa der opgives endnu en Betingelse, som dette skal
Page 1:
1 A^ 552 1V5 VA 'iß 4 BS5 F^ ^^V "
Page 6 and 7:
TRYKT HOS J. JORGENSEN & Co. (M. A.
Page 8 and 9:
INDHOLDSFORTEGNELSE F0RSTE KAriTEL.
Page 10 and 11:
F0RSTE KAPITEL Harmonisk Deling. §
Page 12 and 13:
Projiceres de enkelte Segmenter af
Page 14 and 15:
5 Idet ;;/ passerer i, gaar Q over
Page 16 and 17:
8. Find Abscissen til det Punkt, de
Page 18 and 19:
lobsretning er derfor bestemt ved O
Page 20 and 21:
II 14- Segmentet AB, hvis Endepunkt
Page 22 and 23:
13 rette Linie, hvorom' Talen er, b
Page 24 and 25:
(7 c) ;ir = x' cos v —y sin v, y
Page 26 and 27:
17 (8 b) F {x, y) =f{x, y). g {x, y
Page 28 and 29:
19 Koordi7iaterne til Sk(Bri7igspu7
Page 30 and 31:
21 33- Bestem a og ^ saaledes, at d
Page 32 and 33:
som fremstiller e7i ret Li7iie para
Page 34 and 35:
25 Hvis den til (ii) hörende Deter
Page 36 and 37:
27 derimod kun Ligningerne (12), be
Page 38 and 39:
29 Skrives Lig7ii7ige7i for de7i re
Page 40 and 41:
31 § 14- Anvendelser af Normalform
Page 42 and 43:
33 56. Indeni Trekanten med Vinkels
Page 44 and 45:
35 tilfredsstilles af samme endelig
Page 46 and 47:
37 A — k .B = o, B—l.C=o, C—7
Page 48 and 49:
39 63. Find Ligningen for den rette
Page 50 and 51:
41 6y. Find den Ligning, der fremst
Page 52 and 53:
43 Et Punkts Pote7is 77ied Hensyn t
Page 54 and 55:
45 Hvis nu (20 c) er opfyldt, vil L
Page 56 and 57:
47 Cirkler, der gaar gennem Skaerin
Page 58 and 59: 49 Hvis to Cirkler rorer hi7ia7ide7
Page 60 and 61: 51 Tange7ite7i staar vinkelret paa
Page 62 and 63: Loses derpaa to af Ligningerne (23)
Page 64 and 65: o:) ex ^ ab — ax -{- bx a = x, y=
Page 66 and 67: 57 92. To Cirkler rorer hinanden i
Page 68 and 69: 59 Saettes specielt i (25 d) Xy —
Page 70 and 71: 6i disse Kurver har derfor endnu et
Page 72 and 73: 63 For Hyperblen og Parablen faas d
Page 74 and 75: 65 Ligningen (28) maa derfor tilfre
Page 76 and 77: ^7 bliver de to Linier (29 a) samme
Page 78 and 79: 69 § 30. Polaren. Ge7i7ie7n et Pu7
Page 80 and 81: 71 107- Bevis, at Skaeringspunktet
Page 82 and 83: 73 saa at Elimination af v mellem (
Page 84 and 85: 75 tegner en Cirkel med Braendpunkt
Page 86 and 87: Indfores « og ^ i (33 a), antager
Page 88 and 89: 79 Af (33 1) finder man folgende ny
Page 90 and 91: 8i Endvidere faas folgende Projekti
Page 92 and 93: 83 § 35* Den vilkaarlige Hyperbel
Page 94 and 95: 85 2yy^ = 2qxx^ — hvoraf ved Anve
Page 96 and 97: 87 § 37- Tangent og Normal. For El
Page 98 and 99: 89 Kaldes nemlig det med (+ aCy o)
Page 100 and 101: 91 ledes at Afstanden fra / til K e
Page 102 and 103: 93 men ifolge § i6 kraeves det til
Page 104 and 105: 95 Hvis AB-^C-, foretager vi den sa
Page 106 and 107: 149- Undersog Ligningen 97 84.^2 +
Page 110 and 111: IUI tilfredsstille, og som tillader
Page 112 and 113: 10^. KJ (43 h) y^ax + ^ = o, 4 mede
Page 114 and 115: 105 Roringspunkterne dog undtagne.
Page 116: naar blot 107 ,a\>K, |3|>/v, 1?' K{
Page 120 and 121: 1 '
show all

X - Repositories

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?