Real optioner og investering under usikkerhed

103
C 0 (V 0 ; K; t 2 ) = (286)
e rt 1
ZV
0
C 1 (V 1 ; K; t 2 t 1 )f(V 1 jV 0 )dV 1 + (287)
1Z
e rt 1
C 1 (V 1 ; K; t 2 t 1 )f(V 1 jV 0 )dV 1 (288)
V
ZV
, e rt 1
C 1 (V 1 ; K; t 2 t 1 )f(V 1 jV 0 )dV 1 (289)
0
= C 0 (V 0 ; K; t 2 ) e rt 1
1Z
V C 1 (V 1 ; K; t 2 t 1 )f(V 1 jV 0 )dV 1 (290)
Vi kan så videre evaluere på udtrykket på højre side, hvilket giver
1Z
C 0 (V 0 ; K; t 2 ) e rt 1
C 1 (V 1 ; K; t 2 t 1 )f(V 1 jV 0 )dV 1
V
= V 0 N(d 1 ) Ke rt 2
N(d 2 ) [e rt 1
V 1 B(d 1; d 1 ; ) e rt 1
Ke r(t 2 t 1 ) B(d 2; d 2 ; )] (291)
= V 0 [N(d 1 ) B(d 1; d 1 ; )] Ke rt 2
[N(d 2 ) B(d 2; d 2 ; )] (292)
Her vil jeg introducere en hjælperelation 73
N(d) B(d ; d; ) = B( d ; d; ) (293)
ved indsættelse af lign. 293 kan lign. 292 omskrives til
V 0 B( d 1; d 1 ; ) Ke rt 2
B( d 2; d 2 ; )
Dette medfører at en compound put på en call kan beregnes som
P C P 0 (C 1 (V 1 ; K; t 2 t 1 ); E; t 1 ) = e rt 1
ZV
0
[E C 1 (V 1 ; K; t 2 t 1 )]f(V 1 jV 0 )dV 1
= Ee rt 1
N( d 2) [V 0 B( d 1; d 1 ; ) Ke rt 2
B( d 2; d 2 ; )] (294)
73 Trigeorgis s. 398-9 note 19