Real optioner og investering under usikkerhed

7 Appendix
7.1 App. A
Den kvadratiske funktion er fundet ved indsættelse af løsningsmuligheden og dens a‡edede i PDE
F (V ) = A 1 V 1
+ A 2 V 2
(201)
Dette kortes ned til følgende udtryk, med i = 1; 2 afhængig af om det er en call- eller putoption
og første og andet a‡edede ser sådan ud
F (V ) = A i V i
(202)
F 0 (V ) = i A i V i 1 og F 00 (V ) = i ( i 1)A i V i 2
(203)
De tre udtryk indsat i PDE ser således ud
1
2 [ i( i 1)A i V i 2 ] 2 V 2 + (r )V [ i A i V i 1 ] rA i V i
= 0 ,
1
2 [ i( i 1)A i V i] 2 + (r )[ i A i V i] rA i V i
= 0 ,
1
2 i( i 1) 2 F (V ) + (r ) i F (V ) rF (V ) = 0 (204)
Der divideres igennem med F (V ) og således fremkommer
1
2 2 i ( i 1) + (r ) i r = 0 (205)
i som løser denne andengradsligning, kan …ndes ved først at omskrive til
1
2 2 2 i + (r
1
2 2 ) i r = 0 (206)
En standard 2. gradsligning
ax 2 + bx + c = 0 (207)
har løsningerne
x 1;2 = b p b 2 4ac
2a
Ved indsættelse af a = 1 2 2 , b = (r
1
2 2 ) og c = r fås
90
(208)