Real optioner og investering under usikkerhed

96
p = P rob(V t e a+p " > K) = P rob(" >
Vt
ln(
K ) + a
p
) = P rob(" <
Vt
ln(
K ) + a
p ) (232)
Hvor der til sidst benyttes at normalfordelingen er symmetrisk, dvs. prob(" > x) = prob(" <
x). Under risikoneutralværdifastsættelse har vi
Når dette indsættes, får vi
r = a + 2
2 , a = r 2
2
(233)
P rob(" <
hvilket netop var det vi skulle …nde.
Herefter vil jeg evaluere udtrykket
Vt
ln(
K ) + (r 2
2 )
p
) = N(d 2 ) (234)
dette kan skrives som
q = b E 0 [V T jV T K]p (235)
1R
q =
K
V t e a+px e x2
2
dx
2
a+
p = V t e 2 1 R
e (p x) 2
2
2 K
dx
p
2
(236)
hvor jeg har brugt tricket kaldet "completing the square" 70 . Nu skal jeg blot erstatte med
variablen y = p x og indsætte a = r
2
2
som før. Først ses at
eller det samme som
V T K ) "
Vt
ln(
K ) + a
p
(237)
y < d 1 =
ln(
Vt
K ) + a + 2
p
med disse simpli…kationer kan lign. 236 skrives som
=
Vt
2
ln(
K
) + (r +
2 )
p
(238)
q = V t e r d R1
1
e y2
2
hvilket var det andet udtryk, der skulle …ndes. Q:E:D:
dy
p
2
= V t e r N(d 1 ) (239)
70 Sydsaeter & Hammond s. 837