Real optioner og investering under usikkerhed

7.9 App. I
Bevis for resultat i kap. 3.2.2
p = e(r q)t d
; u = e pt og d = e p t
u d
(253)
Beviset udføres ved at vise at de tre resultater præcist løser betingelserne ved indsættelse.
Her for vi brug for Taylors formel for e x . Den ser således ud 72
hvor c er et tal mellem 0 og x.
e x = 1 + x 1! + x2
2!
+ ::: +
xn
n! + xn+1
(n + 1)! ec ; (254)
Det betyder at vi kan lave følgende omskrivning, hvor t opløftet i orden større end 1, kan
ignoreres, da de går mod nul hurtigere end t:
u = 1 + p t
1!
+ (p t) 2
2!
= 1 + p t + 1 2 2 t (255)
d = 1
p t
1!
+ (p t) 2
2!
= 1 p t + 1 2 2 t (256)
e (r q)t = 1 +
(r q)t
1!
+
[(r q)t]2
2!
= 1 + (r q)t (257)
e 2(r q)t = 1 +
2(r q)t
1!
+
[2(r q)t]2
2!
= 1 + 2(r q)t (258)
Ved indsættelse i den tredje betingelse e (r q)t (u + d) ud e 2(r q)t = 2 t fås
(1 + (r q)t)(1 + p t + 1 2 2 t + 1 p t + 1 2 2 t)
(1 + p t + 1 2 2 t)(1 p t + 1 2 2 t) (1 + 2(r q)t)
= 2 t , (259)
(1 + (r q)t)(2 + 2 t)
[1 p t + 1 2 2 t + p t + 1 2 2 t 2 t +
1
2 3 (t) 3 2
1
2 3 (t) 3 1
2 +
4 4 (t) 2 ]
(1 + 2(r q)t) = 2 t , (260)
72 Formel 8.20 s. 268 Sydsaeter & Hammond
99