Diplomarbeit Sebastian Nickel

1.2.1 Jaynes-Cummings-Modell
1.2. Licht-Atom-Wechselwirkung
Um einen Hamiltonoperator zu definieren, welcher Atom, Lichtfeld und die Wechselwirkung
der beiden quantisiert beschreibt, benötigt man für den jeweiligen Hamiltonian die
Auf- und Absteigeoperatoren. Diese sind für das Atom ˆσ+ = |e〉〈g| und ˆσ− = |g〉〈e|, sowie
der Besetzungszahloperator ˆσ3 = |e〉〈e|−|g〉〈g|. Für die Beschreibung des Lichtfeldes
sind â und â † die Ab- und Aufsteigeoperatoren. Damit ergeben sich für die jeweiligen
Hamiltonoperatoren die Ausdrücke
und
ˆHAtom = �ω0ˆσ3
2
(1.30)
ˆHFeld = �ωLâ † â, (1.31)
sowie für den Wechselwirkungsterm in der Drehwellennäherung, in der mit der Summenfrequenz
ωL + ω0 schwingende Terme vernachlässigt werden:
ˆHWW = ˆ d Ê = �g(ˆσ+â + ˆσ−â † ). (1.32)
Hierbei sind ωL die Lichtfrequenz, ω0 die Übergangsfrequenz im Atom zwischen Grundund
angeregtem Zustand und g ist die Kopplungsstärke zwischen Atom und Resonator.
Des Weiteren sind ˆ d der Dipoloperator und Ê das elektrische Feld der Lichtwelle. Die
beiden Terme in HWW entsprechen der Absorption bzw. der Emission eines Photons,
wobei das Atom jeweils seinen inneren Zustand dementsprechend ändert. Somit ergibt
sich der Jaynes-Cummings-Hamilton-Operator zu [30]:
Dressed states
ˆHJC = ˆ HAtom + ˆ HFeld + ˆ HWW
(1.33)
= �ω0ˆσ3
2 + �ωLâ † â + �g(ˆσ+â + ˆσ−â † ). (1.34)
Bei Betrachtung der Eigenzustände dieses Hamiltonoperators für den wechselwirkungsfreien
Fall (g = 0) ist zu erkennen, dass lediglich die Übergänge
oder
|e〉|n〉 ↔ |g〉|n + 1〉 (1.35)
|e〉|n − 1〉 ↔ |g〉|n〉 (1.36)
möglich sind. Diese Produktzustände werden oft als ” bare states“, also blanke Zustände
bezeichnet, weil sie das Produkt von ungestörtem Atom und Feld sind. Im Gegensatz dazu
zeigen sich im gekoppelten System mit der Kopplungsstärke g > 0 die Eigenzustände
|n, +〉 = 1
√ 2 (|e〉|n〉 + |g〉|n + 1〉) (1.37)
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