WissenHeute Nr. 06/2004 - Deutsche Telekom Training GmbH ...

Technik > Funktionsverläufe
Bild 9 Lösungsgerade durch Punktwolke
332
498
446
394
342
290
238
186
134
82
gemessener Wert
berechneter Wert
28,5 30 31,5 33 34,5 36 37,5 39 40,5
Rechenaufwand ist erheblich und steigt mit
der Anzahl der zu berücksichtigenden Punkte
im Koordinatensystem an. Durch den Einsatz
eines Rechnerprogramms auf PC bemerkt
der Anwender dies jedoch nicht mehr. Damit
ist es dann innerhalb kürzester Zeit möglich,
vollkommen unterschiedliche Kurvenverläufe
(Funktionen) zu Grunde zu legen und anschließend
das Optimum auszuwählen.
Lineare Regression
Bei der linearen Regression liegt eine mathematische
Funktion der Form
y = b · x + a
zu Grunde. Es geht folglich darum, eine
Gerade zu finden, die eine gegebene Punkt-
Bild 10 Schaltung eines DC-AC-Konverters
DC
–1V ... +1 V R11
1k
R16
1M
R25
2k7
270
R26
AC Alternating Current
DC Direct Current
D4
3V6
D5
3
2
+
–
1
OP1
3V6
R13
10k
R24
47k
2
+
–5V
3
–
R12
10k
OP3
1
wolke gut charakterisiert. Die gesuchte
Lösungsgerade (auch „Ausgleichsgerade“
genannt) ist genau die Gerade, die die Summe
der Quadrate der vertikalen Abstände (wenn
in vertikaler Richtung die abhängige Variable
aufgetragen ist) zwischen den Punkten im
Streuungsdiagramm und der Geraden minimiert.
Anders ausgedrückt: Die Gerade ist
so zu legen, dass die Summe der Quadrate,
die durch die Abweichungen der Ordinatenwerte
aufgespannt sind, möglichst klein wird
(Bild 9).
Der Nachweis, dass dem so ist, gelingt mit
Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung – er
soll aber hier nicht weiter ausgeführt werden.
Mit Hilfe der Differenzialrechnung lässt sich
ableiten, dass nach dieser Forderung für a
und b gelten muss:
AC ~
10 mV
0 ... 2V
+
5 7
– D6
6 OP2
1N4148
R10
330
C1
R17
1M
220n
IC Integrated Circuit
OP Operationsverstärker
10
+
10 mV ... 400 mV
9
– 8
OP4 100k
R19
22
P4
1 IC2 6
2 4 H11F1
b =
x =
y =
r =
n
(x i – x) · (y i – y)
i = 1
n
(x i – x) 2
i = 1
Dabei gilt
n
x i
i = 1
n
n
y i
i = 1
n
mit n = Anzahl der Punkte.
a = y – b · x
n
(x i – x) · (y i – y)
i = 1
n n
(x i – x) 2
(yi – y) 2
i = 1 i = 1
WissenHeute Jg. 57 6/2004
In diesem Zusammenhang wird b als
„Regressions-Koeffizient“ bezeichnet. Die
unbekannte Größe a kann dann wie folgt
berechnet werden:
(14)
Die Herleitung ist für die meisten technischen
Anwendungen nicht von Bedeutung und
wird deshalb hier nicht weiter vorgestellt.
Korrelationskoeffizient
Wie bereits erwähnt, wird bei der Regression
unterstellt, dass zwischen den Abszissenund
Ordinatenwerten ein funktionaler Zusammenhang
besteht. Nachprüf- bzw. abschätzbar
ist ein solcher Zusammenhang mit
Hilfe des Korrelationskoeffizienten r. Es gilt
für r:
Es gilt weiterhin für r: -1 r 1
(15)
Ein Zusammenhang ist wahrscheinlich, wenn
r in der Nähe der +1 oder der –1 liegt. Wenn
gilt –1 r < 0, hat die Gerade eine negative
Steigung. Wenn hingegen gilt 0 < r 1, hat
die Gerade eine positive Steigung.
Beispiel
Eine Gleichspannung, die ihren Wert zwischen
–1 V und +1 V ändert, soll in eine Wechselspannung
konstanter Frequenz und variierender
Amplitude zwischen 10 mV und 400 mV