Didaktik der Analysis

S. Hilger, Didaktik der Analysis 13
– Rationale Funktionen:
x 2 − 1
x − 1
x 3 + x 2 − 4x − 4
x + 1
– Abschnittsweise definierte Funktionen.
– Transzendente Funktionen: Hier entfaltet sich eigentlich erst die Kraft des
Grenzwertbegriffs.
sin(x)
x ,
tan(x)
x
exp(x) − 1
x
Wir begründen die erste Beziehung durch geometrisch–trigonometrische Überlegungen.
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1
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sin(x) x tan(x)
M R1 S1
Der Winkel x (im Bogenmaß) sei größer Null.
1. Es ist ,,geometrisch offensichtlich”, dass
tan(x) = 2A∆MS1S2 > 2 A SektorMS1R2 = 2 · x
2π · π12 = x
und
x > S1R2 > sin(x),
zusammengefasst
tan(x) > x > sin(x). (1)
DE: Es stellt sich hier die methodische Frage, inwieweit diese geometrisch
plausiblen Aussagen weiter bewiesen werden müssen oder können. Die Entscheidung
dieser Frage hängt letztlich davon ab, wie die trigonometrischen
Funktionen definiert werden:
∗ Geometrisch–anschaulich: Rechtwinklige Dreiecke, Einheitskreis,
∗ Analytisch:
· durch Reihendarstellung,
· über Moivre–Identität,
· als Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen.
R2
S2
....
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