Didaktik der Analysis

S. Hilger, Didaktik der Analysis 38
4.5 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
(HDI)
Satz 3 Es sei f eine im Intervall J ⊆ R stetige (reellwertige) Funktion und c ∈ J. Für
eine andere Funktion F : J → R sind die beiden folgenden Aussagen äquivalent:
(A) F ist die Integralfunktion zu f mit unterer Grenze c, das heißt
F (x) =
x
c
f(t) dt.
(B) F ist die Stammfunktion von f, das heißt es gilt
F ′ (x) = f(x) mit F (c) = 0.
a) Wir beweisen die Folgerung (A) =⇒ (B):
Schritt 0: Gemäß Aussage (A) sei
F (x) =
x
c
f(t) dt
eine Integralfunktion zu f mit unterer Grenze c im Intervall J. Für ein beliebiges x ∈ J
müssen wir beweisen: F ′ (x) = f(x).
Wir betrachten den Graphen von f.
.
..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... y
. f(ξh)
. ...
..
x ξh x + h
Schritt 1: Wir betrachten für ein (zunächst festes) h > 0 den Differenzenquotienten
F (x + h) − F (x)
h
=
x+h
c
f(t) dt − x
f(t) dt
c
h
=
x+h
x
f(t) dt
.
h
. Gf
..
x