Didaktik der Analysis

S. Hilger, Didaktik der Analysis 16
• Die ähnliche Funktion
f(x) =
1
q
p
, if x = ∈ Q, gekürzt
q
0, if x ∈ R \ Q,
ist stetig in allen irrationalen Zahlen, in den rationalen Zahlen unstetig.
Der Zwischenwertsatz
• Es sei f : [a, b] → R eine stetige Funktion mit der Definitionsmenge [a, b] ⊂ R. Es
gelte
f(a) ≤ 0 ≤ f(b).
Dann gibt es ein c ∈ [a, b], so dass
f(c) = 0.
• Im Zwischenwertsatz ist die grundlegende Eigenschaft der Vollständigkeit der reellen
Zahlen verborgen. Er wird falsch, wenn die Abgeschlossenheit (damit die
Vollständigkeit) der Definitionsmenge entfällt.
• Beispiel: Die stetige Funktion mit Definitionsmenge [0, 1] ∩ Q
f(x) =
−1, if x 2 < 1
2 ,
+1, if x 2 > 1
2 .
erfüllt die Voraussetzung, nicht aber die Behauptung des Zwischenwertsatzes.
• Ersetzt man im Zwischenwertsatz das Intervall [a, b] durch eine beliebige abgeschlossene
Teilmenge A ⊆ R, so kann man den Zwischenwertsatz wie folgt verallgemeinern:
Gilt für zwei Punkte a, b ∈ A
f(a) ≤ 0 ≤ f(b),
so gibt es ein c ∈ A, so dass
f(c) · f(σ(c)) ≤ 0.
Dabei ist σ der ,,Rechtssprung–Operator” bzgl. A:
σ(x) := inf
y ∈ A y > x
c oder σ(c) ist also eine Nullstelle oder die beiden Stellen bilden den Rand einer
Lücke in der Definitionsmenge, über die hinweg ein echter Vorzeichenwechsel stattfindet.