Didaktik der Analysis

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S. Hilger, Didaktik der Analysis 18 2 Differentialrechung — der Ableitungsbegriff 2.1 Die zwei Stränge der Differentialrechnung Der algebraische Strang (Der Kalkül): • Berechnung für elementare Funktionen, • Linearität, • Produkt- und Quotientenregel, • Kettenregel. Der topologisch–analytische Strang: • Differenzierbarkeit und Stetigkeit, • Ungleichungen, • Satz von Rolle: Monotoniekriterium und Mittelwertsatz, Abschätzungssatz. Insgesamt schließen sich an: • Funktionendiskussion, • Kurvendiskussion. Es stellt sich die Frage des Beweisens bzw. der mathematischen Strenge: Exemplarisch, Plausibilitätsbetrachtungen, lokal streng, Herausarbeiten von trügerischer Anschauung!
S. Hilger, Didaktik der Analysis 19 2.2 Kontextfelder für die Ableitung • Geometrische Situationen: Das Problem der Tangente an einen Graphen – Fahrstrahl (Scheinwerfer) Dies ist problematisch: Funktionsbegriff tritt in den Hintergrund, die Tangente ist nur nach vorne gerichtet, Richtung des Fahrzeugs = Richtung der Räder. – Steigung eines Profils (Landschaft, Wanderweg, Straße, Berg) – Glattes Zusammenstückeln von Straßen- oder Schienenstücken (ähnlich Spline– Interpolation). • Sachsituationen: Die Momentanänderung einer Größe bzgl. einer anderen: – Momentangeschwindigkeit (Zeit → Ort–Funktion) – Grenzkosten (Menge → Gesamtkosten–Funktion) – Wachstum (Zeit → Population–Funktion) • Numerik: – Newtonverfahren zur näherungsweisen Bestimmung von Nullstellen: ,,Mit Tangenten kann man auf Nullstellen zielen”. Es sei f eine in einem Intervall definierte Funktion. Die Iteration ist definiert durch x0; xn+1 = xn − f(xn) f ′ (xn) . Bei der Iterationsgleichung handelt es sich um eine Umstellung der Identität f ′ (xn) = f(xn) − 0 , xn − xn+1 sie kann anschaulich gedeutet werden im Steigungsdreieck für die Steigung der Tangente an der Stelle xn. Beispiele: x 2 − 2 x 3 − 5x + 3 e x − x x 7 + 2x 3 − 24 – Fehlerrechnung, Beispiel: Fertigung eines Normwiderstandes gemäß R = ϱ · ℓ πd 2 Ein Fehler in der Länge bzw. Durchmesser von 5% führt auf einen Fehler von 5% bzw. 10%. Eine Analyse führt auf den Differentialquotienten. • Extremwertaufgaben: Sie erfolgen i.a. erst nach den Grundlagen der Differentialrechnung.
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