Didaktik der Analysis

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S. Hilger, Didaktik der Analysis 8 Uε(f(a)) Uε(f(a)) Veranschaulichung der ε–δ–Definition der Stetigkeit: . R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... . . a . . R Uδ(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ❜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............... a Uδ(a) Stetigkeit in a: • Zu jedem ε–Wackler um f(a) muss es • einen δ–Wackler um a geben, so dass • das Bild des δ–Wacklers um a im ε–Wackler um f(a) enthalten ist. Nicht–Stetigkeit in a: • Zu dem ε–Wackler um f(a) gibt es • keinen (auch noch so kleinen) δ–Wackler um a, so dass • das Bild des δ–Wacklers um a (ganz) im ε–Wackler um f(a) enthalten ist. . . .. R .. R
S. Hilger, Didaktik der Analysis 9 6. Weiter kann man den Anspruch an die mathematische Stringenz zurückfahren und erhält dann einen naiven (oder intuitiven) Begriff: Definition: Man sagt, die Funktion f hat an der Stelle a den Grenzwert b, wenn bei • Annäherung von x an a • der Funktionswert f(x) sich an b annähert. Was ,,Annähern” bedeutet, ist anschaulich klar; man kann diesen Begriff mit Hilfe von Folgengrenzwerten auch exakt fassen: Oder alternativ (Van Briel / Neveling): Man sagt, die Funktion f hat an der Stelle a den Grenzwert b, wenn das folgende der Fall ist: Die Funktionswerte f(x) liegen genügend nahe bei der Zahl b, falls für x (von a verschiedene) Zahlen eingesetzt werden, die genügend nahe bei a liegen. 7. Alternativdefinitionen erfolgen mit Hilfe anderer bereits eingeführter Grenzwertbegriffe: Definition (über Folgengrenzwert): Die Zahl b heißt Grenzwert der Funktion f an der Stelle a, wenn für jede Folge (xn)n∈N (aus Df \ {a}) mit xn → a gilt: f(xn) → b. 8. Einen ganz anderen Zugang (über die Stetigkeit) kann man in Barth: Anschauliche Analysis, finden: Auf der Grundlage einer anschaulich–graphischen Vorstellung von Stetigkeit wird definiert: Definition: Die Zahl b heißt Grenzwert der Funktion f an der Stelle a, wenn f in a durch den Wert b stetig fortgesetzt werden kann. 9. Neuer Lehrplan (2003): Die Frage nach Stetigkeit wird nicht gestellt. Der in der Mittelstufe ,,vorbereitete” Grenzwertbegriff (Grenzprozess) wird benutzt. Analysis– Schwerpunktsetzung erfolgt durch Begriffe wie: • Kalkül ( → Ableitung), • Numerische Algorithmen, • Anwendungen (Optimierung).
Seite 1 und 2: S. Hilger, Didaktik der Analysis 1
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