Didaktik der Analysis

S. Hilger, Didaktik der Analysis 40
b) Wir beweisen die Folgerung (B) =⇒ (A):
Schritt 0: Gemäß Aussage (B) sei F eine Stammfunktion von f im Intervall J mit
Nullstelle c:
F ′ (x) = f(x) für x ∈ I, F (c) = 0.
Schritt 1: Nach der (bereits bewiesenen) Folgerung (A) =⇒ (B) ist
G(x) =
x
c
f(t) dt
ebenfalls eine Stammfunktion zu f
Schritt 2: Für die Differenz H(x) = F (x) − G(x) dieser beiden Stammfunktionen von
f gilt nun:
H ′ (x) = F ′ (x) − G ′ (x) = f(x) − f(x) = 0.
Also ist die Funktion H(x) = const.
Schritt 3: Wegen
H(c) = F (c) − G(c) = 0 − 0 = 0
muß diese Konstante gleich Null sein. Es ist also H(x) ≡ 0 oder
F (x) = G(x) =
x
c
f(t) dt.
Das heißt, F ist eine Integralfunktion zu f mit unterer Grenze c. Das ist die zu beweisende
Aussage (B).