Didaktik der Analysis

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S. Hilger, Didaktik der Analysis 28 3. Wähle f(x) = −3x 2 , g(x) = −x 2 , e(x) = x 2 sin 1 x − 2x2 . Die Funktion e hat in 0 ein isoliertes Maximum, es existiert aber keine links/rechts– seitige Umgebung von 0, in der e streng monoton steigend/fallend ist. Die Ableitung ist Null, sie besitzt aber keinen Vorzeichenwechsel in 0. 4. Wähle f(x) = x2 + x, g(x) = −x2 + x, e(x) = x2 sin 1 + x. x Die Funktion e ist in 0 streng monoton steigend, es existiert aber keine Umgebung von 0, in der e streng monoton steigend ist. Im Vergleich zu Beispiel 1 ist die Funktion e außerdem noch differenzierbar in 0. Sie unterscheidet sich von der Funktion aus Beispiel 2 nur um die Funktion x.
S. Hilger, Didaktik der Analysis 29 Die Funktion f sei in einer Umgebung von x0 definiert und stetig in x0. Hingeschriebene Ableitungen bedeuten, dass sie existieren. GB = Gegenbeispiel. f ′ (x0) = 0 f ′′ (x0) < 0 . . GB: x4 Es ex. gerades n mit f (k) (x0) = 0, k = 0, . . . , n − 1 f (n) (x0) < 0 1 − GB: e x2 . . f hat in x0 isoliertes Maximum . . GB: x3 f hat in x0 isoliertes Maximum oder Terrassenpunkt . . GB: x2 f hat in x0 isoliertes Extremum oder Terrassenpunkt GB: x . . 2 · sin 1 x f ′ (x0) = 0 . . f ′ (x0) = 0 f ′ hat in x0 einen VZW von Plus nach Minus . . . . f ist in U − δ (x0) streng monoton steigend und in U + δ (x0) streng monoton fallend GB: x2 · sin 1 − 2x2 x
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