Didaktik der Analysis

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S. Hilger, Didaktik der Analysis 16 • Die ähnliche Funktion f(x) = 1 q p , if x = ∈ Q, gekürzt q 0, if x ∈ R \ Q, ist stetig in allen irrationalen Zahlen, in den rationalen Zahlen unstetig. Der Zwischenwertsatz • Es sei f : [a, b] → R eine stetige Funktion mit der Definitionsmenge [a, b] ⊂ R. Es gelte f(a) ≤ 0 ≤ f(b). Dann gibt es ein c ∈ [a, b], so dass f(c) = 0. • Im Zwischenwertsatz ist die grundlegende Eigenschaft der Vollständigkeit der reellen Zahlen verborgen. Er wird falsch, wenn die Abgeschlossenheit (damit die Vollständigkeit) der Definitionsmenge entfällt. • Beispiel: Die stetige Funktion mit Definitionsmenge [0, 1] ∩ Q f(x) = −1, if x 2 < 1 2 , +1, if x 2 > 1 2 . erfüllt die Voraussetzung, nicht aber die Behauptung des Zwischenwertsatzes. • Ersetzt man im Zwischenwertsatz das Intervall [a, b] durch eine beliebige abgeschlossene Teilmenge A ⊆ R, so kann man den Zwischenwertsatz wie folgt verallgemeinern: Gilt für zwei Punkte a, b ∈ A f(a) ≤ 0 ≤ f(b), so gibt es ein c ∈ A, so dass f(c) · f(σ(c)) ≤ 0. Dabei ist σ der ,,Rechtssprung–Operator” bzgl. A: σ(x) := inf y ∈ A y > x c oder σ(c) ist also eine Nullstelle oder die beiden Stellen bilden den Rand einer Lücke in der Definitionsmenge, über die hinweg ein echter Vorzeichenwechsel stattfindet.
S. Hilger, Didaktik der Analysis 17 Der Extremwertsatz • Eine im Intervall [a, b] ⊆ R stetige Funktion f nimmt ihre Extrema an, d.h. es gibt so dass x min, x max ∈ [a, b], f(x min) ≤ f(x) ≤ f(x max) für alle x ∈ [a, b]. • Auch diese Eigenschaft ist eng mit der Vollständigkeit der reellen Zahlen verknüpft.
Seite 1 und 2: S. Hilger, Didaktik der Analysis 1
Seite 15: S. Hilger, Didaktik der Analysis 15

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