Didaktik der Analysis

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S. Hilger, Didaktik der Analysis 20 2.3 Das Monotoniekriterium Definition Eine Funktion f heißt an der Stelle x0 ∈ Df streng monoton steigend, wenn es ein δ > 0 gibt, so dass für alle x ∈ Uδ(x0) ∩ Df gilt: f(x) < f(x0), falls x < x0 f(x) > f(x0), falls x > x0. Beachte, dass diese Definition eine Eigenschaft der Funktion für die feste Stelle x0 angibt. Definition Eine Funktion f heißt auf der Menge A ⊆ Df streng monoton steigend, wenn für alle x, y ∈ A gilt: x < y =⇒ f(x) < f(y). Beispiel 1 Die Funktion f : x ↦→ 1 x · sin + 2x, falls x = 0 x 0, falls x = 0 (vgl. Abschnitt 3.4) ist stetig und an der Stelle x = 0 streng monoton steigend; es gibt jedoch keine Umgebung von 0, auf der f streng monoton steigend ist. Beispiel 2 Die Funktion f : x ↦→ − 1 x , Df = R \ {0}, ist an jeder Stelle der Definitionsmenge streng monoton steigend, nicht jedoch auf der Definitionsmenge insgesamt. Satz 1 Es sei A ⊆ R ein Intervall. Wenn die Funktion f in jedem Punkt von A streng monoton steigend ist, dann ist sie auf dem Intervall streng monoton steigend. Beweis Wir nehmen an, es gäbe zwei Stellen x, y mit x < y aus dem Intervall A mit f(y) ≤ f(x). Dann existiert das Infimum z := inf{z|f(z) ≤ f(x)} (∗). (In diesem Argument steckt die ganze topologische Problematik des Beweises.) Zur Erzeugung eines Widerspruches betrachten wie zwei Fälle: 1. Fall f(x) ≤ f(z): Nach Voraussetzung ist f an der Stelle z streng monoton steigend. Deshalb gibt es eine Umgebung U von z, so dass f(z) < f(z2) für alle z2 ∈ U mit z < z2. Das bedeutet aber f(x) ≤ f(z) < f(z2) für alle z2 ∈ U mit z < z2.
S. Hilger, Didaktik der Analysis 21 Dann kann aber z nicht das Infimum gemäß (∗) sein. Widerspruch! 2. Fall f(x) > f(z): Da f in z streng monoton steigend ist, gibt es eine Umgebung U von z, so dass f(z1) < f(z) für alle z1 ∈ U mit z1 < z. Wegen (∗) gilt f(z1) > f(x). Zusammengefasst bedeutet dies: f(x) < f(z1) < f(z) < f(x). Widerspruch! Satz 1 Ist eine Funktion f an der Stelle x0 differenzierbar mit f ′ (x0) > 0, so ist sie in x0 streng monoton steigend. Beispiel 3 Die Umkehrung gilt nicht, wie die Funktion f : x ↦→ x 3 an der Stelle x0 = 0 zeigt. Beweis Zu ε = f ′ (x0) 2 > 0 gibt es eine δ-Umgebung U, so dass für alle x ∈ U \ {x0}: f(x) − f(x0) − f x − x0 ′ (x0) < f ′ (x0) 2 Vergleiche mit |a − b| < b 2 Daraus folgt aber für alle x ∈ U \ {x0}: 0 < f ′ (x0) 2 < f(x) − f(x0) x − x0 b < a 2 Deshalb hat f(x) − f(x0) das gleiche Vorzeichen wie x − x0. Das ist die Behauptung. Folgerung 1 Es sei A ein Intervall und f eine differenzierbare Funktion f mit Definitionsbereich A. Gilt f ′ (x) > 0 für x ∈ A, so ist f auf A streng monoton steigend. Folgerung 2 Es sei A ein Intervall und f, g seien differenzierbare Funktionen mit Definitionsbereich A. Gilt so folgt f ′ (x) < g ′ (x) für x ∈ A, f(b) − f(a) < g(b) − g(b) für a, b ∈ A, a < b. Ersetze zum Beweis f durch g − f im obigen Beweis.
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