Didaktik der Analysis

S. Hilger, Didaktik der Analysis 5
1.2 Die Grenzwertbegriffe der Schul–Analysis
(A) Folgengrenzwert: limn→∞ an = a.
(B) Funktionsgrenzwert: limx→a f(x) = b. Unterscheide eigentliche (b = ∞) und uneigentliche
(b = ∞) Grenzwerte.
Eng verknüpft damit ist eine Möglichkeit der Definition von Stetigkeit: Die Funktion
f heißt stetig in a, wenn limx→a,x=a f(x) = f(a).
(C) Funktionsgrenzwert im Unendlichen: limx→±∞ f(x) = b.
f(x)−f(x0)
(D) Differentialquotient: limx→x0
(E) Integral: := inf
lim Riemann–Summen .
x−x0
Obersummen = sup Untersummen (=
Die in der mengentheoretischen Topologie sehr allgemein gefasste Definition des Grenzwerts
enthält alle diese Grenzwerte als Spezialfälle.
1.2.1 Mögliche Reihenfolgen des Zugangs
• Bayerischer Lehrplan (1991)a:
• Kratz:
(B) −→ (C)
↓
(A)
−→ (D) −→ (E)
(C) −→ (A) −→ (D) −→ (B) −→ (E)
• Barth (Anschauliche Analysis):
(D) −→ (B) −→ (C) −→ (A) −→ (E)
• Van Briel / Neveling:
(D) −→ (B)( propä) −→ (C) −→ (B)( exakt) −→ (A) −→ (E)
• Aktueller Aufbau der Analysis (Z.B. in Vorlesung)
• Historisch:
(A) −→ (B) −→ (C) −→ (D) −→ (E)
(E) −→ (D) −→ (A)/(C) −→ (B)