Didaktik der Analysis

S. Hilger, Didaktik der Analysis 19
2.2 Kontextfelder für die Ableitung
• Geometrische Situationen: Das Problem der Tangente an einen Graphen
– Fahrstrahl (Scheinwerfer)
Dies ist problematisch: Funktionsbegriff tritt in den Hintergrund, die Tangente
ist nur nach vorne gerichtet, Richtung des Fahrzeugs = Richtung der Räder.
– Steigung eines Profils (Landschaft, Wanderweg, Straße, Berg)
– Glattes Zusammenstückeln von Straßen- oder Schienenstücken (ähnlich Spline–
Interpolation).
• Sachsituationen: Die Momentanänderung einer Größe bzgl. einer anderen:
– Momentangeschwindigkeit (Zeit → Ort–Funktion)
– Grenzkosten (Menge → Gesamtkosten–Funktion)
– Wachstum (Zeit → Population–Funktion)
• Numerik:
– Newtonverfahren zur näherungsweisen Bestimmung von Nullstellen: ,,Mit Tangenten
kann man auf Nullstellen zielen”.
Es sei f eine in einem Intervall definierte Funktion. Die Iteration ist definiert
durch
x0; xn+1 = xn − f(xn)
f ′ (xn) .
Bei der Iterationsgleichung handelt es sich um eine Umstellung der Identität
f ′ (xn) = f(xn) − 0
,
xn − xn+1
sie kann anschaulich gedeutet werden im Steigungsdreieck für die Steigung der
Tangente an der Stelle xn.
Beispiele:
x 2 − 2 x 3 − 5x + 3 e x − x x 7 + 2x 3 − 24
– Fehlerrechnung, Beispiel: Fertigung eines Normwiderstandes gemäß
R = ϱ ·
ℓ
πd 2
Ein Fehler in der Länge bzw. Durchmesser von 5% führt auf einen Fehler von
5% bzw. 10%. Eine Analyse führt auf den Differentialquotienten.
• Extremwertaufgaben: Sie erfolgen i.a. erst nach den Grundlagen der Differentialrechnung.