Didaktik der Analysis

S. Hilger, Didaktik der Analysis 39
Schritt 2: Im Intervall [x; x + h] gibt es
• gemäß Mittelwertsatz oder
• ,,anschaulich klar”
eine ,,Zwischenstelle” ξh, so dass
x+h
x
f(t) dt = f(ξh) · h.
Schritt 3: (Zusammenfassung Schritt 1 und 2) Für jedes h > 0 gibt es im Intervall
[x; x + h] ein ξh, so dass
F (x + h) − F (x)
h
=
x+h
x
f(t) dt
h
= f(ξh) · h
h
= f(ξh).
Schritt 4: Wir lassen jetzt h → 0 gehen. Wegen ξh ∈ [x; x + h] gilt
lim
h↘0 ξh = x.
Da die Funktion f als stetig vorausgesetzt ist, folgt:
lim
h↘0 f(ξh) = f(x).
Mit der Gleichung aus Schritt 3 folgt insgesamt:
F (x + h) − F (x)
lim
h↘0 h
= lim
h↘0 f(ξh) = f(x).
Schritt 5: Für h < 0 und den linksseitigen Limes des Differenzenquotienten lassen sich
die obigen Berechnungen ganz genauso durchführen. Man erhält:
F (x + h) − F (x)
lim
h↗0 h
Es gilt also insgesamt:
= f(x)
F ′ F (x + h) − F (x)
(x) = lim
h→0 h
Schritt 6: Gemäß Schritt 0 ist
F (c) =
c
c
f(t) dt = 0,
= f(x).
also hat F die untere Grenze c als Nullstelle. Damit ist die Aussage (B) gezeigt.